Théorème du trident et cercle de Mention
Bonjour
Un exercice tout simple que je vous propose, en quelque sorte une synthèse entre les propriétés du cercle de Mention d'un triangle (ADC ici) et la réciproque du théorème du trident (trillium theorem) https://en.m.wikipedia.org/wiki/Trillium_theorem .

Cordialement
Jean-Pol Coulon
Un exercice tout simple que je vous propose, en quelque sorte une synthèse entre les propriétés du cercle de Mention d'un triangle (ADC ici) et la réciproque du théorème du trident (trillium theorem) https://en.m.wikipedia.org/wiki/Trillium_theorem .

Cordialement
Jean-Pol Coulon
Réponses
-
Bonjour,
En complexes:% Gipsyc - 06 Avril 2023 - Théorème du trident et cercle de Mention clear all, clc syms a b d aB=1/a; bB=1/b; dB=1/d; % A,B,D sur le cercle unitaire c=b^2/a; cB=1/c; % ABC isocèle %------------------------------------------------------------------------ syms t real syms e f p=b+t*(d-b); pB=bB+t*(dB-bB); % P est sur la droite (BD) BA2=Factor((a-b)*(aB-bB)); % BA^2 BC2=Factor((c-b)*(cB-bB)); % BC^2 Nul=Factor(BA2-BC2) % Vérification de BA=BC BP2=Factor((p-b)*(pB-bB)); % BP^2 NulP=numden(Factor(BA2-BP2)); % Pour que BP=BA=BC % On trouve NulP=a*(b-d)^2*t^2 - d*(a-b)^2 [pap qap rap]=DroiteDeuxPoints(a,p,aB,pB); % Droite (AP) [pcp qcp rcp]=DroiteDeuxPoints(c,p,cB,pB); % Droite (CP) NulE=numden(Factor(pcp*e+qcp/e+rcp)/(e-c)); % Point E NulF=numden(Factor(pap*f+qap/f+rap)/(f-a)); % Point F polE=coeffs(NulE,e,'All'); polF=coeffs(NulF,f,'All'); % On trouve E et F: e=-polE(2)/polE(1); eB=1/e; f=-polF(2)/polF(1); fB=1/f; % E et F sont les milieux des arcs AD et CD: EqE=numden(Factor(e^2-a*d)/(-a*b^2*d*(c - d))); EqF=numden(Factor(f^2-c*d)/(-b^2*d*(a - d))); NulE=Factor(EqE-NulP) % Égal à 0 donc c'est gagné NulF=Factor(EqF-NulP) % De même.
Cordialement,Rescassol
-
Bonjour
Merci Rescassol.
Le cercle en pointillés (APC,B) est le cercle D-Mention par A et C et le centre inscrit du ΔADC, cercle dont le centre B est situé sur le cercle circonscrit ce triangle.Sinon, une autre preuve.Soit les cercles
• c₁︎ ABCD
• c₂︎ APC (centre B ) - c'est le cercle D-Mention du ΔADC
Utilisons les angles inscrits au centre ou sur l'un ou l'autre cercle.
<ABP dans c₂︎
= <ABD dans c₁︎ (1)
= 2 <ACP dans c₂︎
= 2 <ACE dans c₁︎ (2)
(1)(2) ⇒ <ABD/2 = <ACEMême raisonnement pour F
Cordialement
Jean-Pol Coulon
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 165.6K Toutes les catégories
- 65 Collège/Lycée
- 22.2K Algèbre
- 37.7K Analyse
- 6.3K Arithmétique
- 61 Catégories et structures
- 1.1K Combinatoire et Graphes
- 13 Sciences des données
- 5.1K Concours et Examens
- 26 CultureMath
- 51 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.8K Géométrie
- 86 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 79 Informatique théorique
- 3.9K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 29 Mathématiques et finance
- 344 Mathématiques et Physique
- 5K Mathématiques et Société
- 3.4K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10.1K Probabilités, théorie de la mesure
- 805 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.8K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres