Dominos

Wàng

On répartit un jeu de dominos entre 4 joueurs, 6 dominos chacun.
Un des 4 a le double 6.

Proba qu'il puisse ranger ses 6 dominos en les mettant côte à côte pour que les faces adjacentes comptent le même nombre de points ?

Je n'ai pas vu d'autre méthode que de faire un arbre ce qui ne me satisfait pas, c'est du bidouillage, d'autant plus que les cas à distinguer me semblent assez compliqués. Je suis à la recherche d'une méthode plus élégante. Normalement des outils de lycée doivent suffire (arrangements, anagrammes, combinaisons, etc)

Si le sujet a plus sa place en probas qu'ici pas de soucis.

lourrran

Tu peux décomposer en plusieurs sous-exercices, mais j'ai peur qu'au final, la réconciliation de toutes ces questions intermédiaires soit très complexe, et nous ramène à l'arbre dont tu parles : 
- proba qu'il ait un ou plusieurs double 'orphelin' (par exemple le double-2, et il n'aurait aucun autre 2)
- proba qu'il ait un ou plusieurs doubles non-orphelin
- En excluant les doubles, (et donc avec éventuellement moins de 5 dominos), proba qu'il ait 0 fils impair (= il peut faire une boucle fermée) sachant qu'il a k dominos. Un fils est impair si il apparaît un nombre impair de fois
- Idem , proba qu'il ait 2 fils impairs sachant qu'il a k dominos (la partie est encore gagnante)
Exemple : avec 6-6, 6-5, 5-4, 4-1, 1-1, 1-3, on exclue les 2 doubles, et il a 2 fils uniques, le 6 et le 3.
Avec 2 fils impairs, la partie est encore gagnante. Sauf cas du style : 66,65,54,46,01,12.
- Idem, proba qu'il ait 4 voire 6 fils impairs. Et dans ce cas, la partie est perdante.

Au final, il y a 80730 tirages possibles, un programme qui recense ces 80730 cas est certainement le plus rapide.

GaBuZoMeu

Bonjour
Hum. Un jeu de dominos double-six a 28 pièces. Si on les répartit entre quatre joueurs, ça ne fait pas six chacun. Il y a un talon ?

Wàng

Merci. Dans un ouvrage de terminale de 1980 je ne crois pas que les programmes étaient dans l'air du temps. ^^

Dom

Oui, GaBuZoMeu, il me semble. D’ailleurs « un des quatre à le double 6 » confirme. 

Wàng

GaBuZoMeu
Oui en fait il en reste 4 sans joueur. La question que j'ai posée est la dernière question d'un exercice de 4 questions genre "proba que un joueur ait 3 doubles, que 2 joueurs aient 3 doubles".

GaBuZoMeu

Il serait peut-être intéressant d'avoir l'énoncé complet ...

Wàng

4 joueurs prennent au hasard chacun 6 dominos d'un jeu de dominos.

1) Proba qu'un joueur ait exactement 3 doubles ?
2) Proba que 2 joueurs aient exactement chacun 3 doubles ?
3) Proba pour que 2 joueurs au plus aient 1 double, les autres n'ayant pas de doubles ?
4) Le joueur A a le double 6, quelle est la proba qu'il puisse ranger ses 6 dominos, côte à côte, pour que les faces adjacentes aient le même nombre de points ?

GaBuZoMeu

J'aime bien la question 3.

Wàng

Moi aussi, des questions intéressantes, que j'ai réussies, mais la 4 ne me satisfait pas

GaBuZoMeu

Et quelle est ta réponse à la question 3 ? (sachant qu'il y a sept doubles, et quatre pièces au talon).

Alain24

L'énoncé n'explique pas : 1) Combien et quelles faces ont les dominos qu'on se réparti.

Posé tel quel cet exercice n'est pas un exercice de mathématiques, c'est une épreuve de sélection sociale!

JLapin

Pour ceux qui comme moi ne connaissent pas la composition d'un jeu de domino :

Wàng

Alain24
C'est le bouquin de TC. Dans le bouquin de 1ère C il y avait des exos d'un niveau plus accessible sur les dominos, notamment on commençait par dénombrer le nombre de dominos d'un jeu.
La partie cours comportait un exposé théorique sur les tribus et dans le chapitre variables aléatoires, la tribu des boréliens.
On voit bien que entre la première et la terminale le niveau montait encore d'un cran pour tous les chapitres (algèbre, nombres, espaces affines, analyse ...)

De plus c'est des exos à faire en classe, le prof était là et censé guider.

[Inutile de recopier l’avant dernier message. AD]

Dom

Exact Alain !
Peut-être sur un document original aurait-on une image des pièces. 

Les exercices de probabilités « anciens » parlaient « d’un jeu de 32 cartes » et c’était déjà de la sélection sociale. Aujourd’hui faire lire l’heure sur une montre à aiguille est devenu une sélection sociale.

