Une limite avec des nombres harmoniques
Réponses
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Quel est l'entier le plus proche de 0.5 ?Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse -
Le calcul des premières valeurs me fait conjecturer que la limite est égale à 2.
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J'ai démontré ma conjecture.
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@Médiat_Suprème : dans notre contexte, ça n'a pas d'importance puisque l'on parle d'irrationnels de la forme $k\sqrt2$.On peut prendre $\bigl\lfloor k\sqrt2\bigr\rceil=\bigl\lfloor k\sqrt1+\frac12\bigr\rfloor$.D'après les premières valeurs, je dirais plutôt que la suite est croissante et diverge à la vitesse d'un logarithme. Erré-je ?
sage: def v(k): ....: return k+floor(k*sqrt(2.)+.5) ....: sage: def h(n): ....: return sum(1./(n-k) for k in range(n)) ....: sage: def kk(n): ....: return add(1./v(n-k) for k in range(n)) ....: sage: def d(n): ....: return h(v(n))-kk(n) ....: sage: d(1000) 5.18321500454271 sage: d(10000) 6.53212085949847 sage: d(100000) 7.88094812125567 sage: d(1000000) 9.22977289705754
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@Math Coss, je suis d'accord ici, mais le texte commence par $\lfloor x \rceil$ désigne l’entier le plus proche de x, c'est seulement après que vient la spécification de $x$, moi, cela me gêne.Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse -
Ah ! Tout s'explique ! En effet, avec les bonnes prémisses, la valeur $2$ semble plus que plausible !Edit : Je viens de découvrir le message qui annonce la démonstration de la conjecture (qui s'est glissé avant que je ne valide le mien peu après).
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Solution succinte.1) La suite complémentaire de $v_n$ est la suite des triangulaires.2) Dans $H_{v_n}-K_n$ il ne reste que les inverses de triangulaires.3) On sait que la somme des inverses des triangulaires est télescopique.4) $2/1+2/3+2/6+2/10+2/15+...$ converge vers $2$.
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Joli
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Sans parler de suites complémentaires j'ai écrit :
$j=\lfloor \sqrt{2k}\rceil\Leftrightarrow (j-1/2)^2<2k<(j+1/2)^2\Leftrightarrow t_{j-1}+1\leq k\leq t_j$ en notant $t_\frac{j(j+1)}2$ le $j$-ème nombre triangulaire.
Donc $v_k=k+j$ si et seulement si $t_k=\dfrac{j(j+1)}2$.
On en déduit que $v_{k+1}-v_k=1$ sauf si $k=t_j$ pour lequel $v_{k+1}-v_k=2$. Par suite tous les entiers sont des $v_k$ sauf les $t_j$.
$H_{v_n}-K_n=\displaystyle\sum_{1\leq t_j\leq v_k}\dfrac1{t_j}=2\sum_{1\leq t_j\leq v_k}\left(\dfrac1j-\dfrac1{j+1}\right)$ qui tend vers $2$ quand $k$ tend vers l'infini.
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