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Martingale positive

Exemple 4.6. (Jeu de pile ou face). Soit $X_{0}:=k \in \mathbb{N}$, et soit $\left(\xi_{i}, i \geq 1\right)$ une suite de variables aléatoires i.i.d. avec $\mathbb{P}\left(\xi_{1}=1\right)=\frac{1}{2}=\mathbb{P}\left(\xi_{1}=-1\right)$. On pose $X_{n}:=k+\sum_{i=1}^{n} \xi_{i}, \quad n \geq 1$ ainsi que $\mathscr{F}_{0}:=\{\Omega, \varnothing\}$ et $\mathscr{F}_{n}:=\sigma\left(X_{1}, \cdots, X_{n}\right)=\sigma\left(\xi_{1}, \cdots, \xi_{n}\right)$. Comme $\mathbb{E}\left(\xi_{1}\right)=0$, on sait que $\left(X_{n}, n \geq 0\right)$ est une martingale. Posons $T:=\inf \left\{n \geq 0: X_{n}=0\right\}, \quad \inf \varnothing:=\infty$
Alors $T$ est un temps d'arrêt. On déduit que $\left(Y_{n}:=\right.$ $X_{T \wedge n}, n \geq 0$ ) est une martingale positive.

J'ai une question, $Y_{n}$ est une martingale mais pourquoi elle est positive ?

Merci d'avance.
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Réponses

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  • Car $\{X_n > 0\} \subset \{X_{n+1} = 0\} \cup \{X_{n+1} > 0\}$ et $X_k \neq 0$ sur $k < T$. Formellement, ça peut se démontrer par récurrence.
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