La conjecture de Collatz

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Réponses

  • en revenant sur ce post
    https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2436936#Comment_2436936

    On peut dire que les i_source sont de la forme $4n+3$ ou $8n+1$ mais on peut distinguer parmi eux des $i_{source}$ primaires et les $i_{source}$  secondaires.
    Les i_source primaires sont ceux de la forme $8n+1$
    Ils ont pour propriété qu'on ne peut pas trouver un impair $i{'}$ tel que $2i{'}+1 = i_{source}$.
    Ce qui est intéressant c'est que si on a un $i_{source}$ primaire alors $2*\cdot i_{source} + 1$ est un $i_{source}$  secondaire de la forme $4n+3$
    et cet $i_{source}$  secondaire a le même nombre d'étapes impaires $e$ et sa longueur est celle du $i_{source}$  primaire augmenté de 1.

    On peut le vérifier pour les 704 $i_{source}$  trouvés parmi les 1878 descendants impairs de 16 pour $x<=34$.
    Il y a 393 $i_{source}$ secondaires en $4n+3$  et 311 $i_{source}$ primaires en $8n+1$
    à chaque fois  $2\cdot i_{source_{primaire}} + 1$ est un autre $i_{source}$ mais secondaire en $4n+3$  qui a le même nombre d'étapes impaires $e$ et la longueur est celle du $i_{source}$  primaire augmenté de 1.
    Ce qui est égament intéressant est la comparaison des suites du $i_{source}$ primaire et du $2\cdot i_{source_{primaire}} + 1$
    Par exemple 9 et 19
    Ces deus suites se rejoignent à 11 en étape $e = 4$
    9, 28, 14, 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
    19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
    On remarque alors que l'étape $e=3$ avant la jonction des 2 suites est tel que $7*4+1=29$.
    Ceci est valable pour tous les couples composés de $i_{source}$ primaire et $2\cdot i_{source_{primaire}} + 1$
  • PMF
    PMF
    Modifié (July 2023)
    autre exemple : le $i_{source_{primaire}}$ 79535217 et le secondaire 159070435  (2*79535217+1 = 159070435)
    Ces suites ont $e=3$ pour les 2 et $x= 34$ pour le premier et $x=35$ pour le deuxième
    La jonction des suites se fait en $e=1$ à 21845 soit avec le $i_{last}$ puisque 3*21845+1 = 65536
    L'étape en $e=2$ est 59651413 pour le premier et 238605653 pour le second :
    4*59651413+1 = 238605653

    On a donc deux ''lois" pour classer les impairs suivant les propriétés de leurs suites de Collatz :
    1) Un $i_{source_{primaire}}$ en $8n+1$ permet de générer des $i_{source_{secondaire}}$ en $4n+3$ avec $i_{source_{secondaire}} = i_{source_{primaire}}\cdot 2 +1$ et cet $i_{source_{secondaire}}$ a le même nombre d'étapes impaires $e$ et la longueur de suite $x$ du primaire +1.

    2) Un $i_{source}$ qu'il soit primaire ou secondaire c.a.d. en $8n+1$ ou $4n+3$ permet de produire des déclinaisons ayant le même nombre d'étapes impaires $e$ et la longueur de suite $x$ du primaire +$2k$. Ces déclinaisons sont en $8n+5$
    $i = i_{\text{source}} \times 2^{2k-2} + \frac{{2^{2(k-1)}-1}}{3}$


  • @lourrran
    $4n+1$ et $8h+5$ sont de la forme $i=2^p+y$ où $y$ est une séquence de déclinaison comme $1, 5, 21, 85, 341...$
    Quand $p$ augmente de 1, on passe au terme suivant de la séquence.
    Donc on peut très bien imaginer la suite : 
    $4n+1, 8n+5, 16n+21, 32n+85, 64n+341, 128n+1365, 256n+5461, 512n+21845$
    et calculer $i$ :
    pour $n=1$
    $5, 13, 37, 117, 405, 1493, 5717, 22357$
    $n=2$
    $9, 21, 53, 149, 469, 1621, 5973, 22869$
    $n=3$
    $13, 29, 69, 181, 533, 1749, 6229, 23381$
    $n=4$
    $17, 37, 85, 213, 597, 1877, 6485, 23893$
    On remarque que quand $n=2$, les $4n+1$ (3, 9) produisent des $i$ de la forme $8n+1$ c.a.d. des $i_{source}$
    Tous les autres impairs produits par les autres formes et $4n+1$ avec $n_{impair}$ sont de la forme $8n+5$ et sont donc des déclinaisons.

    Evidemment quand $n$ est pair, $4n+1 = 4\cdot 2+1 = 8n+1$. Donc $i$ est un $i_{source_{primaire}}$ (Sur le tableau ci-dessus en orange).

    A chaque ligne, l'écart d'un impair à l'autre est logiquement de $2^p$. Si on applique cette règle pour $n$ de 1 à 24 pour des $i<100$ :
    $4n+1$ : $1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41, 45, 49, 53, 57, 61, 65, 69, 73, 77, 81, 85, 89, 93, 97$
    $8n+5$ : $5, 21, 37, 53, 69, 85$ déjà trouvés en $4n+1$
    $16+21$ : $21, 85$ déjà trouvés en $4n+1$
    Les impairs absents de la ligne $4n+1$ sont tous des $4n+3$ : $3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39, 43, 47, 51, 55, 59, 63, 67, 71, 75, 79, 83, 87, 91, 95, 99$

    En conclusion :
    La forme $4n+1$ avec $n_{pair}$, équivalente à $8n+1$ produit les $i_{source_{primaire}}$
    La forme $4n+1$ avec $n_{impair}$, équivalente à $8n+5$ produit des déclinaisons
    Tous les impairs non produits par la forme $4n+1$ quelque soit $n$ sont des $i_{source_{secondaire}}$ en $4n+3$
  • On va gagner du temps.
    Tu as regardé les groupes modulo 4, les 4n+1 comparés aux 4n+3 ; tu regardes les 8n+1, 8n+3, 8n+5 et 8n+7.  
    Puis tu vas regarder les groupes modulo 16.
    Regardons directement les groupes modulo 64.  Et on pourrait aller beaucoup plus loin, les groupes modulo $2^n$ pour d'autres valeurs de n.
    J'ai pris les nombres entre $20 000 000$ et $20 000 000 + 2^{19}$ , aussi bien les nombres pairs que les nombres impairs. Comme déjà dit souvent, les nombres pairs suivent la même mécanique, et en les regardant, certaines évidences sautent aux yeux.
    Pour tous les nombres de cet intervalle, je calcule le nombre d'étapes nécessaires pour arriver à 1. Et je fais des moyennes.

    Regardons uniquement la dernière colonne : pour tous les nombres du type $16n+15$ (dernière ligne), il faut en moyenne 196.73 étapes pour arriver à 1. Alors que pour les nombres du type $16n$, il faut seulement 145.76 étapes. Pas surprenant, pour les nombres de type $16n$, le chemin commence immédiatement par plusieurs descentes : tout schuss vers 1.
    Si on regarde les autres colonnes, on a le détail des 64 groupes. Chaque moyenne est calculée à partir de 8192 nombres, c'est suffisant pour être significatif. Les nombres du type 64n+48+15 ( avant-dernière colonne, dernière ligne) sont ceux qui galèrent le plus, il leur faut en moyenne 209.87 étapes pour arriver à 1. Contre seulement 134.36 étapes pour les nombres de type 64n.

    Ceci répond complètement à tes interrogations. 
    Puisqu'il suffit de 170 étapes pour arriver à 1, pour les nombres de type $64n+1$ de l'ordre de 20 000 000 , alors qu'il en faut 209.87 pour les nombres de type $64n+63$, ça veut dire que, quand on remonte à partir de 1, avec 170 étapes, on ratisse loin si on regarde les nombres de type $64n+1$ ( on ratisse à 20 Millions de kilomètres), alors qu'on ratisse beaucoup moins loin parmi les nombres de type $64n+63$.

    A un moment où un autre, le mot 'fractales' pourrait apparaître dans cette discussion. 

    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • PMF
    PMF
    Modifié (July 2023)
    @lourrran
    Ok en suivant ta logique je fais un test de comparaison d'impairs de l'ordre de 20.000.000 en 64n+1 vs 64n+15

    Tous les nombres en $64n+1$ sont des $8n+1$ et tous les $64n+15$ sont des $4n+3$. Donc que des $i_{source}$ primaire pour le premier et secondaire pour le deuxième.
    Cet extrait entre $n = 300023$ et $n=300039$ est intéressant. On trouve des suites en $x=58$ et $e=13$ dans les colonnes $64n+1$ et les $64n+15$. Donc tous ces impairs sont dans le même cluster.
    De même que :
    $x=120$ et $e=37$
    $x=283$ et $e=100$
    $x=257$ et $e = 90$
    $x=94$ et $e = 27$
    $x=314$ et $e = 112$
    $x=239$ et $e = 83$
    $x=146$ et $e = 47$

    On voit par contre que les $x$ varient pas mal : entre $x=58$ et $x=314$ C'est presque 5 fois plus entre mini et maxi. Si on fait des moyennes, elles cacheront peut-être des disparités assez grandes. La moyenne sur 100 suites en 64n+1 est de 171,78.

