La conjecture de Collatz

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Réponses

  • Barjovrille
    Modifié (June 2023)
    Bonjour, une précision sur la dérivée produit des distributions.
    L'espace des distributions est le dual (topologique) des fonctions test. C'est donc "juste" un espace vectoriel, en règle générale la multiplication de deux distributions n'est pas une distribution (donc on ne peut pas parler de dérivée de produit de deux distributions). Mais si on prend une distribution et qu'on multiplie par une fonction $C^{\infty}$ ce dernier produit est encore une distribution (on peut dire que l'espace des distributions a une structure de $C^{\infty}-$ module) et pour toute fonction $f \in C^{\infty}$ on a bien $(fT)'=f'T + fT'$.


  • Collag3n
    Modifié (June 2023)
    A noter que si on ne s'arrête pas à 1 mais à $i_{last}$, il faut retirer à $x$ le nombre d'étapes paires/impaires nécessaires à $i_{last}$ pour atteindre 1, à $e$ le nombre d'étapes impaires (soit 1), et prendre $\log_2\frac{i}{i_{last}}$ au lieu de $\log_2\frac{i}{1}$ à droite (ceci est une explication plus détaillée du premier post)

    $x=\lceil e\log_26+\log_2i\rceil$ devient
    $x-1-\log_2(3i_{last}+1)=\lceil (e-1)\log_26+\log_2i-\log_2i_{last}\rceil$
    $x-1-\log_2(3i_{last}+1)-p=\lceil (e-1)\log_26+\{\log_2i\}-\log_2i_{last}\rceil$
    $x-3-\lfloor\log_2i_{last}\rfloor-p=\lceil (e-1)\log_26+\{\log_2i\}-\log_2i_{last}\rceil$
    $x-3-p=\lceil (e-1)\log_26+\{\log_2i\}-\log_2i_{last}\rceil+\lfloor\log_2i_{last}\rfloor$
    $x-p=\lceil (e-1)\log_26+3+\{\log_2i\}-\{\log_2i_{last}\}\rceil$







  • Wilfrid
    Modifié (June 2023)

    Ah, voilà qui est plus clair ! Il ne s'agit pas de la longueur de la suite mais de sa longueur jusqu'au terme impair qui précède 1. Ce n'est pas la même chose. Dans ce cas il aurait fallu l'appeler autrement que $x-p$ !

    Collag3n a écrit :
    il faut retirer à x le nombre d'étapes paires/impaires nécessaires à i_last pour atteindre 1

    Il n'y a plus d'étape impaire après i_last, si on omet 1 bien entendu. i_last est de la forme $(2^{2x}-1)/3\,$, avec $x>0$. Cette expression permet de calculer les prédécesseurs impairs de 1, à savoir 1, 5, 21, 85, 341, 1365, 5461, ... Le nombre de termes séparant i_last de 1 est donc égal à $2x$, tous pairs. Exemples :

    1, 4, 2, 1
    5, 16, 8, 4, 2, 1
    21, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1
    85, 256, 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1
    341, 1024, 512, 256, 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1
    etc.

  • Wilfrid
    Modifié (June 2023)

    PMF a écrit :
    5, 3, 17, 11, 7, 9, 25, 33, 43, 57, 39, 105, ...

    Ces nombres représentent le plus petit $i$ (premier terme d'une suite) dont la suite contient le nombre donné de termes impairs, dans l'ordre : 1, 2, 3, 4, 5, ...

    ces impairs correspondent aux x-p suivants : 3, 6, 8, 11, 14, 16, 19, 21, 24, 27, 29, 32, ...

    Puis

    Toutes ces suites sauf celle du 5 passe part en e=2 par les étapes impaires suivantes : 3, 13, 13, ..., 13, 53, 13, 53, 53, 53, ...

    Je ne perçois pas le raisonnement déductif. Pour passer de la première série de nombres à la dernière il n'était pas nécessaire de passer par la deuxième, il suffisait de calculer chaque suite et regarder si elle passait par 3, 13 ou 53. On ne pouvait tout simplement pas déduire cette information de la deuxième série, les fameux $x-p$.

    Mais bon, il ne faut plus s'étonner de rien...

  • @Wilfrid
    Que tu le veuilles ou non, x-p est bien là différence entre la longueur de la suite x et partie entière du log2 de l'impair de départ.

    @Collag3n nous explique ce que fait au final cette formule : prendre en compte où arrive le i_last.

    Si la conjecture dit que toute suite revient à 1, on aurait pu dire de manière plus précise : Pour qu'une suite revienne à 1, une étape impaire i  de type (3*i'+1)/2^n doit être tel que 3×i+1 soit une puissance de 2. Ce $i$ est un i_last et on notera qu'il est aussi une déclinaison du i_source = 1, sachant que pour k>=2 on a 5, 21, 85, 341...

    Donc la position  $x$ du i_last est une valeur importante 
  • Cette formule, on peut la voir de 2 façons.

    Version Maths : On a une relation toute naturelle : $i_{last} = i \times (3+\varepsilon)^{n_{imp}} / 2 ^{n_{pair}} $ et on réécrit cette relation en mettant les termes dans un ordre ou un autre. Fin des débats. On peut prendre le log de chacun des 2 termes, on peut multiplier à droite et à gauche par le même terme ... c'est toujours la même chose qu'on raconte.
    Par exemple, en prenant le log en base 2 de part et d'autres, ça donne : 
    $log_2(i_{last}) = log_2(i) +  n_{imp} \times log_2 (3+\varepsilon)  - n_{pair} $
    Un résultat qui découle directement de la définition de nos éléments. Et donc une trivialité.

    Version expérimentale, quand on n'a pas les connaissances en maths : on manipule des chiffres, on isole plein de petits morceaux, et on constate que  souvent , très souvent , $i_{last}$ est proche de  $i \times 3^{n_{imp}} / 2 ^{n_{pair}} $ et on dit que c'est une découverte.
    Ca, c'est si on a de la chance.
    Si on a un peu moins de chance, on n'arrive pas tout à fait à cette formule, mais à une formule ressemblante, avec des parties entières ici et là.
    On a toujours l'impression que cette formule est juste. Mais en fait, elle est juste, sauf quand elle est fausse.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • Wilfrid
    Modifié (June 2023)

    PMF a écrit :
    Wilfrid, que tu le veuilles ou non, x-p est bien là différence entre la longueur de la suite x et partie entière du log2 de l'impair de départ.

    Je cite un passage de ce que je disais dans ce message : $x-p$ est la longueur de la suite de $i$ diminuée de l'exposant de la plus grande puissance de 2 inférieure ou égale à $i$. Tu n'as même pas compris que $p$ était un exposant de 2 !

    J'hésite entre deux explications :

    1. Tu ne comprends pas un traitre mot à tout ce que tu racontes.

    2. Tu es un manipulateur, voire un pervers narcissique. Explications.

    Bonne continuation.