Mais je suis d’accord, il faut être explicite. 

Wàng

Dom

Lol dans tous ces manuels anciens en collège comme en lycée, les énoncés d'exo tiennent sur 3 lignes sans jamais aucune image. ^^ L'élève était conduit à une autonomie maximale.

[Inutile de reproduire le message précédent. AD]

GaBuZoMeu

Je trouve, à la main, 5625 9825 ensembles de six dominos contenant le double-six qu'il est possible de disposer côte à côte de façon que les faces adjacentes comptent le même nombre de points.

On peut représenter les dominos comme les arêtes d'un graphe complet sur sept sommets numérotés de 0 à 6, auquel on ajoute une boucle pour chaque sommet (les doubles). Il faut alors compter les supports de chaînes simples de longueur 6 passant par la boucle du 6.

Il y a bien sûr de bonnes chances que je me  trompe.

Edit : je me suis trompé une première fois, j'ai corrigé. Est-ce que la correction est bonne ?

Wàng

Intéressant de faire intervenir la théorie des graphes. Mais c'est hors programme par rapport au programme officiel de TC de avril 1971 ^^

Dom

En effet Wàng, les manuels anciens ne contenaient que très peu de lignes dans les énoncés de leurs exercices. Par contre « tout le monde » savait qu’un jeu de cartes contient quatre couleurs et que les têtes sont valet/dame/roi. Bon, certes, j’ai mis des guillemets à « tout le monde ». 

GaBuZoMeu

cet exercice n'est pas un exercice de mathématiques, c'est une épreuve de sélection sociale!

Oui, destiné à favoriser les enfants de l'immigration maghrebine.

GaBuZoMeu

Un petit catalogue qui peut servir. J'espère que je n'en ai pas oublié.

bisam

Une autre reformulation possible de la question 4 est de compter le nombre de graphes à 7 sommets (les nombres de 0 à 6) et 6 arêtes (les dominos) dont une est une boucle (le double 6) qui contiennent un chemin eulérien. Pour savoir si c'est le cas, il suffit de calculer le degré de chaque sommet et de vérifier si le nombre de sommets dont le degré est impair est égal à 0 ou à 2.
Cela revient donc à calculer le nombre d'apparitions de chaque chiffre sur les dominos du joueur A et de vérifier si chacun d'eux apparaît un nombre pair de fois ou bien si deux d'entre eux apparaissent un nombre impair de fois.

Cela me semble plus facile à dénombrer ainsi... mais je n'ai pas encore tenté de finaliser le calcul.

[Edit, 5 minutes plus tard]
Mince, j'ai oublié la connexité... c'est un poil plus compliqué.

GaBuZoMeu

Avec les poids (le recalcul des poids m'a amené à corriger mon premier résultat erroné).

bisam

Finalement, je n'ai pas compté à la main, j'ai laissé faire Python.

import itertools as it

#un domino est un couple (i,j) avec 0 <= i <= j <= 6
DOMINOS = {(i, j) for i in range(0, 7) for j in range(i, 7)}
#une main est un tuple de 6 dominos
#une main de A est une main contenant le domino (6,6)
MAINS_de_A = [main for main in it.combinations(DOMINOS, 6) if (6,6) in main]

nb_bonnes_mains = 0
for main in MAINS_de_A:
    #vérification des degrés
    degres = [0]*7
    for (i,j) in main:
        degres[i] += 1
        degres[j] += 1
    if len([d for d in degres if d%2]) in (0,2):
        #parcours en profondeur pour vérifier la connexité
        sac = [6]
        vus = set()
        while sac:
            s = sac.pop()
            if s not in vus:
                vus.add(s)
                for (i,j) in main:
                    if s == i:
                        sac.append(j)
                    if s == j:
                        sac.append(i)
        if len(vus) == 6:
            nb_bonnes_mains += 1

print(nb_bonnes_mains, "/", len(MAINS))

Il me renvoie : 2160 / 80730

C'est bien loin de ce que trouve @GaBuZoMeu, ce qui m'inquiète...

GaBuZoMeu

Tu as déjà 2160 mains en prenant juste les mains

[6|6], [6|a], [a|b], [b|c], [c|d], [d|e]

[a|6], [6|6], [6|b], [b|c], [c|d], [d|e]

[a|b], [b|6], [6|6], [6|c], [c|d], [d|e]

où les a, b, c, d, e sont différents et dans {0,1,2,3,4,5}.

C'est le poids  de la ligne de cinq segments tout en bas de mon crobard. Est-ce que tu louperais tous les autres ?

GaBuZoMeu

Si la bonne réponse est effectivement 655/5382, c'est un peu vachard et il y a peu d'espoir de trouver une astuce miracle qui aboutisse facilement à ce résultat, non ?

