Simplification d'une somme

Cidrolin

Soit $n\in \N^*$, simplifier : $$\displaystyle \sum_{k=1}^n \Big \lfloor\dfrac{2000k-47}{1998} \Big \rfloor$$

Alexique

Solution à finir : 
$2000k-47=1998(k+i)+2k-47-1998i$ est la division euclidienne de $2000k-47$ par $1998$, de quotient $k+i$ et de reste $2k-47-1998i=r \iff 0 \leq r < 1998 \iff k \in [|a_i,a_{i+1}-1|]$ que je vous laisse calculer pour cause de flemme. Comme $k \leq n$, posons $q_n = \max\{i\ /\ a_{i+1}-1 \leq n\}$ (également explicitable). Alors  $$\displaystyle \sum_{k=1}^n \Big \lfloor\dfrac{2000k-47}{1998} \Big \rfloor = \sum_{i=-1}^{q_n} \sum_{k=a_i}^{a_{i+1}-1} k+i $$  avec $a_{-1}=1$.
Normalement, $a_i$ et $b_i$ sont de degré $1$ en $i$ donc ce ne sont que des sommes de polynômes donc on doit pouvoir arriver au bout. Si mon labo m'offre Maple un jour, je prends. Je n'ai que Wolfram et c'est un peu pénible.

jandri

Merci pour ce problème, je trouve : $\displaystyle \sum_{k=1}^n \Big \lfloor\dfrac{2000k-47}{1998} \Big \rfloor=\dfrac{n(n-1)}2+(q+1)(n-23)-999\dfrac{q(q+1)}2$ où $q=\Big\lfloor\dfrac{n-23}{999}\Big\rfloor$

Cidrolin

Merci à tous deux.

Je note $E(x)$ la partie entière de $x$.

Soit $v_k=E(\dfrac{2000k-47}{1998})=k+E(\dfrac{2k-47}{1998})=k+E(\dfrac{k-23,5}{999})$.

Donc $v_k=k+E(f(k))$. On trouve $f^{-1}(k)=999k+23,5$

La suite complémentaire de $(v_k)$ est définie par $u_k=k+E(999k+23,5)=1000k+23$

Dans la somme proposée on peut trouver tous les nombres sauf : $23; \,1023;\,2023;\,3023;\dots$

On a  donc $S=\displaystyle \sum_{k=1}^n v_k=\sum_{k=1}^{v_n} k-\sum_{k=1}^{v_n-n}(1000k+23)$

qu'on calcule facilement.

jandri

Je n'avais pas pensé à introduire des suites complémentaires, j'ai fait différemment.
Je généralise à $S_n=\displaystyle \sum_{k=1}^n \Big \lfloor\dfrac{2k-(2b+1)}{2a} \Big \rfloor$ avec $0\leqslant b<a$ (entiers), .
Pour $1\leqslant k\leqslant b$ la partie entière vaut $-1$.
Pour $b+ja+1\leqslant k\leqslant b+ja+a$ la partie entière vaut $j$.
On en déduit aisément que si $n=b+qa+r$ avec $0\leqslant r<a$, c'est-à-dire $q=\Big \lfloor\dfrac{n-b}{a} \Big \rfloor$ : $$S_n=q(n-b)-b-\dfrac{q(q+1)a}2$$.
Quand $b\geqslant a\geqslant1$ la formule est un tout petit peu plus compliquée.