  • @Wilfrid

    Tu t'enfonces dans un ridicule absolu. J'ai écrit depuis début que i=2^p+y. Et je n'ai pas compris que p est l'exposant de 2.
    Tu vas aller jusqu'où dans ce genre de propos? 
  • PMF
    PMF
    Modifié (June 2023)
    @lourrran

    Il semble que tu ne comprennes pas très bien la nature de la formule
    $x-p=\lceil (e-1)\log_26+3+\{\log_2i\}-\{\log_2i_{last}\}\rceil$
    Cette formule ne prétend pas résoudre le problème de Collatz, mais fournit plutôt une nouvelle manière de le conceptualiser et de classer les nombres selon leurs comportements dans la suite de Collatz.

    Ta formule
    $log_2(i_{last}) = log_2(i) +  n_{imp} \times log_2 (3+\varepsilon)  - n_{pair}$

    est une reformulation de la définition de la suite de Collatz qui se focalise sur les étapes impaires et paires, alors que la formule $x-p$ se focalise sur les différences entre la longueur de la suite $x$ et $p$ la partie entière du logarithme base 2 de l'impair initial .

    Les deux formules sont valides et intéressantes, elles fournissent juste des points de vue différents sur la suite de Collatz. Il n'est pas nécessaire d'opposer ces deux formules, car elles ne sont pas contradictoires, mais complémentaires.

    Mon propos est d'utiliser $x-p$ et $e$ dans une classe [e, x-p] qui va permettre de classer efficacement de très nombreuses suites. Ainsi les 1878 decendants impairs de 16 se répartissent en 12 classes :
    [1, 3], [2, 6], [3, 8], [4, 11], [5, 13], [5, 14], [6, 16], [7, 19], [8, 21], [9, 24], [10, 27], [11, 29]

    Ou les 2000 impairs de 3 à 4001 se répartissent en 84 classes. Je donnerai à suivre des exemples de suites partageant la même classe. On pourra alors examiner comment ces groupes de suites sont très homogènes.

  • Bon, si ça t'amuse.
    On a une formule exacte, tu ajoutes des parties entières, des parties décimales , tu réordonnes les termes, tu divises par $log_2(6)$ et tu remultiplies par $log_2(6)$, et ça te donne une autre formule, qui est peut-être exacte, ou pas, mais très suspecte avec tous ces enchainements de partie entière. Vraiment très suspecte.
    Les erreurs éventuelles sont sur des nombres très grands, donc elles n'impacteront pas tes calculs. 
    Tu vas faire des calculs sans intérêt, sur la base de cette formule douteuse.
    Ca va t'occuper 6 mois pour produire des tableaux vides de sens.
    Pour ma part, j'ai découvert un jeu, le Renzoku. Je t'assure, c'est beaucoup plus amusant que tes calculs totalement bancals.

    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • Je reviens donc sur les classes  [e, x-p] avec des données plus importantes.
    Les impairs de 3 à 40.001 ont été analysés. Cela permet de distinguer 132 classes, pour des valeurs de $e$ de 1 à 119, des valeurs de $x-p$ de 3 à 308.
    132 classes pour 20.000 impairs c'est déjà assez intéressant comme regroupement avec une moyenne de 151 impairs par classe.

    La classe [18, 47] est la plus peuplée et regroupe à elle-seule 525 impairs. Cette classe comprend des impairs appartenant à 9 clusters ayant tous $e$ =18 et $x$ de 54 à 62.  
    Les 10 premiers impairs sont : 159, 295, 319, 569, 585, 591, 601, 637, 1139, 1147
    et les 10 derniers : 39429, 39433, 39435, 39443, 39447, 39449, 39455, 39495, 39505, 39507

    Pour avoir une base de comparaison avec la descendance impaire de 16 pour x<=34, on peut choisir la classe [7, 19] dont les 185 membres sont inclus dans les clusters {7, 23}, {7, 24}, {7, 25}, {7, 26}, {7, 27}, {7, 28}, {7, 29}, {7, 30}, {7, 31}, {7, 32}, {7, 33}, {7, 34}. La somme des impairs de ces clusters est 262, et elle est supérieure à 185 parce que 77 impairs du cluster {7, 34} sont >40.001 (donc hors de la zone testée de 3 à 40.001 )

    La comparaison des suites est évidemment ce qui est le plus important. 
    Voici les suites des 14 premiers impairs de la classe [7, 19]  En première ligne est indiqué le cluster de chaque impair.

    Le simple fait d'appartenir à la même classe a regroupé des suites ayant des étapes ou plutôt tronçons d'étapes communs, comme on le voit avec le code couleur.
    On remarque :
    1) en e = 1 tous les i_last sont 5 sauf pour i=475 où i_last = 85
    2) en e=2, on a les valeurs 13, 53, 113
    3) en e=3 on a 17, 35, 1205
    4) en e= 4 on a 11, 23, 373, 803
    5) en e = 5, on a 29, 7, 245, 61, 497, 535
    6) en e=6 on a 19, 37, 77, 149, 163, 325, 331, 653, 713 (le 19 est répété 3fois, les 37, 77, et 149 deux fois)

    L'hypothèse est que la suite : 25, 19, 29, 11, 17, 13, 5 a la même forme que la suite : 475, 713, 535, 803, 1205, 113, 85 même si aucun des termes n'est le même.

    Comme on peut le voir la comparaison des $x-p$ de ces deux suites ne diffère que pour e = 5 avec 14 vs 13. 

    On peut certainement aller plus loin dans l'analyse des suites d'une même classe, mais on voit déjà qu'il y a déjà des relations :
    5*17=85
    11*73=803
    25*19 = 475

    à suivre donc.

  • Voici la comparaison de 3 suites appartenant à la classe [97, 251] , donc des impairs $i$ ayant en commun $e=95$ et $x-p = 251$ en rappelant que $e$ est le nombre d'étapes impaires, $x$ la longueur de la suite, et $p$ la partie entière du log2(i)
    les 3 impairs sont :
    $i :16457, 16777, 32913$

    Comme on peut le voir les 3 suites sont plutôt homogènes :
    1) les 3 suites ont strictement les mêmes étapes de x=5 à x=108
    2) les suites de 32913 et 16457 ont strictement les mêmes étapes de x=5 à x=254

    On a donc :
    93 étapes impaires communes à 16457 et 32913
    5, 53, 35, 23, 61, 325, 433, 577, 3077, 2051, 1367, 911, 2429, 1619, 1079, 719, 479, 319, 425, 283, 377, 251, 167, 445, 593, 395, 263, 175, 233, 155, 103, 137, 91, 121, 161, 107, 71, 47, 125, 83, 55, 73, 97, 2069, 1379, 919, 1225, 1633, 2177, 1451, 967, 1289, 859, 1145, 3053, 2035, 10853, 7235, 4823, 3215, 8573, 22861, 121925, 325133, 216755, 144503, 96335, 64223, 42815, 114173, 76115, 50743, 67657, 90209, 60139, 80185, 106913, 71275, 95033, 63355, 84473, 56315, 37543, 50057, 33371, 22247, 14831, 9887, 26365, 35153, 23435, 15623, 10415
    39 étapes impaires communes à 16457, 16777 et 32913
    5, 53, 35, 23, 61, 325, 433, 577, 3077, 2051, 1367, 911, 2429, 1619, 1079, 719, 479, 319, 425, 283, 377, 251, 167, 445, 593, 395, 263, 175, 233, 155, 103, 137, 91, 121, 161, 107, 71, 47, 125

    Une façon d'interpréter cette observation est de considérer les suites de Collatz comme des chemins dans un graphe orienté infini, où chaque nombre est un sommet et chaque étape de la suite est une arête. Les classes [e, x-p] seraient alors des sous-ensembles de sommets qui partagent un certain nombre d'arêtes communes dans leurs chemins vers le nombre 1.