Reste à savoir si c'est bien la bonne réponse. Je pense avoir chassé les erreurs, mais il y en a peut-être encore qui se cachent.

GaBuZoMeu

Une petite explication en images sur le calcul des poids. Je le fais pour un des crobards.

sommet rouge : boucle correspondant au double-six

sommet vert : boucle correspondant à un autre double.

Les poids correspondants aux crobards coloriés sont les nombres de façons de mettre des étiquettes dans {0,1,2,3,4,5,6} aux sommets ; l'étiquette 6 va obligatoirement au sommet rouge, pour les autres on étiquette comme on veut. On ne compte que les classes d'isomorphismes de graphes coloriés étiquetés (ce qui explique les 60).

Le total 720 est le poids qui apparaît dans la figure plus haut.

PetitLutinMalicieux

Bonjour

"[a|b], [b|6], [6|6], [6|c], [c|d], [d|e]

où les a, b, c, d, e sont différents et dans {0,1,2,3,4,5}."

J'ai énormément de mal à voir quel garde-fou tu mets pour éviter les permutations circulaires. Si tu prends (3 5 4 3 2), elle désigne la même configuration que (3 4 5 3 2).

lourrran

Quelle est la règle du jeu de dominos ? Avez-vous la même règle en tête. Quand j'étais gamin, je connaissais une règle principale, et une variante.

Règle principale : les dominos forment une ligne (ligne droite si on a une très grande table, avec des virages sinon, peu importe). Donc ça ressemble aux 6 points du dernier dessin, et donc aux 2160 possibilités trouvées par vous 2. Et ça correspond parfaitement à la description de Bisam

Variante : Quand on pose un double, ça peut être le début de nouvelles branches. Dans cette variante, la combinaison (66,65,64,63,62,21) est valide. On peut accrocher 4 dominos au double 6, en l'occurrence les dominos 65,64,63,62, et on accroche le 21 au 61.

Je ne saisis pas trop ce que représentent les différents dessins de GBZM, mais j'ai (un tout petit peu) l'impression de voir une illustration de ma 2ème variante.

GaBuZoMeu

Non @lourrran , ton impression est fausse.

Par exemple : [1|6][6|6][6|2][2|3][3|6][6|4] est une disposition en ligne droite valide (on met souvent les doubles en travers, mais c'est juste pour faire joli). Ça donne le crobard

 
Le 6 est situé au sommet de degré 4, je te laisse étiqueter les autres sommets.

@PetitLutinMalicieux "Si tu prends (3 5 4 3 2), elle désigne la même configuration que (3 4 5 3 2)." Ben oui, le même crobard, mais bien sûr pas le même ensemble de pièces ! Les 2160 ensembles de pièces décrits dans mon message de 17:43 correspondent tous au même crobard

Le poids 2160, c'est ça que ça veut dire.

bisam

En même temps, (3 5 4 3 2), ce ne sont pas vraiment des chiffres tous différents 🤪

Mais je viens de comprendre mon erreur.
Je teste la connexité globale alors que je devrais tester uniquement la connexité du sous-graphe des sommets possédant au moins une arête.
Effectivement, je n'ai pour l'instant trouvé que ton dernier cas, @GaBuZoMeu

Il suffit de remplacer l'avant dernière ligne

        if len(vus) == 6:

par

        if vus == {i for i in range(7) if degres[i]}:

et on obtient un résultat bien plus sympathique (et surtout plus juste) : 9945 / 80730, soit 17/138 après simplification.

Il semblerait que tu aies oublié un paquet de 120 quelque part, @GaBuZoMeu.

Alain24

Je lis

Wàng a dit :

On répartit un jeu de dominos entre 4 joueurs, 6 dominos chacun.
Un des 4 a le double 6.

Proba qu'il puisse ranger ses 6 dominos en les mettant côte à côte pour que les faces adjacentes comptent le même nombre de points ?

Si on range les dominos côte à côte alors il est possible d'inverser le haut et le bas des dominos ce dont la représentation par graphe ne tient pas compte. Cet exercice difficile ne correspondrait-il pas à la modélisation d'un problème de répartition de couches électroniques dans un cristal ou un semi-conducteur ? Ne serait-ce pas une colle posée par des électroniciens qui ont "trouvé le filon" pour faire réaliser leur travail à peu de frais ?

bisam

Je pense surtout que l'énoncé supposait que tout le monde savait comment on met des dominos bout à bout.

lourrran

Cette configuration serait la configuration oubliée ?

Edit : je crois que je peux enlever le point d'interrogation, cette configuration correspond bien à 60x2=120 solutions.

GaBuZoMeu

Bravo @lourrran , c'était bien le crobard manquant :

et son poids est 120.

Pour qui ne saurait pas comment on pose les dominos :