    On compare aussi $64n+1$ et $64n+63$

    On trouve encore des suites identiques des deux côtés comme $x=257$ et $e = 90$ ou $x=208$ et $e = 71$
    Tous les nombres en $64n+1$ sont des $8n+1$ et tous les $64n+63$ sont des $4n+3$

    Je conclus que :
    1) Suivant l'impair de 1 à 63 que l'ajoute à 64n, on obtient les 3 types suivants (ici pour n=1):
    4n+3: 67, 71, 75, 79, 83, 87, 91, 95, 99, 103, 107, 111, 115, 119, 123, 127
    8n+1: 65, 73, 81, 89, 97, 105, 113, 121 
    8n+5: 69, 77, 85, 93, 101, 109, 117, 125

    2) Faire ce genre de tests est intéressant pour voir la formation des clusters {e, x}

    3) reste à savoir si ce système $64n+y{'}$ est-il plus où moins intéressant que les 3 types standard? . On peut voir aussi une similitude avec $i=2^p+y$. Si $n$ est une puissance de 2, alors $y = y{'}$
    $64*4+1 = 2^8+1$
  • Et moi, je conclus que :
    1) faire ce genre de tests permet de vérifier des évidences.

    Tu dis que les moyennes peuvent cacher des disparités fortes. Oui. Mais Comme tu peux le constater, on a par exemple 3 valeurs à 171.01, 3 valeurs à 157.86 .. on fait des moyennes de nombres qui vont de 58 à 314, et au centième près, on tombe sur le même nombre ! 
    J'ai bien pris soin de traiter 2^19 nombres consécutifs. Avec 500 000, ou 530 000, ça marcherait évidemment moins bien.
    En plus, on peut vérifier d'autres évidences.
    Si on fait le même traitement sur des nombres de l'ordre de 60 Millions , on trouve les mêmes résultats, en ajoutant environ 10.4 à chaque cellule.
    Par exemple, le 134.36 de la première cellule devient 144.43.

    Si on part d'un nombre de l'ordre de 20 Millions, de la forme i=64n+63, après la première étape, on aura 3i+1 de la forme 64n+62, et de l'ordre de 60 Millions. On retombe sur nos pattes. Les nombres de la forme 64n+62 de l'ordre de 20 millions ont en moyenne 197 étapes. 10 étapes de plus pour ceux de l'ordre de 60 millions, et 1 étape de plus pour cette opération 3n+1  ; 197+10+1= 208, proche du 209.87.
    Ce n'est pas une coïncidence, c'est une évidence.

    Il faudrait réfléchir un peu, mais je pense qu'avec des suites compressées, ça marcherait encore mieux. Cf les tableaux de 2020.

    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • lourrran
    Modifié (July 2023)
    Et surtout, tu 'restreins' les résultats à ton horizon, c'est à dire modulo 8. Mais comme je te disais, tu vas un jour regarder un pas plus loin, modulo 16, puis encore un pas plus loin, modulo 32. 
    Et en fait, aussi loin que tu décomposes, tu vas trouver ces disparités. Ici, j'ai traité modulo 64, mais modulo 1024, 4096 ... n'importe quelle puissance de 2, tu as ces disparités. L'unique difficulté, c'est de traiter des volumes suffisamment grands pour pouvoir observer ces résultats.

    Mais tu pourrais inverser la démarche. Plutôt que faire des calculs et constater des résultats, tu pourrais faire des raisonnements, et 'anticiper' les résultats que tu vas obtenir. Puis ensuite vérifier ces raisonnements, en faisant tourner des programmes sur des grands volumes de données.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • PMF
    PMF
    Modifié (July 2023)
    @lourrran
    Si je suis la théorie des clusters  ce que tu observes avec ta méthode révèle une ou plusieurs propriétés des suites et est donc relié au modèle général. 
    Le raisonnement est le suivant.  Si on analyse un intervalle d'impairs continu, on trouve l'ensemble des clusters remplissant cet intervalle. Donc il y a beaucoup moins de clusters que le nombre d'impairs dans l'intervalle,  et chaque cluster a sa longueur $x$. Logiquement la moyenne des longueurs sera basée sur une assez forte répétition d'un assez petit assortiment de longueurs. 
    Et si l'analyse se fait avec des impairs de type $64n+y$ alors on répartit les membres des clusters dans ces catégories mais cela ne change pas que les longueurs sont toujours celles des clusters de cet intervalle. 
  • Une nouvelle fois, j'ai vraiment dû décrypter pour comprendre ce que tu dis.
    Si je suis la théorie des clusters  ce que tu observes avec ta méthode révèle une ou plusieurs propriétés des suites et est donc relié au modèle général. 
    Bof bof, quelle théorie des clusters ? Disons la modélisation via les clusters (les clusters sont bien réels, je ne les nie pas du tout).  
    il y a beaucoup moins de clusters que le nombre d'impairs dans l'intervalle,  et chaque cluster a sa longueur $x$.
    Oui, un cluster est un groupe contenant des des centaines ou des milliers d'impairs, on a 1000 fois moins de clusters que d'impairs. Ici le ratio est plus faible, car on ne prend pas des clusters complets, on regarde une petite tranche d'entiers entre 20 000 000 et 20 500 000, seulement  2% d'écart entre la borne min et la borne max, et donc, pour les clusters touchés, on regarde au mieux un quart de chaque cluster.
    Logiquement la moyenne des longueurs sera basée sur une assez forte répétition d'un assez petit assortiment de longueurs. 
    Oui. Pour arriver à un nombre qui est dans l'intervalle 20 000 000, 20 500 000, c'est un intervalle qui est 'petit' , la borne max est seulement 2% supérieure à la borne min.  Donc la combinaison (nombre d'étapes paires ; nombre d'étapes impaires) est relativement imposée.
    Ici , les clusters principaux sont (86,25),(99,30),(104,32),(117,37),(130,42),(135,44),(148,49),(161,54),(166,56),(179,61) et (192,66)

    On vérifie que pour passer d'un cluster au suivant, on ajoute  13 étapes en tout, réparties en 8 étapes paires et 5 étapes impaires ($2^8=256$ est proche de $3^5=243$), ou aussi 5 étapes réparties en 3 étapes paires et 2 étapes impaires ($2^3=8$ est proche de $3^2=9$)
    Ces 11 clusters contiennent à eux seuls presque la moitié des nombres de cet intervalle.
    Et si l'analyse se fait avec des impairs de type $64n+y$ alors on répartit les membres des clusters dans ces catégories mais cela ne change pas que les longueurs sont toujours celles des clusters de cet intervalle. 
    Oui, les clusters les plus présents restent les mêmes ... enfin presque.
    J'ai commencé hier différentes analyses, mais cette fois, à base de suites compressées, je vais les partager (en fin de journée ?), et toutes les explications qui vont avec.

    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • PMF
    PMF
    Modifié (July 2023)
    @lourrran
    Merci pour ce retour très intéressant. Je suis d'accord avec l'essentiel de ton analyse. 
    La proximité de valeur entre puissance de 2 et puissance de 3 est une approche intéressante pour évaluer le ratio $e/(x-e)$

    Comme je pose la définition d'un cluster en {e, x} avec $e$ le nombre d'étapes paires et $x$ la longueur de la suite sachant que :
    Pour $e$, la première étape impaire (1er terme de la suite) est comptée mais pas 1 
    Pour la longueur $x$, on compte à partir du 1er terme toutes les étapes paires ou impaires mais pas 1. (ce que fait https://calculis.net/syracuse par exemple)

    Donc voici quelques impairs dans l'intervalle que tu as donné et leurs clusters
    Cluster {30, 102} : 20481217, 20481345, 20481921, 20481985, 20482049, 20482177, 20482241, 20482305, 20482945, 20484481, 20484673, 20485057, 20485121, 20485185, 20485313, 20485377, 20485441, 20485505, 20485697, 20485761, 20485889, 20485953, 20486145, 20486209....
    Cluster {42, 133} : 20480897, 20480961...
    Cluster [44, 138} : 20000005, 20000141, 20000145, 20000147, 20000149, 20000151, 20000153, 20000155, 20000163, 20000165, 20000167, 20000183...
    Cluster {54, 164} : 20000011, 20000013, 20000017, 20000023, 20000031, 20000033, 20000035, 20000037, 20000039, 20000043, 20000047, 20000055, 20000061, 20000069, 20000075, 20000077, 20000079, 20000087, 20000091, 20000105, 20000107, 20000133, 20000137, 20000139, 20000161...

    Eventuellement si tu peux checker de ton coté quelques uns de ces impairs et voir si on est d'accord sur $e$ et $x$. ton approche m'intéresse et si on veut croiser quelques analyses autant être sur que l'on est sur les mêmes bases.
    Par contre pour les suites compressées, c'est difficile de comparer sauf si on est certain de l'équivalence $x_{compressé}$ vs $x_{standard}$
  • Je me suis trompé, les chiffres que je donnais sont sur l'intervalle [2 000 000 , 2 500 000] et non [20 000 000 ,20 500 000] 
    C'est pour ça que tu as un cluster (30,102), alors que moi, j'ai le cluster (30,99)
    Mes nombres sont 8 à 10 fois plus petits que les tiens, 3 étapes paires en moins.

    Je compte comme toi. Et cette méthode est adaptée pour les nombres pairs ; on voit que 306 et 307 sont dans le même cluster. Dès la 5ème étape, ils suivent la même route.

    Pour les suites compressées, la conversion est ultra-simple. Par exemple, au lieu d'avoir 102 étapes en tout, dont 30 étapes impaires, on a 102-30=72 étapes en tout, dont 30 étapes impaires.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • J'ai été très occupé aujourd'hui, pas le temps de faire la synthèse de ce que j'avais.
    Mais comme je disais qu'on parlerait bientôt de fractales, j'ai cherché si je trouvais des sites qui parlaient de fractales et de Syracuse.