    C'est une simple hypothèse à ce stade, mais je pense qu'en faisant une analyse plus massive de données, on va trouver ce type de similitudes de manière significative. 
  • $16457$ et $32913$ : tiens, on constate que $32913=2*16457-1$

    On calcule les premières étapes à partir de $16457$, et à partir de $32913$
    On constate qu'à un moment, ces 2 nombres arrivent à $20830$.
    On constate que c'est à la 10ème ligne à partir de $16457$ (et à la 11ème à partir de $32913$) qu'on arrive à ce point de jonction.
    On calcule $2^{10}$, on trouve $1024$.

    On calcule $mod(16457,1024)$, et on trouve $73$.

    Et on énonce ce 'théorème' :
    Pour tout nombre $a$ de la forme $a=73+k*1024$, le chemin de $a$ et de $2a+1$ se rejoignent après la 10ème étape de $a$ ou la 11ème étape de $2a+1$.

    Pourquoi peut on énoncer ce résultat ? cf la discussion de juillet 2020.

    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • @lourrran
    Ok, Très intéressant et merci pour ce rappel.
    mais quid de 16457 et 16777 pour leurs 39 étapes communes ?
  • Et quelle est la question ? 
    Pourquoi seulement 39 étapes communes ?
    Ou bien : Pourquoi un si grand nombre d'étapes communes ?
    Pour moi, si question il y a, c'est pourquoi seulement 39 étapes communes. D'autant plus que tu as certainement remarqué que le chemin de Syracuse de ces différents nombres passe par le nombre 911, et comme tu l'écrivais en mars 2020 sur un autre forum : 
    Au niveau structurel, on peut constater par exemple qu'environ 38% des vols passent en étape 12 (douzième étape avant 1) par l'entier 911 

    Si tu tiens à trouver une généralisation à partir de ces 2 nombres 16457 et 16777, leurs chemins se rejoignent à la 155ème étape, et donc tu peux annoncer : pour tout entier k, les chemins de $16457+k \times 2^{155}$ et $16777+k \times 2^{155}$  se rejoignent à la 155ème étape. 

    Qui ça va intéresser ??? je ne sais pas.


    En fait, pour 16457 et 16777 et leurs 39 étapes communes, pour dire si 39 étapes communes, c'est '''anormalement élevé''' ou '''anormalement faible''', on pourrait faire de la combinatoire ou quelque chose de ressemblant. 

    Pour ces 2 nombres, on a 264 étapes en tout, dont 96 impaires.

    En gros, ta question, elle revient à : On prend 2 nombres au hasard parmi tous les nombres qui ont  264 étapes en tout dont 96 impaires. 

    Pour ces 2 nombres, on calcule le nombre d'étapes communes.

    Et on répète l'opération un certain nombre de fois, en notant à chaque fois le nombre d'étapes communes. Et on regarde si 39 étapes communes, c'est anormalement élevé, ou dans la moyenne, ou anormalement bas.

    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • @lourrran

    pour info, dans la classe [72, 187]
    voici les comparaisons de suites ayant au moins 60 étapes impaires identiques

    i1 | i2 | communs
    6319 | 25277 | 71
    6351 | 25405 | 71
    6375 | 25501 | 71
    6383 | 25533 | 71
    6523 | 26093 | 71
    12473 | 24947 | 70
    13049 | 26099 | 70
    13161 | 26323 | 70
    12475 | 24951 | 69
    12683 | 25367 | 69
    12699 | 25399 | 69
    12987 | 25975 | 69
    13047 | 26093 | 69
    3175 | 25405 | 68
    12701 | 25405 | 68
    12751 | 25501 | 68
    12639 | 25277 | 67
    12767 | 25533 | 67
    12783 | 25567 | 67
    13161 | 26321 | 67
    12473 | 24951 | 65
    12475 | 24947 | 65
    12683 | 25369 | 65
    13049 | 26105 | 65
    6523 | 26099 | 64
    6523 | 26105 | 64
    13047 | 26099 | 64
    13047 | 26105 | 64
    13049 | 26093 | 64
    6375 | 25503 | 62
    12751 | 25503 | 62
    12473 | 24971 | 61
    12475 | 24971 | 61
    6375 | 25513 | 60
    12751 | 25513 | 60

    Sur un total de 639 comparaisons de suites (sachant que cette classe contient 53 impairs),
    on trouve :

    5 cas où on a 71 étapes communes (le i_last)
    3 cas où on a 70 étapes communes
    5 cas où on a 69 étapes communes
    3 cas où on a 68 étapes communes
    4 cas où on a 67 étapes communes
    4 cas où on a 65 étapes communes
    5 cas où on a 64 étapes communes
    2 cas où on a 62 étapes communes
    2 cas où on a 61 étapes communes
    2 cas où on a 60 étapes communes
    1 cas où on a 59 étapes communes
    7 cas où on a 55 étapes communes
    2 cas où on a 53 étapes communes
    1 cas où on a 52 étapes communes
    1 cas où on a 50 étapes communes
    1 cas où on a 49 étapes communes
    1 cas où on a 47 étapes communes
    2 cas où on a 45 étapes communes
    2 cas où on a 44 étapes communes
    8 cas où on a 43 étapes communes
    13 cas où on a 42 étapes communes
    7 cas où on a 41 étapes communes
    24 cas où on a 39 étapes communes
    68 cas où on a 38 étapes communes
    17 cas où on a 37 étapes communes
    149 cas où on a 33 étapes communes
    8 cas où on a 21 étapes communes
    14 cas où on a 8 étapes communes
    20 cas où on a 5 étapes communes
    2 cas où on a 4 étapes communes
    256 cas où on a 1 étape commune (le i_last)

    les impairs de la classe [72, 187]
    3175, 6319, 6351, 6375, 6383, 6523, 12473, 12475, 12639, 12683, 12699, 12701, 12751, 12767, 12783, 12987, 13047, 13049, 13161, 24425, 24947, 24951, 24971, 25277, 25279, 25343, 25355, 25367, 25369, 25371, 25399, 25401, 25405, 25483, 25501, 25503, 25513, 25533, 25567, 25569, 25593, 25609, 25631, 25863, 25975, 25977, 26093, 26099, 26105, 26273, 26321, 26323, 27177

  • Sur un total de 639 comparaisons de suites (sachant que cette classe contient 53 impairs),
    S'il y a 53 impairs, chaque impair peut être comparé à 52 autres, soit 53*52=2756 comparaisons. 
    Mais en comptant ainsi, on compare A à B, puis B à A, chaque paire est comptée 2 fois, il faut diviser par 2. Il y a donc 1378 comparaisons possibles.
    Et toi, tu as fait des statistiques sur 639 cas. Soit à peine la moitié de 1378. 
    Tu n'as pas envie de regarder tous les cas ?
    Je sais que je suggérais de prendre des configurations au hasard et de répéter l'opération ... mais c'était une formule 'didactique'.

