Théorème du trident et cercle de Mention

gipsyc
Modifié (April 2023) dans Géométrie
Bonjour
Un exercice tout simple que je vous propose, en quelque sorte une synthèse entre les propriétés du cercle de Mention d'un triangle (ADC ici) et la réciproque du théorème du trident (trillium theorem)  https://en.m.wikipedia.org/wiki/Trillium_theorem .


Cordialement
Jean-Pol Coulon

Réponses

  • Rescassol
    Modifié (April 2023)
    Bonjour,

    En complexes:
    % Gipsyc - 06 Avril 2023 - Théorème du trident et cercle de Mention
    
    clear all, clc
    
    syms a b d
    
    aB=1/a; bB=1/b; dB=1/d; % A,B,D sur le cercle unitaire
    
    c=b^2/a; cB=1/c; % ABC isocèle
    
    %------------------------------------------------------------------------
    
    syms t real
    syms e f
    
    p=b+t*(d-b); pB=bB+t*(dB-bB); % P est sur la droite (BD)
    
    BA2=Factor((a-b)*(aB-bB)); % BA^2
    BC2=Factor((c-b)*(cB-bB)); % BC^2
    Nul=Factor(BA2-BC2) % Vérification de BA=BC
    BP2=Factor((p-b)*(pB-bB)); % BP^2
    NulP=numden(Factor(BA2-BP2)); % Pour que BP=BA=BC
    % On trouve NulP=a*(b-d)^2*t^2 - d*(a-b)^2
    
    [pap qap rap]=DroiteDeuxPoints(a,p,aB,pB); % Droite (AP)
    [pcp qcp rcp]=DroiteDeuxPoints(c,p,cB,pB); % Droite (CP)
    
    NulE=numden(Factor(pcp*e+qcp/e+rcp)/(e-c)); % Point E
    NulF=numden(Factor(pap*f+qap/f+rap)/(f-a)); % Point F
    polE=coeffs(NulE,e,'All');
    polF=coeffs(NulF,f,'All');
    % On trouve E et F:
    e=-polE(2)/polE(1); eB=1/e;
    f=-polF(2)/polF(1); fB=1/f;
    % E et F sont les milieux des arcs AD et CD:
    EqE=numden(Factor(e^2-a*d)/(-a*b^2*d*(c - d)));
    EqF=numden(Factor(f^2-c*d)/(-b^2*d*(a - d)));
    NulE=Factor(EqE-NulP) % Égal à 0 donc c'est gagné
    NulF=Factor(EqF-NulP) % De même.
    Cordialement,
    Rescassol

  • gipsyc
    Modifié (April 2023)
    Bonjour
    Merci Rescassol.
    Le cercle en pointillés (APC,B) est le cercle D-Mention par A et C et le centre inscrit du ΔADC, cercle dont le centre B est situé sur le cercle circonscrit ce triangle.

    Sinon, une autre preuve.
    Soit les cercles
    • c₁︎ ABCD
    • c₂︎ APC (centre B )  - c'est le cercle D-Mention du ΔADC
    Utilisons les angles inscrits au centre ou sur l'un ou l'autre cercle.
    <ABP dans c₂︎ 
               = <ABD dans c₁︎       (1)
               = 2 <ACP dans c₂︎
               = 2 <ACE dans c₁︎    (2)
    (1)(2) ⇒ <ABD/2 = <ACE
    Même  raisonnement pour F
    Cordialement
    Jean-Pol Coulon
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