    J'ai trouvé cette vidéo (en anglais, par un espagnol à l'accent espagnol) 
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • PMF
    PMF
    Modifié (July 2023)
    @lourrran
    J'ai fait les calculs sur l'intervalle 20M au lieu de 2M mais autant jeter un oeil dessus.
    J'ai distingué deux séries, l'une de 4992 impairs de 20 000 001 à 20009983 et une autre de 4992 impairs de 20 490 001 à 20499983
    Donc les début et fin de l'intervalle.
    Pour chaque suite, sont calculés $x$, $e$, $e/(x-e)$ et le type $8n+1, 8n+5, 4n+3$ ainsi qu'un "index" qui est la valeur de $y$ tel que $i=64n+y$

    1) il y a en tout 38 clusters sur les deux séries. Beaucoup sont communs mais certains ne sont que sur une seule série
    Série 1 : 29 clusters :
    {13, 58}, {23, 84}, {35, 115}, {37, 120}, {42, 133}, {44, 138}, {47, 146}, {54, 164}, {59, 177}, {64, 190}, {66, 195}, {71, 208}, {76, 221}, {78, 226}, {83, 239}, {88, 252}, {97, 275}, {100, 283}, {105, 296}, {107, 301}, {112, 314}, {117, 327}, {124, 345}, {129, 358}, {136, 376}, {141, 389}, {153, 420}, {160, 438}, {165, 451}, 
    Série 2 : 27 clusters
    {20, 76}, {23, 84}, {30, 102}, {35, 115}, {40, 128}, {42, 133}, {47, 146}, {52, 159}, {59, 177}, {64, 190}, {66, 195}, {71, 208}, {73, 213}, {76, 221}, {83, 239}, {88, 252}, {93, 265}, {100, 283}, {105, 296}, {107, 301}, {112, 314}, {126, 350}, {129, 358}, {141, 389}, {146, 402}, {153, 420}, {170, 464}
    ce qui fait 18 clusters communs :
    {23, 84}, {35, 115}, {42, 133}, {47, 146}, {59, 177}, {64, 190}, {66, 195}, {71, 208}, {76, 221}, {83, 239}, {88, 252}, {100, 283}, {105, 296}, {107, 301}, {112, 314}, {129, 358}, {141, 389}, {153, 420}
    C'est normal parce que :
    le premier cluster commun {23, 84} se situe entre 12 246 469 et 24 492 938
    un cluster commun comme {83, 239 se situe entre 11 444 193 et 22 888 387
    le dernier cluster commun {153, 420} se situe entre 11 869 348 et 23 738 697,
    Donc toutes ces combinaisons de $x$ et $e$ ont des bornes qui permettent d'avoir des clusters communs aux deux séries.

    2) le ratio $e/(x-e)$ mesure le ratio entre étapes impaires et paires. Il se situe entre 28;9% et 57,8% pour les deux séries et est composé de 38 valeurs spécifiques qui sont organisées en fonction du fait que $e = \lfloor 0.3868x - 9.4484 \rceil$. Si on se base que sur la série 1 on a : $e = \lfloor 0.3868x - 9.4493 \rceil$. Je suppose que comme le log2 i est en moyenne dans la série 1 égal à 24.2539, on a $e=\lfloor \dfrac{x-24.2539}{\log_26}\rfloor$ qui donne aussi $e$ de manière exacte. Donc si on rapproche les 2 formules, j'ai 1/log2(6)= 0.3869 et 24,2539/log2(6) = 9.3827. Donc grosso modo la même chose.

    3) Si je prends le cluster {54, 164} , il contient 552 impairs dans la série 1 et aucun dans la série 2. Les bornes sont pourtant 11 161 480 et 22 322 959,
    ce qui montre que la formule $\frac{2^{x-e-1}}{3^e} < i < \frac{2^{x-e}}{3^e}$
    donne une limite supérieure qui est quand même plus grande que 20 490 001 qui est le début de la série 2.

    On trouve : 130 $8n+1$, 141 $4n+3$, 113 $8n+5$, 168 $4n+3$
    Si on prend les "64n" on a de +1 à +63, le nombre d'impairs suivants :
    13, 21, 16, 21, 16, 19, 12, 21, 18, 18, 6, 15, 21, 17, 15, 34, 18, 6, 14, 22, 14, 24, 16, 19, 11, 22, 15, 19, 19, 14, 19, 17
    $64n+31$ est la plus représenté avec 34 élements et $64n+21$ ou $64n+35$ n'ont que 6 élements. La moyenne est de 18 éléments par type de 64n.
    Un cluster s'il est assez grand a donc tous les types 4n ou 8n et tous les types 64n.

    4) sur la relation entre les types :
    les 8n+1 correspondent aux 64n + 1, 9, 17, 25, 33, 41, 49, 57
    les 4n+3 correspondent aux 64n + 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39, 43, 47, 51, 55, 59, 63
    les 8n+5 correspondent aux 64n + 5, 13, 21, 29, 37, 45, 53, 61
    Cette relation est évidente mais il peut être utile de s'en souvenir si on veut comparer des moyennes de $x$ par type

    Par exemple la moyenne des $8n+5$ est 173,192 pour la série 1 et 155, 93 pour la série 2.
    Si je prends les 64n+5 dans la série 1, la moyenne est de 166,608
    Si je prends les 64n+5 dans la série 2, la moyenne est de 140,782
    Si je prends les 64n+61 dans la série 1, la moyenne est de 188,134
    Si je prends les 64n+61 dans la série 2, la moyenne est de 171,5

    On peut dire que l'on peut trouver des valeurs spécifiques de moyenne $x$ par types de 64n qui restent compatibles avec les écarts de distribution autour de la moyenne des $8n+5$, $8n+1$, $4n+3$.
    Moyenne pour la série 1
    8n+5  : 173,192
    8n+1 : 187,124
    4n+3 : 193,060

  • le premier cluster commun {23, 84} se situe entre 12 246 469 et 24 492 938
    un cluster commun comme {83, 239 se situe entre 11 444 193 et 22 888 387
    le dernier cluster commun {153, 420} se situe entre 11 869 348 et 23 738 697,

    ???
    Systématiquement, ta borne inf est la moitié de ta borne sup.

    En principe, un cluster a une amplitude d'environ 10%. Le cluster {83, 239} contient les nombres qui ont 239 étapes dont 83 étapes impaires. c'est à dire 239-83=156 étapes paires.
    Les nombres de ce cluster doivent tous être proches de $2^{156}/3^{83} \approx 22 888 387$ ; ce nombre est un majorant. Tous les nombres de ce cluster sont entre 22 888 387 -10% environ et 22 888 387.
    Je retrouve ton 22888387, qui est un majorant assez large. Le plus grand nombre de ce cluster est certainement bien en dessous de cette valeur de 22 888 387.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • PMF
    PMF
    Modifié (July 2023)
    @lourrran
    l'intervalle est bien calculé avec $\frac{2^{x-e-1}}{3^e} < i < \frac{2^{x-e}}{3^e}$ qui est la formule classique de @Collag3n
    donc

    Généralement je trouve aussi que c'est "large" côté minorant (trop petit) comme majorant (trop grand). Mais c'est toujours vrai.
    Il faudrait faire des tests systématiques pour avoir des clusters complets mais je n'ai ces infos qu'avec la descendance de 16 pour x<=34 et je coince pour des calculs plus grands (le script phyton ne passe pas x=50 de mémoire). 

    Ici on voit avec la formule $i=2^p+y$ que $p_{maj}=p_{min}+1$ et $y_{min}*2=y_{maj}$

    Lorsqu'on calcule $ \frac{i}{{\frac{{\text{{minorant}} + \text{{majorant}}}}{2}}}$ pour les 1878 descendants de 16 on a des résultats entre 107% et 133%
    donc si idéalement les ratio devraient être entre 66% et 133%, on est toujours au dessus de 100%.
  • PMF
    PMF
    Modifié (July 2023)
    Je reviens sur l'intervalle des clusters : $\frac{2^{x-e-1}}{3^e} < i < \frac{2^{x-e}}{3^e}$

    $ \frac{minorant}{{\frac{{\text{{minorant}} + \text{{majorant}}}}{2}}}=2/3$
    $ \frac{majorant}{{\frac{{\text{{minorant}} + \text{{majorant}}}}{2}}}=4/3$

    L'analyse de clusters complets , ce qui ne peut être fait que si on calcule une descendante de 16 pour une certaine valeur de $x$ permet de voir que pour les 1878 descendants pour $x=34$ on a 151 clusters dont les impairs se situent entre 107% et 133% 

    Les majorants semblent ok car pour les clusters ayant $e = 1$, car tous les $i$ sont égaux aux majorants arrondis.

    Pour les $e>=2$, on trouve 723 $i$ très proches des majorants, cad : $ \frac{i}{{\frac{{\text{{minorant}} + \text{{majorant}}}}{2}}}$ $\approx 4/3$

    Pour toute valeur de $e$, si on ote les impairs dont le ratio est >125% , il reste environ la moitié des impairs (956/1878)

    les 10 plus grand impairs de cette descendance ont un ratio de 133%. Mais d'une manière globale, on trouve l'ensemble des ratio de 107% à 133% 
     pour toutes les valeurs de $p$ qui est la partie entière du log 2 des impairs.