    Par ailleurs, tu as forcément remarqué que les cas avec 71 étapes communes vérifient tous b=4a+1, les cas avec 70 étapes communes vérifient tous b=2a+1, et ça se dégrade un peu si on continue, on voit des 2n+1 et des 2n-1 , etc etc.

    Je suggérais ces calculs au sein d'un groupe plus homogène (les nombres qui ont le même nombre d'étapes paires et le même nombre d'étapes impaires, en gros tes clusters de 2020). Donc par exemple, dans cette ''''classe'''', garder uniquement les nombres de 24425 à 27177.
    Bizarrement, je ne vois aucun couple avec 2 nombres au delà de 24000 dans ton décompte des 'leaders', mais c'est peut-être parce que tu as traité seulement une petite moitié des cas.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • PMF
    PMF
    Modifié (June 2023)
    Deux observations quand on compare 2 suites dans la même classe [e, x-p] :

    1) Si $i_1$ le premier terme est tel que $i_2=4*i_1+1$ et que son nombre d'étapes impaires est $e$ , alors $i_2$ a $e-1$ étapes.

    2) Si $i_1$ et $i_2$ ont $n$ étapes impaires communes, alors la dernière étape impaire non commune de $i_2$ est tel que $4*i_1=i_2$

    Exemple dans la classe [72, 187]
    3175 vs  6351
    3175, 4763, 7145, 5359, 8039...
    6351, 9527, 14291, 21437, 8039...
    5359*4+1 = 21437
    ou
    3175 vs 25483
    3175, 4763, 7145, 5359, 8039, 12059, 18089, 13567, 20351, 30527, 45791, 68687, 103031, 154547, 231821, 86933, 4075, 6113, 4585, 3439, 5159, 7739, 11609, 8707, 13061, 2449, 1837, 689, 517, 97, 73...
    25483, 38225, 28669, 10751, 16127, 24191, 36287, 54431, 81647, 122471, 183707, 275561, 206671, 310007, 465011, 697517, 261569, 196177, 147133, 55175, 82763, 124145, 93109, 8729, 6547, 9821, 3683, 5525, 259, 389, 73...
    4*97+1=389

    Hypothèse :
    pour deux suites d'une même classe [e, x-p] , la première étape impaire commune aux suites de $i_1$ et $i_2$ apparait si l'étape précédente de $i_2$ est une déclinaison de l'étape précédente de $i_1$.

    On peut également constater qu'une même classe [e, x-p]  a tendance à réunir un impair et ses déclinaisons ;
     par exemple dans la classe [6, 16] :


  • PMF
    PMF
    Modifié (June 2023)
    CONJECTURE :
    Toutes les déclinaisons d'un $i_{source}$ (un impair de la forme $8n+1$ ou $4n+3$) font partie de la même classe [e, x-p] où $e$ est le nombre d'étapes impaires de la suite, $x$ la longueur de la suite, et $p$ la partie entière du log2 de l'impair, premier terme de la suite.

    Cette conjecture est démontrable par la formule des déclinaisons : $i = i_{\text{source}} \times 2^{2k-2} + \frac{{2^{2(k-1)}-1}}{3}$
    et les relations entre $x$ et $e$ :
    $e=\lfloor \dfrac{x-\log_2(i)}{\log_26}\rfloor$
    $x = \lceil e \cdot \log_2 6 + \log_2 (2^p + y) \rceil$

    Quand $k = 1$, $i = i_{source}$
    Quand $k$ augmente de $1$, $x$ augmente de 2 et $p$ augmente de 2, donc $x-p$ reste le même, tandis que $e$ reste le même. Donc toute déclinaison reste dans la même classe [e, x-p].
    De ce fait une classe [e, x-p] est une méthode qui regroupe les i_source et leurs déclinaisons.
  • Pourquoi dis-tu que c'est une CONJECTURE ?
    Soit ce que tu appelles une classe est un truc consistant (ta définition est correcte), et dans ce cas, tu es capable de faire 2 ou 3 additions/multiplications pour prouver que ce résultat est correct.
    Soit ce que tu appelles une classe est un truc inconsistant (un truc où on a vaguement l'impression que c'est consistant, mais on n'a pas assez poussé la réflexion pour voir pourquoi ça ne tient pas la route), et dans ce cas, effectivement, il faut parler de 'conjecture' : 
    Si ce que PMF raconte depuis 1 semaine est vrai, si l'égalité foireuse $x-p =$ bla bla bla est toujours vraie, alors en plus, toutes les déclinaisons d'un $i_{source}$ etc etc.

    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • @ je reviens sur les combinaisons 53*52. Je comprends ce qui s'est passé. Merci de ton observation. On relance ...
  • PMF
    PMF
    Modifié (July 2023)
    La comparaison des suites de Collatz repose principalement sur la recherche de similitudes dans leur structure, afin de mieux comprendre leur comportement. Dans ce contexte, trois types de classifications sont abordés : les "clusters" {e, x}, les "classes" [e, x-p], et simplement le nombre d'étapes impaires $e$.
    1. Les clusters {e, x} : Ce sont des groupes de nombres impairs qui ont le même nombre d'étapes impaires $e$ et la même longueur de suite $x$. 
    2. Les classes [e, x-p] : C'est une variante de la classification par cluster, où $p$ est la partie entière du logarithme en base 2 de l'impair initial, ce qui donne une indication de sa taille relative. C'est intéressant car cela introduit une distinction basée sur le rapport entre la taille du nombre initial et la longueur de la suite. 
    3. Les comparaisons simplement sur la base de $e$, le nombre d'étapes impaires : Cette approche se concentre uniquement sur le nombre d'étapes impaires dans chaque suite, sans tenir compte de la longueur totale de la suite ou de la taille du nombre initial.
    La question clé est de savoir quelle méthode de classification fournit les informations les plus utiles pour la comparaison des suites de Collatz. Est-il plus utile de comparer des suites qui ont exactement le même nombre d'étapes impaires $e$, ou est-il préférable d'incorporer des informations supplémentaires sur la longueur totale de la suite $x$ ou sur la taille relative du nombre initial $p$ ?
    Pour l'instant, il semble que la réponse à cette question ne soit pas définitivement établie. Les "classes" [e, x-p] et les "clusters" {e, x} semblent être plus nuancés que de simplement comparer les suites basées uniquement sur $e$, mais ils introduisent également des complexités supplémentaires.
    On observe que pour un nombre d'étapes impaires donné $e$, il peut y avoir deux valeurs distinctes pour $x-p$, séparées par 1. Par exemple, pour e=10, on peut avoir x-p=26 ou x-p=27. De là, deux hypothèses sont formulées :
    1) Pour un $e$ donné, il peut y avoir au maximum deux valeurs de $x-p$.
    2) Certaines valeurs de $e$ peuvent n'avoir qu'une seule valeur de $x-p$. Cela semble certain pour e=1 et e=2.
    Par exempe, i =16259 appartient à la classe [10, 27] parce que e=10, x=40 et p=13. D'autre part, i = 16477 appartient à la classe [10, 26] parce que e=10, x=40 et p=14. Lorsque ces nombres sont exprimés sous la forme $i=2^p+y$, on constate que 16259 a un "grand" y, tandis que 16477 a un "petit" y.
    Cela suggère que la taille relative de $y$ par rapport à $2^p$ peut influencer la valeur de $x-p$. Dans les exemples donnés, bien que 16259 et 16477 soient tous deux de part et d'autre de la frontière entre 2^13 et 2^14, ils ont des valeurs différentes de $x-p$ (27 pour 14901 et 26 pour 16477), malgré le fait qu'ils partagent la même valeur de $e$ (10).
  • COMPARAISON DES SUITES D'UN MEME CLUSTER

