Espace compact et espace séquentiellement compact

Besma bissan

Salut.
Il avéré que ces deux notions (espace compact et espace séquentiellement compact) coïncident pour les espaces métriques.
compact $\Leftrightarrow$ séquentiellement compact.
Je sais que cette équivalence n'est pas valide pour un espace topologique, il existe un célèbre contre-exemple pour l'implication au sens direct. Mais quel est le problème avec la méthode de preuve suivante ?

Soit $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de $X$. Si la suite ne prend qu'un nombre fini de valeurs, alors on peut clairement extraire une sous-suite convergente. Dans le cas contraire, supposons, par l'absurde qu'elle ne possède aucune valeur d'adhérence. Alors pour tout $x \in X$, il existe un voisinage de $x$, $ V_x$ tel que $V_x$ ne contient qu'un nombre fini d'éléments de $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$.
L'existence du voisinage implique l'existence d'un ouvert $O_x$ (de la définition du voisinage). tel que $O_x$ ne contient qu'un nombre fini d'éléments de $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$
On obtient alors un recouvrement ouvert du compact $X$ $$ X=\bigcup_{x\in X}O_x ,$$ dont on peut extraire un sous-recouvrement fini $$ X=\bigcup_{i\in I}O_{xi }.$$
Comme chaque ouvert ne contient qu'un nombre fini d'éléments de la suite, alors $X$ également ce qui est absurde.
Alors $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ possède au moins une valeur adhérente.

L'idée de preuve a été tirée de la preuve d'équivalence dans un cas d'espace métrique.
Cette preuve est-elle vraie pour l'espace métrique et non pour l'espace topologique ?
Une dernière question : ce résultat est-il valable pour un espace b-métrique ?
Un espace séquentiellement compact est un espace qui vérifiée la propriété du Bolzano-Weierstrass.

[Karl Weierstrass (1815-1897) mérite sa majuscule et le respect de son patronyme. AD]

SkyMtn

Dans un espace topologique compact $X$, une suite $(x_n)$ a toujours une valeur d'adhérence. On peut le voir en disant que l'ensemble des valeurs d'adhérence de la suite $(x_n)$ est l'intersection décroissante des fermés $F_n = \overline{\{x_k \mid k\ge n\}}$ - et cette intersection est non-vide par la propriété de Borel-Lebesgue (sur les fermés). Sinon, ta démonstration par l'absurde est également correcte. 

Cependant, il faut être vigilant dans le cadre non-métrique (et plus généralement quand $X$ n'est pas à bases dénombrables de voisinages). Une suite peut avoir une valeur d'adhérence mais ne pas posséder de sous-suite convergente (donc si tu prends comme énoncé de Bolzano-Weierstrass « toute suite possède une sous-suite convergente » l'implication $\Rightarrow$ est fausse en règle générale).

Par exemple, dans l'espace compact $\mathbf 2^{\mathbf 2^\mathbb N}$ où $\mathbf 2 = \{0,1\}$, la suite $(\pi_n)_{n\in\mathbb N}$ des projections $\pi_n : \mathbf 2^\mathbb N \to \mathbf 2 ~;~x\mapsto x_n$ ne possède pas de sous-suite convergente. En effet, pour toute extractrice $\varphi$, on peut définir un élément $x \in \mathbf 2^\mathbb N$ par $x_{\varphi(2k)} = 1$ et $0$ sinon, et alors $\pi_{\varphi(k)}(x)$ alterne entre $0$ et $1$ donc ne converge pas (ainsi la suite des $\pi_{\varphi(k)}$ ne converge pas simplement).

Besma bissan

@SkyMtn 

Je comprends ce que vous avez dit, je confondais les concepts de
"De tout suite on peut extraire une sous-suite convergente"  (propreté de Bolzano-Weirestrass)
et de
"Tout suite admet au moins une valeur adhérente"

 J'avais l'habitude de penser qu'ils sont équivalents ou du moins que l'implication directe est vraie.
Sont-ils équivalents dans l'espace métrique ?
L'implication directe est-elle vraie pour tout espace topologique ?

Manda

Dans un espace métrique, les valeurs d'adhérences d'une suite sont les limites de ses suites extraites. Dans un espace topologique général, on peut seulement dire que les limites de suites extraites sont des valeurs d'adhérences. La réciproque est vraie dès que tout point de ton espace topologique admet une base dénombrable de voisinages, ce qui est bien le cas des espaces métriques.

Besma bissan

@Manda Pour un espace b-métrique, l'équivalence entre les deux expressions est-elle toujours valable ? En d'autres termes, chaque point de l'espace b-métrique accepte-t-il une base dénombrable du voisinage?

Manda

Première fois que j'entends parler des espaces b-métriques, mais d'après la définition que j'en trouve sur le net, oui il est évident que c'est le cas, comme pour les espaces métriques.