    On a donc clairement un trou entre 66% et 107%, ce qui tend à faire croire que les minorants sont trop bas.
    $\frac{1.5 \cdot 2^{x-e-1}}{3^e} < i < \frac{2^{x-e}}{3^e}$ pourrait être plus précis

    ou $\frac{2^{x-e-2/3}}{3^e} < i < \frac{2^{x-e}}{3^e}$ qui permet de caler les ratio entre 98% et 123%

    ou $\frac{2^{x-e-1/3}}{3^e} < i < \frac{2^{x-e}}{3^e}$ qui permet de caler les ratio entre 89% et 112% (mieux centré)


  • lourrran
    Modifié (July 2023)
    Cette page donne des résultats .
    Les records atteints sont donnés, pour (x,e) donnés, la plus petite valeur ne descend jamais en dessous de $\frac{2^{x-e}}{3^e \times 1.25314}$

    Ce record peut être battu pour des plus grandes valeurs, mais ça restera dans des valeurs très voisines.  Mon -10% était donc très optimiste, c'est -20%

    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • PMF
    PMF
    Modifié (July 2023)
    @lourrran

    Je comprends donc cette notion de "résidu" $r$ comme :
    pour la suite de $i$ , et ses valeur$x$ et $e$,
    $i{'} = \frac{2^{x-e}}{3^e}$
    $r= \frac{i{'}}{i}$
    $i=\frac{2^{x-e}}{3^e \times r}$
    Par exemple pour i= 20 000 001 x=115, e =35,  i' = 24 163 272,  residu i'/i = 1,208163526 et $20000001=\frac{2^{115-35}}{3^{35} \times 1,208163526}$

    Donc dans un cluster, il y a un résidu minimal et un maximal si le cluster a plus d'un impair.
    Je remarque que parmi les 1878 descendants de 16 pour $x<=34$, le résidu minimal est très proche de 1 (entre 1,001 et 1,009) si le cluster a au moins 5 éléments, ce qui est le cas pour 71 clusters sur 151. Pour ces mêmes clusters, le résidu max est entre 1,0666 et 1.2299

    Ces clusters ont un résidu minimal de 1,0000000 : {1, 27}, {1, 29}, {1, 31}, {1, 33}, {2, 30}, {2, 31}, {2, 32}, {2, 33}, {2, 34}, {3, 32}, {3, 33}, {3, 34}

    Le résidu maximal 1,248590154 est pour i = 9 qui est le seul élement du cluster {6, 19}



  • PMF
    PMF
    Modifié (July 2023)
    lorsque l'on prend un $i_{source}$ et ses déclinaisons, 
    à chaque valeur de k, le résidu baisse de plus en plus lentement :
    par exemple pour $i_{source}=7$ 
    1,203997648, 1,162480488, 1,152544757, 1,150087306, 1,14947458, 1,1493215, 1,149283237, 1,149273671, 1,14927128, 1,149270682
    pour rappel, les déclinaisons sont calculées par :  $i = i_{\text{source}} \times 2^{2k-2} + \frac{{2^{2(k-1)}-1}}{3}$
    Les déclinaisons ont le même $e$ que le  $i_{source}$ et pour $k+1$, on a $x+2$


  • lourrran
    Modifié (July 2023)
    Oui, ta formule pour le résidu est correcte.
    Prenons un nombre assez petit, avec un chemin assez court, disons 37.
    La descente de 37 vers 1 est : 37,112,56,28,14,7,22,11, 34,17,52,26,13,40 , 20,10,5,16,8,4,2,1
    On a 15 étapes paires, et 6 étapes impaires
    Si on regarde dans le sens de la montée, on a 15 multiplications par 2, et 6 multiplications par un nombre un peu inférieur à $\frac13$

    Sur cet exemple, on a l'égalité : $37 =2^{15} \times \frac{37}{112} \times \frac{7}{22} \times \frac{11}{34} \times \frac{17}{52} \times \frac{13}{40} \times \frac{5}{16}$
    Chacune des 6 fractions est un nombre un peu inférieur à $\frac13$, et plus le numérateur est grand, plus cette fraction est proche de $\frac13$.

    Quand on fait une multiplication par $\frac{5}{16}$, si on compare à une multiplication par $\frac{1}{3}$, on a perdu environ 6%. Et ces 6% qu'on a perdus, on ne les récupérera pas avec les multiplications suivantes, parce qu'à chaque multiplication pour les étapes impaires, on perd un petit quelque chose en plus.

    Les nombres qui passent par 5 perdent 6% , ceux qui passent par 5 et par 7 perdent 6% en passant par 5, et  4.5% en passant par 7 ... Plus de 10% de perdu avec ces 2 seules étapes.
    Ceux qui ne passent pas par 5 mais par 85 ne passent par aucun petit nombre, ils perdent 0.4% en passant par 85, et à nouveau  0.3% ou 0.2% à chaque étape impaire... mais ça reste des toutes petites pertes.

    Et du coup, ça ressort dans le 2ème tableau du lien que je donnais. On a un groupe de 132 Millions de nombres avec un résidu très faible, ce sont les nombres qui ne passent pas par 5, et on a un autre groupe 15 ou 20 fois plus gros, tous ceux qui ont un résidu supérieur à 6%, c'est à dire tous ceux qui passent par 5.

    Dans ta toute première version avec les clusters, si on prend le cluster avec 50 étapes dont 10 étapes impaires, c'est un groupe homogène, avec 20% ou 25% d'amplitude. Toi, tu le divisais en 2 parties  (et même plus en fait), ceux qui passaient par 5, ceux qui passaient par 85, ceux qui passaient par 341.
    Certes, ceux qui passaient par 5 étaient un peu décalés par rapport aux autres. Mais ceux qui passent par 85 ou 341 ou ... se retrouvent en fait très proches les uns des autres au final.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • @lourrran
    C'est très très intéressant.  Il faudrait d'ailleurs donner un nom à cette fraction i/(3i+1).
    Je suis pris toute la journée mais je vais regarder les clusters sous cet angle au plus vite.
    Ce que je me dis c'est qu'un cluster est un ensemble fini de combinaisons $e$ et $x$ en fonction des possibilités $i$   Même si $x$ et $i$ sont infinis, il n'y a qu'un nombre fini d'éléments dans un cluster.  Donc ton égalité "37" n'est possible qu'une fois. 
  • Oui, la décomposition que je donne pour 37 est unique(même si ta phrase pour arriver à ça est bizarre). Et pour chaque entier, on a une unique décomposition de ce type.
    Je n'ai pas trop de temps pour avancer, et je souhaite faire un 'exposé' assez organisé. Donc je ne poste pas pour l'instant mes résultats. Mais j'ai des résultats très intéressants sur la taille d'un cluster, la taille d'une constellation (une constellation, c'est la réunion de tous les clusters qui ont le même nombre d'étapes paires+impaires) , le pourquoi certains clusters ont beaucoup de nombres de la forme 4n+1 etc etc.
    En gros des réponses à toutes tes questions. 
    Et des réponses avec des 'preuves' mathématiques, pas seulement expérimentales.

    Même si $x$ et $i$ sont infinis
    Non, $x$ et $i$ ne peuvent pas être infinis. Fixe toi une règle : ne jamais utiliser le mot infini, ou alors, double-checker à chaque fois que tu utilises ce mot, est-ce que tu fais un contresens ou pas.

     je vais regarder les clusters sous cet angle au plus vite
    Non. Ne te précipite pas, je vais t'apporter plein d'éléments nouveaux. 
    Dans mon approche, je regarde les nombres pairs et les nombres impairs. Les nombres pairs donnent un éclairage complémentaire. Et je travaille avec les suites compressées, c'est plus pratique.
    Si tu veux avancer, révise tes leçons sur les questions de combinatoire, les différents résultats possibles à partir du jeu de Pile ou Face, ça va être au coeur de la question. 
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • @lourrran
    pour """infini"""" disons que :
    Pour tout nombre réel positif $N$, il existe un entier $n$ tel que $x, e, i$ peuvent être supérieurs à $N$
    Plus simplement $x, e, i$ sont "aussi grands que je veux"

    Coté suite et avec ce que tu as exposé. Voici la suite de 37
    suite i____ratio i/(3*1+1)
    37
    112____0,330357143
    56____1
    28____1
    14____1
    7_____1
    22____0,318181818
    11____1
    34____0,323529412
    17____1
    52____0,326923077
    26____1
    13____1
    40____0,325
    20____1
    10____1
    5_____1
    16____0,3125
    8____1
    4____1
    2____1
    1____1
    4____1
    2____1
    1____1
    4____1
    2____1
    1____1

    Comme on peut le voit à chaque fois que l'on a un $3i+1$ précédé d'un $i$ on calcule $i/(3i+1)$. Si $i/(3i+1)$ = 4 et dans tous les autres cas, on met 1.
    $q$ est le produit de tous les ratio (1 compte pour du beurre)

    alors $x$ est la position de 16 dans la liste +3. $e$ le nombre de ratio <>1. 
    q : 0,00112915
    x : 21
    e : 6
    2^(x-e) : 32768
    i =q*2^(x-e) : 37

    Si on revient aux résidus :
    i'= 2^(x-e)/3^e : 44,94924554
    r=i'/i : 1,214844474
    i=2^(x-e)/(3^e*r) : 37


    Donc si on veut calculer directement $q$, on a : $q=\frac{i}{2^{x-e}}$
    Si on veut calculer directement $r$, on a : $\frac{2^{(x-e)}}{3^e \cdot i}$

    $r$ et $q$ sont deux résultats basés sur $2^{x-e}$ : dans un cas c'est directement diviser $i$ par $2^{x-e}$, et dans l'autre on divise $2^{x-e}$ par le produit $3^e \cdot i$. 

    Ces deux rapports, $q$ et $r$, semblent être des outils puissants pour explorer les propriétés de la conjecture de Collatz. Ils fournissent tous deux une mesure de la façon dont $i$ est lié à l'expression  $2^{x-e}$, qui est une partie centrale de l'analyse des suites de Collatz.

    Le rapport $q=\frac{i}{2^{x-e}}$ donne une mesure de combien $i$ est proche de l'expression  $2^{x-e}$. Plus $q$ est proche de 1, plus $i$ est proche de  $2^{x-e}$. Par conséquent, $q$ peut être vu comme une mesure de la suite "idéale" de Collatz pour un certain $i$, où une suite "idéale" signifie que si $2^{x-e} = 3i+1$ avec $q = 0.3125$, on a une suite "idéale" puisque finie tout de suite.