    On compare les suites du cluster [5, 26] : 7509, 7957, 8597, 7733, 8565, 7877, 8037, 8589, 7885, 8561, 8593, 8089, 8035, 8595, 8087
    Il y a 15 impairs dans ce cluster et donc 105 comparaisons à faire (15*14/2=105)

    Voici les premières, où on peut déjà voir que les classes [e, x-p] : [5, 13] et [5, 14] sont présentes dans ce cluster.



    Si les i_last sont différents, il n'y a aucune étape impaire commune. C'est logique parce que la première étape commune possible est en e=1, s'il y en a 2 elles sont en e = 1 et e=2, etc...
    Si le i_last est le même, on a donc au moins une étape commune
    Si les 2 prédécesseurs du même i_last sont les mêmes, il y a au moins deux étapes communes : 7509 et 7877 ont 13 comme prédécesseurs de 5
    Si à l'étape suivante on a encore deux prédécesseurs identiques, on a au moins 3 étapes communes : 7509 et 7733 ont des suites se finissant par 17, 13, 5.
    Et dans ce cas, les prédecesseurs de 17 (11 et 725) sont une relation de déclinaisons : 11*4+1 = 45, 45*4+1=181, 181*4+1 =725

    Dans ce cluster :
    62 cas n'ont aucune étape commune
    32 cas ont une étape commune
    10 cas ont 2 étapes communes
    1 cas a 3 étapes communes (exemple donné ci-dessus)
    On peut aussi noter que s'il y a au moins une étape commune, les classes de i1 et i2 sont les mêmes.
    Donc hypothèse que les classes auraient une importance sur les étapes communes.
  • PMF
    PMF
    Modifié (July 2023)
    Je reviens sur les $i_{source}$, $i_{last}$, la formule de déclinaison $i = i_{\text{source}} \times 2^{2k-2} + \frac{{2^{2(k-1)}-1}}{3}$ et la forme $i=2^p+y$ ou $p$ est la partie entière du log2 de i et $y =i-2^p$.

    Les $i_{last}$ sont des déclinaisons du $i_{source}= 1$ : $5, 21, 85, 341...$

    Dans le cas d'un $i_{source}=1$, $p = 2k-2$ et y =  $\frac{{2^{2(k-1)}-1}}{3}$

    On peut donc constater comment $p, y$ et $i=2^p+y$ selon $k$ évoluent en utilisant les formules ci-dessus :

    $y$ est toujours égal à la valeur de $i$ correspondant à la valeur de $i$ en $k-1$
    Ce qui veut dire que l'on pourrait "reboucler" $y$ en recalculant une forme y= 2^p'+y', et ainsi de suite revenir à 1.
    Ceci est effectivement similaire à l'opération effectuée lorsqu"on calcule la prochaine étape de la suite de Collatz, 3*i + 1, diviser par 2 jusqu'à obtenir un nombre impair, et répéter ceci jusqu'à ce atteindre 1.

    Le rôle du $i_{last}$ dernière étape impaire avant 1, et sa relation avec le $i_{source}= 1$ dont il est une déclinaison est donc ici particulièrement remarquable.

  • PMF
    PMF
    Modifié (July 2023)
    Voici les données de la suite $49, 37, 7, 11, 17, 13, 5$ qui sont les étapes impaires de la suite de Collatz  : 49 - 148 - 74 - 37 - 112 - 56 - 28 - 14 - 7 - 22 - 11 - 34 - 17 - 52 - 26 - 13 - 40 - 20 - 10 - 5 - 16 - 8 - 4 - 2 - 1

    En regardant le tableau en fin de post, on voit que l'on a construit les $i=2^p+y$ en se basant sur les $i_{source}$ : $1, 3, 17, 11, 7, 9, 49$ comme nous l'avons fait pour $i_{source} =1$ dans ce message :
    https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2436122#Comment_2436122

    On remarque que l'on trouve les étapes $49, 37, 7, 11, 17, 13, 5$ en $k =1$ ou $k=2$ de chaque sous-tableau (voir image en fin de post).

    On remarque également  les analogies dans la suite des valeurs $y$ pour chaque  $i_{source}$ et ses déclinaisons : 
    a) $i_{source} = 3$ pour $e = 2$ : la suite $y$ est la suite des $i_{last}$
    b) $i_{source} = 17$ pour $e = 3$ : la suite $y$ est la suite des $i_{last}$
    c) $i_{source} = 11$ pour $e = 4$ : la suite $y$ est la suite des déclinaisons de 3
    d) $i_{source} = 7$ pour $e = 5$ : la suite $y$ est la suite des déclinaisons de 3
    e) $i_{source} = 9$ pour $e = 6$ : la suite $y$ est la suite des $i_{last}$
    f) $i_{source} = 49$ pour $e = 7$ : la suite $y$ est la suite des déclinaisons de 17

    Chaque $i_{source}$ semble donner une suite $y$ qui se réfère à une autre suite connue, soit celle des $i_{last}$, soit celle des déclinaisons d'un autre $i_{source}£. C'est un exemple de récurrence, où le comportement d'une partie de la suite dépend d'une autre partie.

    En essayant d'être un peu plus formel :
    Pour une suite de Collatz marquée par des étapes impaires $i$, chaque étape peut être exprimée sous la forme $i = 2^p + y$. Lorsqu'on examine simultanément l'évolution de cette forme en fonction du $i_{source}$ de chaque étape et de ses déclinaisons, définies par $i = i_{\text{source}} \times 2^{2k-2} + \frac{{2^{2(k-1)}-1}}{3}$, les séquences des valeurs de $y$ (en fonction de $k$) pour chaque $i_{source}$ distinct à chaque étape semblent être soit la séquence des $i_{last}$, cad la séquence des déclinaisons du $i_{source} = 1$  , soit des séquences de déclinaisons d'autres étapes.

