Carré

Bonjour,

Un petit exercice que mon fils m'a envoyé aujourd'hui:

Cordialement,
Rescassol

Réponses

  • Ludwig
    Modifié (April 2023)
    Bonsoir,
    Pas mal au collège cet exo, car la ligne brisée oblique déroute. Si celle-ci était dessinée "bien à plat" et que le problème était seulement de calculer la distance entre ses deux extrémités alors j'imagine que des réponses viendraient plus facilement.
  • Bonjour,

    Oui, c'est $17$, mais je voudrais voir une méthode.

    Cordialement,
    Rescassol

  • AD
    AD
    Modifié (April 2023)
    Rescassol
    Tracer le rectangle de cotés 9 et 7.

  • scd
    scd
    Modifié (April 2023)
    Bonjour

  • figure refaite sans texte  
  • Bonjour,
    avec des élèves de collège, on pourrait demander le calcul de x ainsi qu'une construction exacte du carré de côté x obtenu avec (3, 1, 4) au lieu de (14, 7, 9).
    Bien cordialement.
    kolotoko
  • Bonjour,
    on peut prolonger un peu le problème de Rescassol.
    J'appelle ABCD le carré de côté x = 17 :  A situé en bas à gauche, B situé en bas à droite, C situé en haut à droite, D situé en haut à gauche.
    D se projette orthogonalement en H sur le segment rouge.
    Alors DH = 15 et AH = 8.
    C se projette orthogonalement en G sur [DH] ; alors CG = 15 et DG = 8.
    B se projette orthogonalement en F sur [CG] ; alors BF = 15 et CF = 8.
    A se projette orthogonalement en E sur [BF] :  alors AE = 15 et BE = 8.
    Si quelqu'un pouvait joindre la figure de Rescassol ainsi complétée, je l'en remercie par avance.
    Il est clair que 17^2 = 15^2 + 8^2 = 225 + 64 = 289.
    Il est clair aussi que arctan (7/23) + arctan(8/15) = 45°.
    Bien cordialement.
    kolotoko
  • Si on fait tourner la ligne brisée d'un quart de tour autour du centre du carré, puis d'un demi-tour et de trois quarts de tours, on obtient un carré central (en orange) de côté $7$. Et les petits carrés dans les coins sont de côté $(9+7-14)/2=1$. Donc l'aire totale de la figure est égale à $2\times(14+1)\times(9-1)+7\times7=289$, c'est-à-dire $x=17$.




  • NB (à mon propre message)  : Ce qui montre qu'il y a une donnée superflue
  • Je ne vois pas de données superflues à l'exercice.
    Sinon, pour y répondre, je propose un Thalès suivi de deux Pythagore pour calculer la longueur de la diagonale.
  • 14 est superflu
    JLapin si tu observe ma figure c'est clair que cette donnée là se déduit
  • scd
    scd
    Modifié (April 2023)
    Bonjour

  • Le résultat dépend d'une troisième longueur. Ton point $C$ pourrait être très très éloigné de $A$.
  • Oui tu as raison effectivement



  • gerard0
    Modifié (April 2023)
    Scd, inutile de continuer ce dialogue de sourd, rédige ta preuve (une figure n'est pas une preuve), tu convaincra.
    Cordialement.
  • scd
    scd
    Modifié (April 2023)
    Je viens de dire que je me suis trompé
  • Ah, désolé, je rédigeais mon message quand tu as publié le tien.
  • Quel imbécile je suis
    Je me suis trompé!
  • cailloux
    Modifié (April 2023)
    Bonjour à tous,
    Sinon, pour y répondre, je propose un Thalès suivi de deux Pythagore pour calculer la longueur de la diagonale.
    C'est ce que j'avais fait mais la réponse de AD serait-elle passée inaperçue ?
    https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2419109/#Comment_2419109
    Elle donne immédiatement $\sqrt{23^2+7^2}=x\sqrt{2}$
  • Ah oui, ça va plus vite !
  • Bonjour,

    Voilà la figure demandée par Kolotoko:

