Une limite avec des nombres harmoniques

$\lfloor x\rceil$ désigne l’entier le plus proche de $x$. On pose $v_k=k+\lfloor \sqrt{2k}\rceil$,

$H_n=\sum_{k=1}^n \dfrac 1k,\,\,K_n=\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{v_k}$.

Déterminer la limite quand $n$ tend vers l’infini de : $\,\,\,H_{v_n}-K_n$.

Réponses

  • Quel est l'entier le plus proche de 0.5 ?
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • Le calcul des premières valeurs me fait conjecturer que la limite est égale à 2.
  • J'ai démontré ma conjecture.
  • @Médiat_Suprème : dans notre contexte, ça n'a pas d'importance puisque l'on parle d'irrationnels de la forme $k\sqrt2$.
    On peut prendre $\bigl\lfloor k\sqrt2\bigr\rceil=\bigl\lfloor k\sqrt1+\frac12\bigr\rfloor$.
    D'après les premières valeurs, je dirais plutôt que la suite est croissante et diverge à la vitesse d'un logarithme. Erré-je ?
    sage: def v(k):
    ....:     return k+floor(k*sqrt(2.)+.5)
    ....: 
    sage: def h(n):
    ....:     return sum(1./(n-k) for k in range(n))
    ....: 
    sage: def kk(n):
    ....:     return add(1./v(n-k) for k in range(n))
    ....: 
    sage: def d(n):
    ....:     return h(v(n))-kk(n)
    ....: 
    sage: d(1000)
    5.18321500454271
    sage: d(10000)
    6.53212085949847
    sage: d(100000)
    7.88094812125567
    sage: d(1000000)
    9.22977289705754

  • Médiat_Suprème
    Modifié (April 2023)
    @Math Coss, je suis d'accord ici, mais le texte commence par $\lfloor x \rceil$ désigne l’entier le plus proche de x, c'est seulement après que vient la spécification de $x$, moi, cela me gêne.
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • Math Coss
    Tu n'as pas pris le bon énoncé, c'est $v_k=k+\lfloor \sqrt{2k}\rceil$ et pas $v_k=k+\lfloor k\sqrt{2}\rceil$.

    $\sqrt{2k}$ peut être égal à un entier mais pas à un entier plus $\frac12$.
  • Math Coss
    Modifié (April 2023)
    Ah ! Tout s'explique ! En effet, avec les bonnes prémisses, la valeur $2$ semble plus que plausible !
    Edit : Je viens de découvrir le message qui annonce la démonstration de la conjecture (qui s'est glissé avant que je ne valide le mien peu après).
  • Cidrolin
    Modifié (April 2023)
    Solution succinte.
    1) La suite complémentaire de $v_n$ est la suite des triangulaires.
    2) Dans $H_{v_n}-K_n$ il ne reste que les inverses de triangulaires.
    3) On sait que la somme des inverses des triangulaires est télescopique.
    4) $2/1+2/3+2/6+2/10+2/15+...$ converge vers $2$.
  • Sans parler de suites complémentaires j'ai écrit : 

    $j=\lfloor \sqrt{2k}\rceil\Leftrightarrow (j-1/2)^2<2k<(j+1/2)^2\Leftrightarrow t_{j-1}+1\leq k\leq t_j$ en notant $t_\frac{j(j+1)}2$ le $j$-ème nombre triangulaire.
    Donc $v_k=k+j$ si et seulement si $t_k=\dfrac{j(j+1)}2$.

    On en déduit que $v_{k+1}-v_k=1$ sauf si $k=t_j$ pour lequel $v_{k+1}-v_k=2$. Par suite tous les entiers sont des $v_k$ sauf les $t_j$.

    $H_{v_n}-K_n=\displaystyle\sum_{1\leq t_j\leq v_k}\dfrac1{t_j}=2\sum_{1\leq t_j\leq v_k}\left(\dfrac1j-\dfrac1{j+1}\right)$ qui tend vers $2$ quand  $k$ tend vers l'infini.
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