    Cette observation suggère une sorte de structure hiérarchique ou imbriquée dans les suites de Collatz, où les séquences de $y$ pour différentes déclinaisons de $i_{source}$ sont liées aux séquences de $y$ pour d'autres $i_{source}$, en particulier ceux qui sont des étapes dans la suite de Collatz du nombre initial.



  • Tous ces constats, tu pourrais faire des constats similaires avec les variantes obtenues en remplaçant 3n+1 par 5n+1, ou 3n+5 par exemple.
    Or, ces 2 variantes de la conjecture ont un comportement différent (il y a des nombres qui n'arrivent pas à 1).
    Conclusion ...

    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • PMF
    PMF
    Modifié (July 2023)
    En fonction des points qui ont été développés précédemment , on peut aborder un nouveau concept pour mieux structurer les suites de Collatz :

    Un connecteur est une entité conceptuelle qui se substitue aux étapes impaires d'une suite :

    1. Il est défini par le triplet [e, i_source, k] : $e$ est nombre d'étapes impaires, $i_{source}$ un impair de la forme $8n+1$ ou $4n+3$ ayant cette valeur $e$, et $k$ le facteur de déclinaison
    2. Pour chaque valeur de $e$, il y a autant de connecteurs que de $i_{source}$ ayant cette valeur de $e$. 
    3. Chaque connecteur est équipé d'un ensemble infini d'entrées, qui sont toutes les déclinaisons du $i_{source}$ correspondant. Ces entrées sont nommées en fonction de la valeur de $k$ (le facteur de déclinaison), avec le $i_{source}$  lui-même étant l'entrée correspondant à $k=1$.
    4. Chaque connecteur est également équipé d'une seule sortie qui mène au connecteur suivant dans la suite. Plus précisément, la sortie d'un connecteur se connecte à une des entrées (spécifiquement, une déclinaison correspondant à une certaine valeur de $k$) du connecteur suivant.
    5. Un connecteur est caractérisé par le fait que toutes les déclinaisons d'un même $i_{source}$ partagent une valeur commune de $x-p$ et ont toutes le même successeur dans la suite de Collatz. Par conséquent, chaque connecteur agit comme un "nœud" qui relie les différentes déclinaisons d'un $i_{source}$ à leur successeur commun.

    Cette définition encapsule le rôle des connecteurs comme une nouvelle manière de structurer et de comprendre les suites de Collatz.

    Exemple pour la suite $11, 17, 13, 5$  :
    11 --> [4, 11, k] en $e = 4$ (on ne donne pas ici la valeur de k puisque c'est l'impair de départ de la suite)
    17 --> [3, 17, 1] en $e = 3$, est connecté au connecteur précédent en $k=1$ 
    13 --> [2, 3, 2] en $e = 2$, est connecté au connecteur précédent en $k=2$ 
    5--> [1, 1, 2] en $e = 1$,  est connecté au connecteur précédent en $k=2$

    De même la suite de $i = 577$ selon les clusters, classes et connecteurs de cette suite :

  • PMF
    PMF
    Modifié (July 2023)
    @lourrran
    Cet argument a déjà été discuté. Il n'apporte rien à l'étude des suites de Collatz basées sur le 3x+1. Pour rappel aucun contre-exemple de suite ne revenant pas à 1 n'a jamais été trouvé malgré des "gogols"  de calculs.
  • On sait que s'il y a des cycles, ce sont parmi les nombres à plus de 80 chiffres.
    Sur cet ensemble des nombres à exactement 80 chiffres, je pense que moins de 0.1% ont été testés.
    Et parmi les nombres à 1000 chiffres, c'est encore moins.
    Et parmi les nombres à 50 millions de chiffres, encore moins.

    Ce sont ces nombres, extrêmement grands qui sont intéressants.

    Par contre, oui, les nombres à 4, 5, 6 ou 7 chiffres, ceux que tu regardes, ils ont été observés dans tous les sens. Et en plus, par des gens qui comprennent ce qu'ils font, ce qui change beaucoup de choses.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • C’est bien de rappeler que c’est une conjecture : « Pour rappel aucun contre-exemple de suite ne revenant pas à 1 n'a jamais été trouvé ». 
    Franchement, pourquoi annoncer cela ?
  • PMF
    PMF
    Modifié (July 2023)
    @lourrran
    L'argument des très grands nombres est valable si on ne teste que des suites.  Il l'est beaucoup moins si on parle de  propriétés inhérentes à des formes particulières. Il y a une infinité de i_source et de leurs déclinaisons 4n+1 par exemple.  Donc un "connecteur" peut être aussi grand qu'on veut. De même la descendance de 16 est infinie. Il suffit de prendre la déclinaison de 3 et de mettre k="gogol" pour avoir un nombre immense qui revient direct à 5.
    Si je fais la même chose avec les 704 i-source de la descendance de 16, dont je connais les successeurs,  alors j'ai autant de très très grands nombres qui reviennent à 1... etc...
  • Et ?
  • PMF
    PMF
    Modifié (July 2023)
    Voici un truc vraiment étonnant concernant les $i_{source}$ et leur relation au nombre d'étapes impaires $e$

    Disons que si vous avez suivi la définition des connecteurs, la question qui devient centrale dès que l'on a compris leur rôle dans les suites de Collatz est :
    Tout impair de la forme 8n+3 ou 4n+3 défini comme un  $i_{source}$ peut-il avoir une valeur "e" ?

    Répondre à cette question par l'affirmative résoudrait la conjecture. En effet, si on peut attribuer un nombre d'étapes impaires $e$ à n'importe  $i_{source}$, cela veut dire que la suite de cet  $i_{source}$ revient à 1.  Et dans ce cas toutes les déclinaisons $4n+1$ de cet  $i_{source}$ reviennent aussi à 1.

    On peut alors chercher dans des listes de  $i_{source}$ pour une certaine valeur de $e$ pour voir ce qu'il se passe.
    En commençant par $e =2$, on a :
     $i_{source}$ : $3, 113, 227, 7281, 14563, 466033, 932067, 29826161, 59652323$
    On examine un peu leur valeur $x, p, y$ et on essaie de construire un modèle de "prédiction" de nouveaux $i_{source}$
    Voici les données :

    J'ai remarqué qu'en décalant de deux lignes, si on ajoute 6 au valeurs initiales 7 et 12 de $x$, on a les bonnes valeurs de $x$ des autres $i_{source}$ .
    De même pour $p$ (avec i=2^p+y) en partant des valeurs initiales 1 et 6.
    p' est un peu particulier. Je cherche à calculer le $y$ en le décomposant aussi en y =2^p'+y'. Et je peux appliquer aussi ma règle de +6 pour trouver les suivant par rapport aux valeurs initiales 0 et 5.