    D'autre part, le rapport $r$, on a : $\frac{2^{(x-e)}}{3^e \cdot i}$ donne une mesure de combien l'expression $2^{x-e}$ est grande par rapport au produit $3^e \cdot i$. Plus $r$ est grand, plus $2^{x-e}$ est grand par rapport à $3^e \cdot i$. Par conséquent, $r$ peut être vu comme une mesure de la "complexité" de la suite de Collatz pour un certain $i$, où une suite "complexe" signifie que $2^{x-e}$ est beaucoup plus grand que $3^e \cdot i$.

    Le $r$ le plus "simple" serait 5/(5*3+1) = 1.06666 et $q$= 0,3125

    pour i = 27
    q = 2,28699E-20
    r = 1,19884901

    pour i = 4256877163
    q =3,18869E-86
    r= 1,235045384

    pour i = 37
    q= 0,00112915
    r = 1,214844474

    pour i = 5
    q = 0,3125
    r = 1,066666667

  • PMF
    PMF
    Modifié (July 2023)
    @lourrran
    en continuant ce post :
    https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2437766#Comment_2437766

    les ratios $q$ et $r$

     des i_last


    des déclinaisons du i_source 3


    des déclinaisons du i_source 17


    des déclinaisons du i_source 11


    des déclinaisons du i_source 39


    Il apparait donc que $q$ et $r$ tendent vers une certaine valeur au fur et à mesure des déclinaisons. Dans l'exemple le plus simple des déclinaisons de 3, on a $q$ qui tend vers $\frac {5}{48}$ et $r$ qui tend vers $\frac {16}{15}$. 
    Si on décompose un peu, q pour i=3 c'est 3/10 * 5/16 = 0.3 * 0.3125 = 0.09375. Et q pour i = 55924053 (12ème déclinaisons de 3) c'est 
    55924053/167772160 * 5/16 = 0,333333331 * 0,3125 = 0,104166666 très ,très proche de 5/48
    Donc la seule chose qui change c'est que 3/10 devient au fil des declinaisons de plus en plus proche de 1/3 (0.33333333)

    En poussant un peu, comme on a un rapport i/(3*i+1), à chaque fois que l'on transforme i avec l'opération de déclinaison 4i+1, 4*(4i+1)+1, 4*(4*(4i+1)+1)+1... et que le i_last/(3*i_last+1) ne change pas, c'est bien les declinaisons qui font évoluer le i/(3i+1) vers une fraction "idéale".
  • Pourquoi tous ces tableaux ? Pourquoi ????

    C'est évident que $\frac{i}{3i+1}$ se rapproche de $\frac 13$ quand $i$ est grand. C'est vrai quand on est au CM2, et ça reste vrai quand on fait de l'analyse de données ou quand on s'intéresse à la conjecture de Syracuse.
    Quand tu traites 39 ou 157 ou 629 ou ... toutes les étapes impaires sont les mêmes, sauf la première. On remplace le $\frac{39}{3*39+1}$ par
    $\frac{157}{3*157+1} $ ou $\frac{629}{3*629+1}$ ... et ainsi de suite, par un nombre de plus en plus proche de $\frac 13$.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • Merci lourrran car tu nous permets de savoir qu’on n’avance pas beaucoup dans ce fil au lieu de nous lancer dans une lecture assidue…
  • Dom, un peu de lecture (utile ?) 
    Les rappels de cours ne te sont pas destinés ;)

     Vocabulaire

    Chemin de Syracuse ou Descente de Syracuse : Partant d'un entier n quelconque, liste des étapes via le processus : $f(n) = \frac n2$ si n est pair et $f(n) =\frac{3n+1}2$ si n est impair. Il s'agit donc de la suite généralement appelée suite compressée. Si j'utilise le processus stadard (= non compressé) alors je le précise, en parlant de descente standard. Par défaut, il s'agit de la descente 'compressée'.
    Pour symboliser une suite, et pour rappeler qu'elle est compressée, je l'encadre systématiquement avec 2 jeux de parenthèses : ((20,10,5,8,4,2,1)) est la descente du nombre 20, alors que (20,10,5,16,8,4,2,1) est sa descente standard.

    Montée de Syracuse : la même suite de nombres, dans l'autre sens.

    Nombre d'étapes : Comme pour les problématiques avec les piquets et les intervalles, ou les étapes du tour de France. Avec 3 villes-étapes, on a 2 étapes ; avec $n+1$ piquets, on a $n$ intervalles.
    Donc avec la suite $((20,10,5,8,4,2,1))$ , on a $6$ étapes : $5$ étapes paires (celles partant de 20, 10, 8,4,2) et $1$ étape impaire (celle partant de 5)

    Cluster $((n_p, n_i))$: ensemble de tous les nombres qui ont  $n_p$ étapes paires et $n_i$ étapes impaires. J'ai choisi de noter les clusters pair/impair, c'est plus mnémotechnique que pair/total ou impair/pair ou … 
    $20$ est dans le cluster $((5,1))$
    Tous les nombres pairs ou impairs (sauf 1) sont dans des clusters.

    Constellation $((c))$ : ensemble de tous les nombres qui ont en tout $c$ étapes (paires ou impaires) dans le chemin de Syracuse. C'est donc aussi la réunion des clusters $((n_p, c-n_p))$
    Toujours pour rappeler que je parle de suites compressées, je double les parenthèses.

    Exemple :
    La constellation $((1))$ contient uniquement le nombre $2$ : $((1))= \{2\}$


    Rappel sur les questions de combinatoires.

    L'exercice type, celui qu'on va utiliser plusieurs fois ici, c'est :
    On lance une pièce de monnaie 8 fois, et on note les différents résultats. A chaque fois, on note P pour Pile ou F pour face, le résultat des 8 lancers donne un mot de 8 lettres ( par exemple PFFPPFFF, ou FFFFFFPF …)
    les questions qu'on peut se poser sont :

    Combien de mots différents peut on obtenir ?
    Réponse : $2^8=256$

    Ces mots ont-ils tous la même probabilité d'apparaître ?
    Réponse : Oui.

    Combien y a-t-il de mots avec aucun F, un seul F, 2 F, 3 F , etc jusqu'à 8 F.
    Réponse : Les nombres cherchés sont les coefficients binomiaux. Le nombre de mots avec $k$ F est $ C_8^k = \frac{8!}{k! \times (8-k)!}$
    Donc pour $k=0$ ou $8$, un seul mot possible, pour $k=1$ ou $7$, $8$ mots possibles, pour $k=2$ ou $6$, $28$ mots possibles, pour $k=3$ ou $5$, $56$ mots possibles et pour $k=4$, $70$ mots possibles ; la somme donne bien $256$.

    Voilà pour les rappels de combinatoires, on en sait assez pour ce qui nous intéresse.
    Les mots clés pour plus de recherches : coefficients binomiaux. Ca servira pour comprendre les futurs calculs.


    Les constellations : Combien d'éléments dans chaque constellation.
    Partant du nombre 1, si on remonte l'arbre de Syracuse, chaque nombre $n$ a un parent pair ( $2n$) et éventuellement un parent impair ($\frac{2n-1}3$) Seuls les nombres de la forme $3k+2$ ont un parent impair, c'est à dire un nombre sur 3. A priori, ces nombres qui ont 2 parents sont atteints ni plus vite ni plus lentement que les autres, on doit pouvoir utiliser cette estimation.
    Aux arrondis près, le nombre d'éléments dans chaque constellation $((c))$ devrait donc être proche de $\frac 43^c$
    Effectivement, on constate que d'une constellation à la suivante, on a bien ce rapport très proche de 4/3.
    On a juste un 'retard' au démarrage.
    Une très bonne approximation est : effectif( ((c)) ) $= 0.8951* \frac{4}{3}^c$ 
    Sur les toutes premières constellations, on a des petits écarts, mais pour les constellations de 10 à 65, on a des écarts qui ne dépassent pas 0.1%. 
    C'est une très bonne approximation, mais il semblerait que pour les plus grands nombres, cette approximation monte un tout petit peu plus vite que les données réels.

    Par exemple, la constellation $((40))$ a 89009 éléments et cette approximation donne 89006 ; la constellation $((50))$ a 1580518 éléments, et cette estimation donne 1580550.

    Ce calcul nous montre aussi que chaque constellation contient 3 fois plus de nombres pairs que d'impairs. Ce ratio est assez stable, mais avec quand même des variations ; par exemple, la constellation ((56)) a 305 impairs 'en trop' alors que la suivante a 244 impairs 'manquants'. Peut-être un dépassement de capacité dans mes calculs ? Mais c'est l'épaisseur du trait de toutes façons.

    A suivre.
     
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • PMF
    PMF
    Modifié (July 2023)
    @lourrran

    Je n'y peux rien si tu as une allergie aux tableaux.
    Le propos de ce post était de monter que les déclinaisons d'un i_source tendent vers une valeur particulière. Dans la théorie des clusters (que j'essaie de construire) tous les impairs ne se valent pas et un $i_{source}$ n'est pas une déclinaison, et dans les déclinaisons il y en a des très particulières qui sont les $i_{last}$ puisque qu'elles sont des déclinaisons de 1.

    Donc si on arrive à des constructions comme :
    $37 =2^{15} \times \frac{37}{112} \times \frac{7}{22} \times \frac{11}{34} \times \frac{17}{52} \times \frac{13}{40} \times \frac{5}{16}$
    basée sur $2^{x-e}$ et les ratio $\frac{i}{3i+1}$ , alors ces ratio ne sont pas à prendre de la même façon.

