Fixer un centre

Ludwig

Bonsoir,
Je propose un petit jeu : faire tourner trois points $A$, $B$ et $C$ sur le cercle trigonométrique de façon à ce qu'un centre ETC du triangle $ABC$ reste fixe pendant ces rotations. Tous les coups sont permis : vous pouvez trouver des formules pour les vitesses angulaires (il y aurait une méthode générale à partir des coordonnées barycentriques du centre ?), obtenir ces rotations par une construction géométrique ou autre.

Un exemple trouvé un peu par hasard : une fixation de $X_{100}$. Le point $C$ varie sur le cercle, $A$ est son symétrique par rapport à $y=0$ et $B$ celui par rapport à $y=x\sqrt{3}$. Pour la construction de ce centre j'ai suivi celle de Randy Huston sur le site de l'Encyclopédie : 
Let LA be the reflection of the line X(1)X(3) in line BC, and define LB and LC cyclically. Let A' = LB ∩ LC, B' = LC ∩ LA, C' = LA ∩ LB.
The lines AA', BB', CC' concur in X(100). (Randy Hutson, 9/23/2011).

Ici la fixation du centre n'est que partielle : il reste au même endroit lorsque $C$ varie sur une partie du cercle trigonométrique seulement, sur l'autre il se déplace sur ce cercle. Ci-joint le fichier GeoGebra au format txt.

Rescassol

Bonsoir,

En faisant tourner $A,B,C$ n'importe comment sur le cercle trigonométrique, le point $X_3$ ne bouge pas 

Cordialement,
Rescassol

Rescassol

Bonsoir,

Un exemple avec l'orthocentre $X_4$.
Ci-joint le fichier Géogébra (c'est un ggb, donc enlever l'extension txt).
On peut faire tourner le point $A$ sur le cercle et bouger le point $H$ à l'intérieur du cercle.
On a des résultats bizarres si $H$ sort du cercle.
Évidemment, la même méthode fonctionne pour le centre de gravité $X_2$.

Cordialement,
Rescassol

Ludwig

Il me semble qu'on devrait pouvoir adapter ta méthode lorsque $H$ est en dehors du cercle, peut-être une histoire de bonne intersection à prendre.
Ci-dessous une méthode que j'ai vu passée sur le forum il y a quelque temps, pour $X_6$. Elle fonctionne aussi pour les centres n° $15$, $16$, $32$, $39$, $61$, $62$, $182$, $187$ et sans doute beaucoup d'autres.
On part d'un point $M$ sur $(Ox)$ et de $A$ variable sur le cercle. $(AM)$ recoupe le cercle en $E$. Les points $E'$ et $E''$ sont les images de $E$ par la rotation de centre $O$ et d'angle respectivement $+2\pi /3$ et $-2\pi /3$. $(E'M)$ recoupe le cercle en $B$, $(E''M)$ le recoupe en $C$.

Lorsque $M$ est en dehors du cercle la fixation peut n'être que partielle.

Ludwig

Non c'est normal pour l'orthocentre lorsqu'il se trouve à l'extérieur : le lieu du pied de la médiane issue de $A$ est un cercle dont une partie se trouve à l'extérieur du cercle circonscrit. C'est une construction classique.

pappus

Bonjour à tous

j'ai parlé ici même dans l'indifférence la plus générale du cas où le point fixe était le point de Lemoine et souligné comment la géométrie hyperbolique permettait d'éclaircir la situation !

Amicalement

pappus

Vassillia

Bonjour pappus,
Tu n'es pas obligé de rouspéter sauf si cela te fait guérir plus vite, en tout cas sache qu'on te lit, je me rappelle de ce fil https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2407712
Donc le point de Lemoine doit vérifier $birapport(B,B_K,L_K,B')=birapport(A,A_K,L_K,A')=birapport(C,C_K,L_K,C')=-1/2$ dans la figure suivante où vous pouvez bouger $A$ et le point de Lemoine $L_K$ https://www.geogebra.org/classic/hbjquwgp
J'aurais pu faire comme toi quand tu construits tous les triangles inscrits à une conique dont tu connais le perspecteur mais j'ai décidé d'être flemmarde et d'utiliser le modèle de Poincaré où il suffit de faire une jolie rotation d'angle 120° du point $A$ à partir du centre $L_P$ d'autant plus que pour une fois, j'avais déjà tout ce dont j'ai besoin (enfin disons plutôt qu'il faut remercier @pldx1 qui m'a fourni toutes les macros dont j'ai besoin).

Ludwig

Bonsoir pappus,
Ben oui moi aussi j'ai suivi ce fil. Si je ne suis pas intervenu c'est par ignorance, pas par indifférence..  Pas tout compris donc, mais j'y ai piqué une méthode pour fixer un centre (voir plus haut).
Ci-dessous une fixation partielle du centre $X_{199}$ : $A$ variable sur le cercle, $B$ son symétrique par rapport à $y=0$, $C$ son symétrique par rapport à $y=x\sqrt{3}$.

Ce centre oscille sur un segment et reste bloqué aux extrémités pendant un certain temps. Finalement ces fixations partielles me plaisent davantage que les complètes, car j'y vois une mécanique dont une partie tout d'un coup s'arrête, s'immobilise, alors que l'autre partie continue de bouger.
 

Rescassol

Bonjour,

Voici un fichier Géogébra avec le point de Lemoine $X_6$.
Mêmes commentaires que plus haut avec l'orthocentre.

Cordialement,
Rescassol