    Sur le tableau, ce qui est prédit est en rouge. J'ai donc en 3ème ligne : i_source prédit = 192=2^7+2^6. Il est aussi facile de voir que p'=p-1.
    Mais 192 n'est pas 227 que je cherche à prédire. Et la diffèrence 227-192=35. Mais qu'est-ce que 35? On peut le voir dans la partie jaune du tableau. 35 est un $i_{source}$  pour $e=3$ (k=1) dont la longueur de suite $x$ est la même que celle de 227. 

    Et la "blague" est que si on continue pour les prédictions suivantes : toutes les différences i_source réel - prédit sont des $i_{source}$  pour $e=3$ avec les mêmes valeurs de $x$ que le $i_{source}$  réel et en prime un $p$ qui vaut $p-2$ de celui du $i_{source}$ correspondant en $e =2$.

    Si quelqu'un arrive à expliquer ça, bravo. Il n'y a pas une chance sur un milliard que ce soit une coïncidence. Les résultats que je vous montre sont exacts et révérifiés, mais vous pouvez re-revérifier si vous voulez. 
  • Tu ne veux pas créer un PDF rapide et simple où tu expliques ta stratégie .juste pour les petit nouveaux
  • PMF
    PMF
    Modifié (July 2023)
    @123rourou
    OK donc voici un récap de la théorie des clusters.

    La théorie des clusters cherche à décrire au mieux le comportement des suites de Collatz en posant comme hypothèse que la conjecture est vraie. Dans cette théorie, on considère que toutes les propriétés des suites que l'on peut observer indépendamment sont liées.

    La première propriété que l'on observe sont les clusters qui sont par définition un ensemble d'impairs $i$ de valeur proche ayant le même nombre d'étapes impaires $e$, la même longueur de suites $x$. Sur un graphique avec en abscisse les longueurs $x$ et en ordonnées le $\log_2 i$ les impairs se regroupent en points (clusters) et ces regroupements sont alignés sur des diagonales. Comme il y a autant de diagonales que de valeurs de $e$, la relation entre $x$, $e$ et $\log_2 i$ est évidente. Ce qui se traduit par ces 3 relations :

    Celle qui explique pourquoi les valeurs des impairs dans un même cluster sont proches :
    $\frac{2^{x-e-1}}{3^e} < i < \frac{2^{x-e}}{3^e}$

    Celles qui donnent la relation en $e$, $x$ et $\log_2 i$
    $e=\lfloor \dfrac{x-\log_2(i)}{\log_26}\rfloor$
    $x = \lceil e \cdot \log_2 6 + \log_2 (i) \rceil$

    Le deuxième point qui est observable est la descendance impaire des clusters à partir de $2^4$. Dans la théorie des clusters, on considère que toute suite de Collatz passe par une dernière étape impaire nommé $i_{last}$ tel que $3\cdot i_{last}+1=2^n$. Cela veut dire qu'une suite revient toujours à 1 par le biais d'un puissance de 2. Si on génère des impairs à partir de $2^4$ qui commence à $x=4,$ on calcule pour $x =5$ , la multiplication par 2 du terme précédent $n$ puis on extrait si possible un impair $i$ en calculant $(n-1)/3$. On a donc une descendance qui se présente ainsi :
    x=4: 16 
    x=5: 32, 5
    x=6: 64, 10
    x=7: 128, 20, 21, 3
    x=8: 256, 40, 42, 6
    x=9: 512, 80, 84, 12, 85, 13
    x=10: 1024, 160, 168, 24, 170, 26 
    x=11: 2048, 320, 336, 48, 340, 52, 341, 53
    ...
    Par exemple pour $x<=20$, on a une descendance impaire de 16  : $5, 21, 3, 85, 13, 341, 53, 113, 17, 1365, 213, 227, 35, 453, 69, 75, 11, 5461, 853, 909, 141, 151, 23, 1813, 277, 301, 45, 7, 21845, 3413, 3637, 565, 605, 93, 15, 7253, 1109, 1205, 181, 29, 7281, 1137, 201, 87381, 13653, 14549, 2261, 2421, 373, 61, 2417, 369, 401, 9, 14563, 2275, 403, 29013, 4437, 4821, 725, 117, 29125, 4549, 805, 4849, 753, 4835, 739, 803, 19$
    et ces impairs se regroupent dans les clusters suivants : {1, 5}, {1, 7}, {2, 7}, {1, 9}, {2, 9}, {1, 11}, {2, 11}, {2, 12}, {3, 12}, {1, 13}, {2, 13}, {3, 13}, {2, 14}, {3, 14}, {4, 14}, {1, 15}, {2, 15}, {3, 15}, {4, 15}, {2, 16}, {3, 16}, {4, 16}, {5, 16}, {1, 17}, {2, 17}, {3, 17}, {4, 17}, {5, 17}, {2, 18}, {3, 18}, {4, 18}, {5, 18}, {1, 19}, {2, 19}, {3, 19}, {4, 19}, {5, 19}, {6, 19}, {2, 20}, {3, 20}, {4, 20}, {5, 20}, {6, 20}

    Note importante : dans cet ensemble de descendants, toute suite d'un de ces membres est uniquement composée pour ces étapes impaires des membres de cet ensemble. 

    Quand on génère cette descendance, on génère donc des clusters. Pour $x<=34$, les impairs se regroupent en 151 clusters avec $5<=x<=34$ et $1<=e<=11$

    Par hypothèse, cette descendance est infinie (infinité de générations $x$ ) et tout impair $i>1$ y trouverait sa place à une certaine valeur $x$ et une certaine valeur $e$.

    Le troisième point concerne les $i_{source}$ et leurs déclinaisons $4n+1$ : on peut définir n'importe quel impair sous ces 3 formes $8n+1$, $4n+3$ et $4n+1$. Les impairs de la forme $8n+1$ ou $4n+3$ sont des $i_{source}$, les autres des déclinaisons $4n+1$. La relation entre $i_{source}$ et sa déclinaison est : 
    $i = i_{\text{source}} \times 2^{2k-2} + \frac{{2^{2(k-1)}-1}}{3}$
    Pour x<=34, il y a 704  $i_{source}>1$ plus celui qui est le plus emblématique :  $i_{source} = 1$
    Le "théorème" des déclinaisons est que si la suite d'un  $i_{source}$ revient à 1, toutes ses déclinaisons reviennent à 1 avec une longueur de suite $x$ qui augmente de 2 quand $k$ augmente de 1, tandis que le nombre d'étapes impaires $e$ reste le même.
    Si on prend une très grande valeur de $k$, on peut ainsi fabriquer de très grands nombres à partir de ces 705 $i_{source}$ dont on sait que la suite revient à 1.
    On note ici que les déclinaisons du  $i_{source} = 1$ sont les  $i_{last} = 1$ : $1, 5, 21, 85, 341, 1365, 5461...$