    Tu veux un exemple ? On part du plus simple et on va au plus complexe :

    niveau 1 : toutes les puissances de 2 reviennent à 1 (tu sais que je suis un "collègien" alors j'insiste un peu)

    niveau 2 : on peut fabriquer un impair qui est relié à une puissance de 2 : $\frac {2^{x}-1}{3}$ avec $x_{pair}>=4$ on a tous les $i_{last}$ qui sont dans tous les clusters {1, x}, donc qui reviennent à 1 en $e=1$ étape impaire

    niveau 3 : on peut relier un impair à un $i_{last}$ par le biais de $\frac {i_{last}*2^{n}-1}{3}$
    Par exemple pour les  $i_{last}$ : $5, 85, 341$ et n : $1, 2, 3$ on a i : $3, 113, 227$
    Comme n : $1, 2, 3$ sont les plus petits $n$ pour ces $i_{last}$, ce sont des  $i_{source}$.
    Si on prend n : $3, 4, 3$ on a i : $13, 453, 909$ qui sont des déclinaisons des  $i_{source}$ puisque 4*3+1=13, 4*113+1 = 453, 4*227+1 = 909.
    De cette façon, avec des $i_{source}$ ou leurs déclinaisons on a tous les clusters {2, x}.

    La règle est : "à chaque $i_{last}$ son $i_{source}$ " :  
    $i_{last}$ : $5, 85, 341, 5461, 21845, 349525, 1398101, 22369621, 89478485$ 
     $i_{source}$ :  $3, 113, 227, 7281, 14563, 466033, 932067, 29826161, 59652323$

    le niveau de complexité "3" est donc de montrer comment on peut produire pour des suites $e=2$, les $i_{source}$ réliés au $i_{last}$, puis avec le complèments des déclinaisons des $i_{source}$, on peut produire tous les clusters {2, x}

    Si on regarde maintenant les résidus $r$ et les ratio $q$ des ces $i_{source}$, on a :
    résidu r= (2^(x-e)/3^e)/i : 1,185185185, 1,006882989, 1,002447381, 1,000106823, 1,000038148, 1,000001669, 1,000000596, 1,000000026, 1,000000009
    q = i/2^(x-e) : 0,09375, 0,110351563, 0,110839844, 0,111099243, 0,111106873, 0,111110926, 0,111111045, 0,111111108, 0,11111111

    Donc $r$ tend vers $1$ et $q$ tend vers $\frac{1}{9}$
    Pour les déclinaisons du $i_{source} = 3$ relié au $i_{last}=5$ , $r$ tend vers $\frac {16}{15}$ et $q$ vers $\frac {5}{48}$

    niveau ++++ :
    Peut-on écrire n'importe quel impair $i$ sous la forme $2^{x-e} \cdot \frac{a}{b}$ où $a$ est le produit de toutes étapes impaires de la suite de $i$, et $b$ est le produit de tous les 3i+1 de ces étapes ? Ou en posant $q=\frac{a}{b}$, $i = 2^{x-e} \cdot q$
    Par exemple :
    7 = 2048*(85085/24893440)
    11 = 1024*(12155/1131520)

    à suivre...

  • Le propos de ce post était de montrer que les déclinaisons ...
    Que signifie le verbe montrer ?
    En maths, on utilise parfois montrer comme synonyme de démontrer. A priori, ce n'est pas cette signification là que tu considères.
    Montrer veut aussi dire afficher, mettre sous le regard des autres : Montrer ses fesses.
    Ok, tu tiens à montrer tes tableaux. Sont-ils beaux ? Qui a envie de les voir ? Pourquoi les montrer : Pour prouver que tu as des tableaux ? On le savait, on a tous une paire de tableaux.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • Dans ce cadre, dès qu’un raisonnement contient des tableaux, c’est suspect car ça ne convainc que le lecteur que l’auteur est convaincu.
    Après trois aspirines, je crois que cette dernière phrase est correcte.  
  • PMF
    PMF
    Modifié (July 2023)
    @lourrran

    par rapport à l'approche combinatoire que tu décris ici : 
    https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2437846#Comment_2437846
    et à la suite de ce que j'ai écris  : 
    Peut-on écrire n'importe quel impair i sous la forme $2^{x-e} \cdot \frac{a}{b}$
    où $a$ est le produit de toutes étapes impaires de la suite de $i$, et $b$ est le produit de tous les $3i+1$ de ces étapes ?
    Ou en posant $q=\frac{a}{b}$ : $i = 2^{x-e} \cdot q$

    La réponse est dans les clusters {e, x} à condition de ne prendre que des clusters dont on est sûr et certain qu'ils sont complets.
    Dans ce cas, le nombre total de solutions possibles  est le nombre d'impairs dans le cluster. Et les solutions les valeurs de chaque $i$. Et les bonnes combinaisons sont les étapes impaires de la suite de $i$.

    Pour i = 7 dans le cluster {5, 16} : 7 = 2048*(85085/24893440)
    2^(16-5) = 2048
    7*11*17*13*5=85085
    (3*7+1)*(3*11+1)*(3*17+1)*(3*13+1)*(3*5+1)=24893440
    Il n'y a que 7 dans le cluster {5, 16}. On est sûr et certain parce qu'on a verifié la descendance impaire de 16 jusqu'à x<=34.

    Selon le nombre $e$ d'étapes impaires et la longueur $x$ on a $2^{x-e}$. Dans cette combinaison de $x$ et $e$, il faut trouver $e$ fractions $\frac{i}{3i+1}$ dont le produit total $q$ multiplié à $2^{x-e}$ donne $i$. Donc la combinaison ne concerne que le choix des $i$. On sait en plus que la dernière est toujours $\frac {i_{last}}{3 \cdot i_{last}+1}$

    Revenons à $i=7$ seul élement du cluster {5, 16}. 
    Essayons de trouver un autre impair avec $e=5$ pour comparer les suites.
    Pour i = 15 dans le cluster {5, 17} : 15 = 4096*(3199875/873779200)
    2^(17-5) = 4096
    15*23*35*53*5 = 3199875
    (3*15+1)*(3*23+1)*(3*35+1)*(3*53+1)*(3*5+1)=873779200
    Il n'y a que 15 dans le cluster {5, 17}. 

    Les suites de 7 et de 15 n'ont que le $i_{last} =5$ de commun. Comme c'est 53 qui se connecte à 5 dans un cas et 13 à 5 dans l'autre, les suites se séparent  là. On note que 53 est la 2ème déclinaison de 3 quand 13 est la première. On note aussi que 2*7+1=15, 11*2+1=23 et 17*2+1=35. 

    Pour rappel :  Un $i_{source_{primaire}}$ en $8n+1$ permet de générer des $i_{source_{secondaire}}$ en $4n+3$ avec $i_{source_{secondaire}} = i_{source_{primaire}}\cdot 2 +1$ et cet $i_{source_{secondaire}}$ a le même nombre d'étapes impaires $e$ et la longueur de suite $x$ du primaire +1.

    Cela veut dire que :
    35 a a le même nombre d'étapes impaires $e$ et la longueur de suite $x+1$ que 17 
    23 a a le même nombre d'étapes impaires $e$ et la longueur de suite $x+1$ que 11 
    15 a a le même nombre d'étapes impaires $e$ et la longueur de suite $x+1$ que 7 

    2 suites plutot "connectées" finalement ! 
    Si je reprends pour i = 15:
    2^((16+1)-5) = 2048*2
    (2*7+1)*(2*11+1)*(2*17+1)*(4*13+1)*5 = 3199875
    (3*(2*7+1)+1)*(3*(2*11+1)+1)*(3*(2*17+1)+1)*(3*(4*13+1)+1)*(3*5+1)=873779200

    donc : 
    15 = 2^((16+1)-5)*((2*7+1)*(2*11+1)*(2*17+1)*(4*13+1)*5)/((3*(2*7+1)+1)*(3*(2*11+1)+1)*(3*(2*17+1)+1)*(3*(4*13+1)+1)*(3*5+1))
    7 = 2^(16-5)*(7*11*17*13*5)/((3*7+1)*(3*11+1)*(3*17+1)*(3*13+1)*(3*5+1))
    Cet exemple montrait que la combinaison de $i$ dans le cas de 15 repose avec les transformations nécessaires sur les mêmes $i$ :$7, 11, 17, 13, 5$ que la suite de 7, ce qui permet d'avoir 7 dans le cluster {5, 16} et 15 dans le cluster {5, 16+1}
  • PMF
    PMF
    Modifié (July 2023)
    à la suite du post précédent

    i = 113 vs i = 227 . 
    113 est un $i_{source_{primaire}}$ et 227 un $i_{source_{secondaire}}$ qui lui est lié :  227=2*113+1
    113 = 2^(12-2)*((113*85))/((3*113+1)*(3*85+1))
    227 = 2^((12+1)-2)*(((2*113+1)*(4*85+1)))/((3*(2*113+1)+1)*(3*(4*85+1)+1))

    i = 9 vs i = 19 . 
    9 est un $i_{source_{primaire}}$ et 19 un $i_{source_{secondaire}}$ qui lui est lié :  19 = 2*9+1
    9 = 2^(19-6)*((9*7*11*17*13*5))/((3*9+1)*(3*7+1)*(3*11+1)*(3*17+1)*(3*13+1)*(3*5+1))
    19 = 2^((19+1)-6)*(((2*9+1)*(4*7+1)*11*17*13*5))/((3*(2*9+1)+1)*(3*(4*7+1)+1)*(3*11+1)*(3*17+1)*(3*13+1)*(3*5+1))

    Dans ce cas, comme la suite de 19 passe par 29 =(3*19+1)/2 et que 29 est une déclinaison de 7 (4*7+1=29) qui est le deuxième terme de la suite de 9, les suites devient communes à la 3ème étape 11 (ce qui a été expliqué avec les connecteurs).

    Je suis donc sûr que les combinaisons qui sont en jeu pour calculer les résidus $r$ ou les ratio $q$ ne reposent que sur les $i_{source_{primaire}}$ via des transformations de type 2n+1 ou 4n+1.