    Cordialement,
    Rescassol

  • kolotoko
    Modifié (April 2023)
    Bonjour,
    elle est belle ta figure , merci !!
    Sur mon papier A4 , j'avais fait cette nuit la même que celle de Ludwig.
    Je me suis aussi amusé à chercher d'autres triplets de nombres comme (7,23,17).
    En voici un : (97,127,113) qui vérifie 97^2 + 127^2 = 113^2 + 113^2 = 25538.
    Je ne suis pas assez informé pour les trouver tous.
    Bien cordialement.
    kolotoko
  • gai requin
    Modifié (April 2023)
    @kolotoko : Choisis tes entiers $u,v$ préférés et jette un coup d'œil à $(u^2-2uv-v^2,u^2+2uv-v^2,u^2+v^2)$.
  • Bonjour,
    merci gai requin..
    Avec (u, v) = (49,3) on obtient (2098, 2686, 2410) et ça marche.
    Bien cordialement.
    kolotoko
  • @kolotoko : Marrant ton $(49,3)$.
    Tu peux diviser par $2$ si tu trouves ta retraite suffisamment confortable ;)
  • Ludwig
    Modifié (April 2023)

    On peut voir le découpage que j'ai posté plus haut comme une illustration géométrique de l'identité : 
    $$2\big(c+\frac{a+b-c}{2}\big)\big(b-\frac{a+b-c}{2}\big)+a^2=\frac{1}{2}\big(a^2+(b+c)^2\big).$$
  • PetitLutinMalicieux
    Modifié (April 2023)
    Bonjour.
    Manifestement, j'arrive après la bataille. Je suis sûr d'avoir vu cette question dans "Mind your decision", mais je n'ai pas retrouvé le "truc" avant de faire un dessin. Après, par Pythagore, 49 + 400 + 9 + 120 = 578 = 2 * 17 * 17. Et comme c'est la diagonale, le côté du carré mesure 17.
  • Ludwig
    Modifié (April 2023)
    Je propose une suite : 

    Et aussi : trouver une ligne brisée à côtés entiers (tous différents pour éviter une figure symétrique) qui partage équitablement le carré (lui-même de côté entier).
  • @Ludwig : N'aurais-tu as utilisé cette paramétrisation avec $u=3,v=2$ qui donne $7^2+17^2=2\times 13^2$ ?
  • Ludwig
    Modifié (April 2023)
    C'est vrai qu'on peut facilement déduire une ligne brisée possédant 5 segments d'une ligne qui en possède 3. Mais en fait je n'ai pas procédé ainsi, j'ai demandé à Chat GPT de m'écrire un programme. Il vient de me donner une ligne qui partage le carré équitablement : 

    Si je ne me suis pas trompé dans les calculs c'est le plus petit carré que l'on peut partager ainsi, par une ligne à 5 segments.
  • @Ludwig : J’arrive à partager un carré de côté $8$.
  • Avec une ligne à 5 côtés entiers tous différents ? Et qui est oblique : aucun de ses segments ne doit être sur un côté du carré.
  • gipsyc
    Modifié (April 2023)
    Pour continuer avec le carré, calculez ou prouvez
    •  la longueur de la ligne brisée

    • l'angle x = ?

    • l'égalité des deux angles (M milieu de AB)

    • le rapport des deux aires

                         (s'il s'agit d'un carré nxn, S₁︎ / S₂︎ = (ED/n)² 

    • point E sur le cercle circonscrit 

    Bon amusement,
    Jean-Pol Coulon
  • Bonjour.
    Manifestement, j'arrive après la bataille. Je suis sûr d'avoir vu cette question dans "Mind your decision", mais je n'ai pas retrouvé le "truc" avant de faire un dessin. Après, par Pythagore, 49 + 400 + 9 + 120 = 578 = 2 * 17 * 17. Et comme c'est la diagonale, le côté du carré mesure 17.
    Pouvez vous expliciter votre 49 + 400 + 9 + 120 = 578 ?
    J'ai simplement travaillé avec le rectangle de côtés 7 et 14+9 dont on calcule la diagonale aisément, mais j'avoue ne pas comprendre votre 400, 9 et 120 !
    Merci d'avance !
  • $23^2$ ne fait pas partie des carrés que je connais par cœur. Donc pour faire de tête, on fait $23^2=(20+3)^2=20^2+3^2+2*20*3=400+9+120=529$. Puis, +50 -1 (pour 49). Les maths faciles.
  • Ok, je cherchais un découpage particulier de la figure qui coïncidait, mais on fait la même chose en fait !
  • Rescassol
    Modifié (April 2023)
    Bonjour,

    A propos de la recherche des solutions de l'équation $b^2+c^2=2a^2$, on peut dire que $a,b,c$ sont les longueurs des côtés d'un triangle $ABC$ tel que les droites $(AX_{13})$ et $(AX_{14})$ soient orthogonales.

    Cordialement,
    Rescassol

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