    Pour faire la comparsion sur un mode plus simple, vu que le principe a été bien expliqué :
    201 est un $i_{source_{primaire}}$ et 403 un $i_{source_{secondaire}}$ qui lui est lié :  403=2*201+1
    Les impairs de la suite de 201 : 201, 151, 227, 341
    Les impairs de la suite de 403 : 403, 605, 227, 341
    4*151+1 = 605
    Donc la suite de 403 utilise les impairs de la suite de 201 , son nombre d'étapes impaires $e$ est le même que 201 et sa longueur est $x+1$ par rapport à 201.
  • On a déjà sur ce fil bien défini les notions de $i_{source}$ qui sont des impairs en $8n+1$ et $4n+3$,
    ainsi que la notion de $i_{source_{primaire}}$ et $i_{source_{secondaire}}$, sachant que tous les $8n+1$ sont des $i_{source_{primaire}}$ mais que certains $4n+3$ sont des $i_{source_{secondaire}}$
    Par exemple 113 et 227 sont des $i_{source}$, le premier en $8n+1$ est un $i_{source_{primaire}}$, le deuxième en $4n+3$ est un $i_{source_{secondaire}}$ car 113*2+1=227. 

    Nous posons comme hypothèse que seuls les $i_{source_{primaire}}$ seraient utilisables dans les combinaisons qui aboutissent au calcul des résidus $r$ et des ratio $q$.

    Comme on le voit dans cet exemple, on peut utiliser les $i$ d'un $i_{source_{primaire}}$ pour "combiner" la suite du $i_{source_{secondaire}}$ :
    9 est un $i_{source_{primaire}}$ en $8n+1$ est un et 19 un $i_{source_{secondaire}}$ en $4n+3$ qui lui est lié :  19 = 2*9+1
    = 2^(19-6)*((9*7*11*17*13*5))/((3*9+1)*(3*7+1)*(3*11+1)*(3*17+1)*(3*13+1)*(3*5+1))
    19 = 2^((19+1)-6)*(((2*9+1)*(4*7+1)*11*17*13*5))/((3*(2*9+1)+1)*(3*(4*7+1)+1)*(3*11+1)*(3*17+1)*(3*13+1)*(3*5+1))
    (note : le 19 utilisé dans l'exposant de la puissance de 2 est la valeur de $x$, c'est une coïncidence)

    Il est donc important de pouvoir isoler dans les $4n+3$ les $i_{source_{primaire}}$  des $i_{source_{secondaire}}$ . 
    C'est très simple : dans cette catégorie, tous les $16n+11$  sont des $i_{source_{primaire}}$ et les autres des $i_{source_{secondaire}}$

    Donc on a :
    $i_{source_{primaire}}$ en $8n+1$ : 
    1, 9, 17, 25, 33, 41, 49, 57, 65, 73, 81, 89, 97, 105, 113, 121...
    et pour les $4n+3$ :
    $i_{source_{primaire}}$ en $16n+11$ : 
    11, 27, 43, 59, 75, 91, 107, 123, 139, 155, 171, 187, 203, 219, 235, 251...
    $i_{source_{secondaire}}$ en $16n+3$ : 
    3, 19, 35, 51, 67, 83, 99, 115, 131, 147, 163, 179, 195, 211, 227, 243...

    Pour info, tous les autres impairs sont en $8n+5$, et sont des déclinaisons des $i_{source}$

    Nous pensons donc que les $i_{source_{primaire}}$ en $8n+1$ et les $i_{source_{primaire}}$ en $16n+11$ suffisent pour trouver toutes les combinaisons permettant de calculer $r$ ou $q$
  • Evidemment, il y a tout un maillage, ou un quadrillage.
    Les clusters sont liés entre eux, les éléments d'un clusters sont liés entre eux, tout n'est que maillage.

    Tu as regardé les différences entre les 4n+1 et les 4n+3, puis les différences entre les 8n+1, 8n+3, 8n+5 ...   Tu commences à regarder les différences entre les 16n+11, les 16n+3 etc
    Après, tu vas regarder les 32n+k 
    Puis peut-être les 64n+k 
    Je te rappelle qu'il y a 3 ans, Je te disais : pour toute puissance de 2, il y a une répétition entre l'intervalle [a, b] et [a+2^k, b+2^k] ; on retrouve exactement le même schéma dans ces 2 intervalles. Et tu peux choisir k aussi grand que tu veux, ça restera vrai. 
    Ce n'est pas un vague constat expérimental, c'est une certitude mathématique, arithmétique.
    Je vais poster ces jours-ci un résumé de ce constat
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • @lourrran

    Mon but est de trouver des impairs bien particuliers qui sont les $i_{source_{primaire}}$ et de comprendre leur role.
    ref ici : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2437955#Comment_2437955

    Si tu regardes cet exemple, dans le pavé vert il y a une suite basée sur un $i_{source_{primaire}}$ et dans les deux pavés jaunes des suites partant d'un $i_{source_{secondaire}} = 35$  ou d'une déclinaison $8n+5$ :$141$.

    Ce n'est pas très dur de voir que l'on pourrait écrire les suites de 35 et 141 en effectuant quelques transformations "basiques" pour toujours utiliser 17, 13 et 5 :
    17*2+1 =35, 13*4+1=53, (17*2+1)*4+1 = 141

    Autres exemples :

    ici on utilise toujours 4849, 3637 et 341
    75
    *2+1=151, (75*2+1)*4+1=605, 113*2+1 = 227, 85*4+1=341 
    (4849*4+1)*4+1 = 77589, 4849*2+1 = 9699, 3637*4+1 = 14549

    Conclusion : c'est avec les  $i_{source_{primaire}}$ que l'on va faire les combinaisons qui permettent de trouver $q$. On peut scanner tous les clusters par valeur de $e$ et vérifier que ça marche toujours comme ça. 
  • PMF
    PMF
    Modifié (July 2023)
    @lourrran

    On peut montrer que très peu d'impairs permettent de générer tous les impairs descendants de 16 pour une certaine valeur de $x$ et de $e$

    On commence avec $e<=2$
    Les impairs dont on a besoin sont : $1, 113, 7281, 466033, 29826161$
    Ce sont tous des $8n+1$ donc des $i_{source_{primaire}}$
    On va alors générer des $i_{source_{secondaire}}$ à partir de chacun eux en appliquant la transformation 2n+1 :  $3, 227, 14563, 932067, 59652323$  (ces impairs sont des $4n+3$)

    Et à partir de ce groupe on va faire des déclinaisons par transformation successive 4n+1. Ce seront donc tous des $8n+5$ :
    1 : 5, 21, 85, 341, 1365, 5461, 21845, 87381, 349525, 1398101, 5592405, 22369621, 89478485, 357913941, 1431655765
    3 : 13, 53, 213, 853, 3413, 13653, 54613, 218453, 873813, 3495253, 13981013, 55924053, 223696213
    113 : 453, 1813, 7253, 29013, 116053, 464213, 1856853, 7427413, 29709653, 118838613, 475354453
    227 : 909, 3637, 14549, 58197, 232789, 931157, 3724629, 14898517, 59594069, 238376277
    7281 : 29125, 116501, 466005, 1864021, 7456085, 29824341, 119297365, 477189461
    14563 : 58253, 233013, 932053, 3728213, 14912853, 59651413, 238605653
    466033 : 1864133, 7456533, 29826133, 119304533, 477218133
    932067 : 3728269, 14913077, 59652309, 238609237
    29826161 : 119304645, 477218581
    59652323 : 238609293

    Voila l'ensemble des impairs dont les suites ont une longueur $x<=34$ et un nombre d'étapes impaires $e<=2$. Aucun calcul de suites n'a été nécessaire pour les générer. On peut noter que 85 impairs ont été générés à partir de seulement 5  $i_{source_{primaire}}$.

    Les déclinaisons de 1 sont les $i_{last}$. Ils sont tous en $e=1$. On calcule leur longueur $x$ à partir de $x=5$ pour la première déclinaison (5) et on ajoute $x+2$ à chaque nouvelle déclinaison.

    Tous les autres sont en $e=2$. 
    Pour 3 à partir de $x=7$, on ajoute $x+2$ à chaque nouvelle déclinaison
    Pour 113 à partir de $x=12$, on ajoute $x+2$ à chaque nouvelle déclinaison
    Pour 227 à partir de $x=13$, on ajoute $x+2$ à chaque nouvelle déclinaison
    Pour 7281 à partir de $x=18$, on ajoute $x+2$ à chaque nouvelle déclinaison
    Pour 14563 à partir de $x=19$, on ajoute $x+2$ à chaque nouvelle déclinaison
    Pour 466033 à partir de $x=24$, on ajoute $x+2$ à chaque nouvelle déclinaison
    Pour 932067 à partir de $x=25$, on ajoute $x+2$ à chaque nouvelle déclinaison
    Pour 29826161 à partir de $x=30$, on ajoute $x+2$ à chaque nouvelle déclinaison
    Pour 59652323  à partir de $x=31$, on ajoute $x+2$ à chaque nouvelle déclinaison

    La règle de calcul de $x$ est donc très simple. Il existe deux valeurs de départ : 6 pour les $x$ pairs et 7 pour les $x$ impairs. Et il suffit alors d'ajouter $x+6$ à partir de ces ces points de départ : 6, 12, 18, 24, 30 et 7, 13, 19, 25, 31
    On note que la position $x=6$ n'est occupée par aucun impair et ne sert que de référence pour les suivantes.

    à suivre pour les autres valeurs de $e$
  • PMF
    PMF
    Modifié (July 2023)
    Avant d'explorer les valeurs de $e$ supérieures à 2, je souhaite synthétiser mes observations pour le nombre d'étapes impaires de la suite de Collatz $e \leq 2$.
    Comme discuté précédemment sur ce fil, il existe une catégorie spécifique de nombres impairs que j'ai désigné par $i_{source}$. Chaque valeur de $e$ est associée à une série unique de $i_{source}$. Le point clé ici est que toutes les déclinaisons de $i_{source}$ de la forme $4i+1$ ont le même nombre d'étapes impaires $e$ dans leurs suites de Collatz respectives. De plus, la longueur $x$ de ces suites augmente de deux unités à chaque déclinaison.
    Pour définir ce que j'entends par série linéaire, considérons le fait que chaque nombre impair $i$ revient à 1 par une série d'étapes $i{'} = (i-1)/2^n$, où $n$ peut prendre trois valeurs : 1, 2, et tout nombre supérieur à 2. Ces trois valeurs correspondent aux trois types d'impairs : $4n+3$, $8n+5$ et $8n+1$. Il se trouve que les $i_{source}$ sont de la forme $8n+1$ ou parfois $4n+3$ si on double un $i_{source}$ de la forme $8n+1$ en ajoutant 1. Par exemple, 113 et 227.
    Observons maintenant comment on peut générer chaque $i_{source}$ avec les transformations $2i+1$, $4i+1$ et $2^n+1$ (avec n>2) :
    (je mets entre parenthèses la série $4i+1$ et en gras le $i_{source}$ qui la précède)
    Pour $e=1$ :
    1 (5, 21, 85, 341...)
    Pour $e =2$ :
    1, 3, (13, 53, 213, 853, 3413...) 
    1, 3, 7, 113, (453, 1813, 7253...)
    1, 3, 7, 113, 227, (909, 3637, 14549...)
    1, 3, 7, 113, 227, 455, 7281, (29125, 116501...)
    1, 3, 7, 113, 227, 455, 7281, 14563, 29127, 466033 (1864133, 7456533, 29826133, 119304533...)
    Le nombre impair juste avant la série entre parenthèses est soit un $i_{source}$ primaire (comme 113) soit un $i_{source}$ secondaire (comme 227).Il semble donc que nous ayons un modèle récurrent pour l'utilisation de $2i+1$ et de $2^n*i+1$ pour générer un $i_{source}$ primaire ou secondaire, qui va ensuite produire une série de la forme $4i+1$.
    Chaque étape de cette suite linéaire correspond à une forme spécifique du nombre impair : si l'étape utilise la transformation $2i+1$, alors le nombre est de la forme $4n+3$ ; si elle utilise la transformation $4i+1$, alors le nombre est de la forme $8n+5$ ; et si elle utilise une transformation de la forme $2^n*i+1$ avec $n>2$, alors le nombre est de la forme $8n+1$.
    Pour conclure, une série linéaire pourrait être considérée comme une 'usine de fabrication' de $i_{source}$, en suivant la règle de ne combiner que des transformations de la forme $2i+1$ et $2^n*i+1$ avec $n>2$.
    Et voici mon hypothèse principale : si une propriété d'un $i_{source}$ est de revenir à 1 dans une série linéaire en utilisant uniquement les transformations $2i+1$ et $2^n*i+1$ avec $n>2$, alors cette propriété est transférée à la suite de Collatz de cet $i_{source}$, ainsi qu'à toutes ses déclinaisons.
    La combinaison de $2i+1$ et $2^n*i+1$ avec $n>2$ pour arriver à un $i_{source}$ est évidemment spécifique à une valeur $e$ et unique. 
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    PMF
    Modifié (July 2023)
    Voici une approche qui permet de calculer un impair $i$ de la forme $8n+1$ pour un certain nombre d'étapes impaires $e$
    avec $k$ un entier positif :
    Pour $e = 2$
    $i = \frac{{4 \times \left(i_{source} \times 2^{2 \times (3k + 1) - 2} + \frac{{2^{2 \times ((3k + 1) - 1)} - 1}}{3}\right) - 1}}{3}= \frac{{4 \times \left(1 \times 2^{2 \times (3k + 1) - 2} + \frac{{2^{2 \times ((3k + 1) - 1)} - 1}}{3}\right) - 1}}{3}$
    pour k : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
    $i$ : 113, 7281, 466033, 29826161, 1908874353, 122167958641, 7818749353073, 500399958596721

    Et pour calculer les  $i_{last}$ de ces suites (rappel $i_{last}$ : dernière étape impaire avant 1)
    $i\_{last} = i_{source} \times 2^{2 \times (3k + 1) - 2} + \frac{{2^{2 \times ((3k + 1) - 1)} - 1}}{3} = 1 \times 2^{2 \times (3k + 1) - 2} + \frac{{2^{2 \times ((3k + 1) - 1)} - 1}}{3}$
    pour k : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
    $i_{last}$ : 85, 5461, 349525, 22369621, 1431655765, 91625968981, 5864062014805, 375299968947541

    pour $e=3$ et $i_{last} = 5$
    $i = \frac{{4 \times \left(i_{source} \times 2^{2 \times (3k - 1) - 2} + \frac{{2^{2 \times ((3k - 1) - 1)} - 1}}{3}\right) - 1}}{3}= \frac{{4 \times \left(3 \times 2^{2 \times (3k - 1) - 2} + \frac{{2^{2 \times ((3k - 1) - 1)} - 1}}{3}\right) - 1}}{3}$
    pour k : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
    $i $: 17, 1137, 72817, 4660337, 298261617, 19088743537, 1221679586417, 78187493530737

    pour $e=3$ et $i_{last} = 85$
    $i = \frac{{\left(i_{source} \times 2^{2 \times 3k - 2} + \frac{{2^{2 \times (3k - 1)} - 1}}{3}\right) \times 4 - 1}}{3} = \frac{{\left(113 \times 2^{2 \times 3k - 2} + \frac{{2^{2 \times (3k - 1)} - 1}}{3}\right) \times 4 - 1}}{3}$
    pour k : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
    $i$ : 2417, 154737, 9903217, 633805937, 40563580017, 2596069121137, 166148423752817

    On notera donc que nous avons utilisé :
    $i_{source}=1$ pour $e = 2$,
    $i_{source}=3$ pour $e = 3$ et $i_{last} = 5$
    $i_{source}=113$ pour $e = 3$ et $i_{last} = 85$

    À travers ce début d'analyse des suites d'impairs de la forme $8n+1$, les concepts de $i_{source}$, $i_{last}$ et de la forme $8n+1$ se trouvent être pertinents lorsqu'il s'agit d'analyser et de prévoir le comportement des suites de Collatz pour un nombre donné d'étapes impaires, $e$.

    Le $i_{source}$ est un concept clé qui sert de point de départ pour générer des nombres impairs de type $8n+1$ qui répondent à nos critères pour $e$. Nous avons identifié des $i_{source}$ spécifiques pour différents scénarios, par exemple $i_{source}=1$ pour $e=2$, $i_{source}=3$ pour $e=3$ et $i_{last}=5$ et $i_{source}=113$ pour $e=3$ et $i_{last}=85$. Cela nous permet d'obtenir directement des nombres de la forme $8n+1$ pour des étapes impaires spécifiques.

    Le concept de $i_{last}$, qui représente la dernière étape impaire avant 1 dans une suite de Collatz, se révèle également crucial pour notre compréhension de ces suites. En prédéfinissant le $i_{last}$, nous pouvons générer des suites de Collatz qui ont un nombre prédéfini d'étapes impaires.

    Enfin, la forme $8n+1$ a été identifiée comme un modèle clé pour les nombres impairs dans les suites de Collatz qui ont un nombre spécifique d'étapes impaires. Ce modèle fournit un moyen efficace de générer directement ces nombres.

    En somme, les concepts de $i_{source}$, $i_{last}$ et de la forme $8n+1$ fournissent une structure précieuse pour comprendre et prédire le comportement des suites de Collatz pour un nombre donné d'étapes impaires. 
  • PMF
    PMF
    Modifié (July 2023)
    Voici une observation intéressante concernant des suites spécifiques de la conjecture de Collatz, spécifiquement celles qui se terminent avec la séquence $17, 13, 5$ et ont un nombre d'étapes impaire $e=5$.

    Considérons une suite {i_k} où chaque terme suit la règle de récursion $i_{k+1} = 64*i_{k} + 35$, avec $i_{0} = 7$. Cette suite génère des nombres de la forme $4n+3$, tels que :
    $i_{k} = 7, 483, 30947, 1980643, 126761187, 8112716003, ...$
    De plus, si nous observons leurs longueurs des suites $x$, nous remarquons qu'elles augmentent linéairement de 6 à chaque étape, à partir de 16 :
    $x_{k} = 16, 22, 28, 34, 40, 46, ...$
    La formule générale pour un terme n-ième de la suite {i_k} est : $i_{k} = 7 \cdot 64^{(k-1)} + \frac{35 \cdot (64^{(k-1)} - 1)}{63}$
    Cette formule nous donne des prédictions précises pour les suites de Collatz qui ont un nombre d'étapes impaire $e=5$, et se terminant par la séquence $17, 13, 5$.
    De plus, en considérant chaque $(i_{k}-1)/2$ (où $i_{k}$ est un terme de la suite {i_k} (autre que le premier), nous obtenons des nombres de la forme $8n+1$. Ces nombres ont également des suites de Collatz qui terminent par la séquence $17, 13, 5$, et dont les longueurs $x$ sont inférieures d'une unité à celles des suites correspondantes de {i_k}.
    Cet exemple montre deux choses : 
    1) si $i{'}$ est de type $8n+1$ et $i$ de type $4n+3$ avec $i=2i{'}+1$ alors les suites sont de même $e$ et la différence de leurs longueurs est $x-x{'}=1$
    2) que des formules spécifiques peuvent décrire des impairs ayant des propriétés de suite comparables : par exemple ici les suites en $e=5$, se finissant par $17, 13, 5$ pour des impairs de type $8n+1$ ou $4n+3$
    Ce type de formule est possiblement généralisable à d'autres clusters.A suivre donc,
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