    Le quatrième point est le fait que l'on peut écrire : $i = 2^p +y$ où $p$ est la partie entière du $log_2 i$  et $y = i-2^p$. 
    Pour une suite de Collatz marquée par des étapes impaires $i$, chaque étape peut être exprimée sous la forme $i=2p+y$. 
    Lorsqu'on examine simultanément l'évolution de cette forme en fonction du $i_{source}$ de chaque étape et de ses déclinaisons, définies par $i = i_{\text{source}} \times 2^{2k-2} + \frac{{2^{2(k-1)}-1}}{3}$, les séquences des valeurs de $y$ (en fonction de k) pour chaque $i_{source}$ distinct à chaque étape semblent être :
    - soit la séquence des $i_{last}$, cad la séquence des déclinaisons du $i_{source}=1$,
    - soit des séquences de déclinaisons d'autres étapes.
    Cette observation suggère une sorte de structure hiérarchique ou imbriquée dans les suites de Collatz, où les séquences de $y$ pour différentes déclinaisons de $i_{source}$ sont liées aux séquences de $y$ pour d'autres $i_{source}$, en particulier ceux qui sont des étapes dans la suite de Collatz du nombre initial. 
    https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2436144#Comment_2436144

    Le cinquième point est la différence $x-p$ qui découle de $i = 2^p +y$. Cette différence est constante pour des impairs ayant le même nombre d'étapes impaires $e$ et soit un $i_{last}=5$, soit $i_{last}<>5$. Dans la plupart des cas, tous les impairs de même $e$ ont le même $x-p$ mais par exemple pour $e=5$, les impairs ayant $i_{last}=5$ ont $x-p= 14$ et ceux en $i_{last}<>5$ ont $x-p=13$. 
    Une possiblité d'utilisation de $x-p$ est de l'utiliser comme une sorte de standard ou type de suites. On définit une classe, notée [e, x-p] regroupant les étapes impaires ayant le même $e$ et le même $x-p$. Si on classe ainsi les 1878 descendants de 16 pour $x<=34,$ on ne trouve que 12 classes :
    [1, 3], [2, 6], [3, 8], [4, 11], [5, 13], [5, 14], [6, 16], [7, 19], [8, 21], [9, 24], [10, 27], [11, 29]
     
    Le sixième point enfin est la définition des connecteurs.  
    Un connecteur est une entité conceptuelle qui se substitue aux étapes impaires d'une suite :
    1. Il est défini par le triplet [e, i_source, k] : $e$ est nombre d'étapes impaires, $i_{source}$  un impair de la forme $8n+1$ ou $4n+3$ ayant cette valeur $e$, et $k$ le facteur de déclinaison.
    2. Pour chaque valeur de $e$, il y a autant de connecteurs que de $i_{source}$  ayant cette valeur de $e$. 
    3. Chaque connecteur est équipé d'un ensemble infini d'entrées, qui sont toutes les déclinaisons du $i_{source}$ correspondant. Ces entrées sont nommées en fonction de la valeur de $k$ (le facteur de déclinaison), le $i_{source}$ lui-même étant l'entrée correspondant à $k=1$
    4. Chaque connecteur est également équipé d'une seule sortie qui mène au connecteur suivant dans la suite. Plus précisément, la sortie d'un connecteur se connecte à une des entrées (spécifiquement, une déclinaison correspondant à une certaine valeur de $k$ ) du connecteur suivant.
    5. Un connecteur est caractérisé par le fait que toutes les déclinaisons d'un même $i_{source}$  partagent une valeur commune de $x−p$ et ont toutes le même successeur dans la suite de Collatz. Par conséquent, chaque connecteur agit comme un "nœud" qui relie les différentes déclinaisons d'un $i_{source}$  à leur successeur commun.


    En résumé donc, la théorie des clusters indique l'existence probable une structure sous-jacente des suites de Collatz, qui expliquerait pourquoi toutes les propriétés observables des suites sont reliées comme les 6 points ci-dessus le montrent.
  • 123rourou
    Modifié (July 2023)
    La première propriété que l'on observe sont les clusters ... ayant le même nombre d'étapes impaires et, la même longueur de suites x.
    Donc, ils ont la même quantité d'opérations, donc leurs valeurs sont relativement proches.Parce qu'ils convergent vers 1 avec le même nombre de divisions et de multiplications. ok
    Le deuxième point qui est observable est la descendance impaire des clusters
    De toute manière, à partir du moment où tu tombes sur une valeur de la forme $2^n$, l'histoire est close, donc ok
    Le cinquième point est la différence même histoire que pour le 1
    Le sixième point enfin est la définition des connecteurs.  D'accord. Dans les suites de Syracuse, plusieurs valeurs différentes peuvent converger vers une valeur commune puis converger ensuite vers 1
    Le quatrième point est le fait que l'on peut écrire 
    Ok, $2^{100}⋅p$  et $2^{50}⋅p$ ils partagent la même structure, puisqu'ils ont en commun la même valeur $p$.En gros même chose que  pour le 6
  • PMF
    PMF
    Modifié (July 2023)
    Par rapport au rôle des connecteurs :
    https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2436144#Comment_2436144

    On teste des suites d'impairs tirés de manière aléatoire dans la limite de $i<=10^{12}$ et $x<=500$.
    Sur 1000 tirages, les connecteurs les plus fréquents pour $e<=7$ sont 


    Cela veut dire que si on se base sur 84% des suites passant en $e=7$ par les connecteurs [7, 433], [7, 25], [7, 49], [7, 51], ce pourcentage correspond aux étapes impaires situées en 7ème position avant 1 :  $25, 49, 51, 101, 197, 205, 405, 433, 789, 821, 1621, 1733, 3157, 3285, 6485, 6933, 12629, 13141, 25941, 27733, 50517, 52565$, c.a.d. des déclinaisons des $i_{source}$ : $433, 25, 49, 51$ pour des valeurs de $k$ de 1 à 6.

    Si on ne tient pas compte du connecteur [7, 51], on peut donc dire que 7 étapes impaires avant 1, les connecteurs [7, 433], [7, 25], [7, 49] prennent 80% du passage des suites testées, et que ce sondage malgré ces limites est certainement représentatif de toutes les suites ayant au moins 7 étapes impaires.
  • PMF
    PMF
    Modifié (July 2023)
    A la suite de ce qui a été défini pour la théorie des clusters ici :
    https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2436491#Comment_2436491

    Lorsque nous générons une descendance impaire à partir de 16, nous créons une liste d'impairs qui doit remplir tous les clusters possibles pour une valeur donnée maximale de longueur de suites $x$, ainsi que pour une valeur maximale de nombre d'étapes impaires $e$. Dans le cas des 1878 descendants impairs de 16 pour $x<=34$, ces clusters {e, x} vont de {1;5} à {11;34}.

    Ce qui est particulièrement remarquable, c'est qu'il semble y avoir une contrainte spécifique sur les proportions normales des types $8n+1, 4n+3, 4n+1$. Pour remplir tous les clusters, dans l'ordre croissant de $x$ et $e$, nous avons besoin de beaucoup plus de déclinaisons $4n+1$ (63%) que la proportion que l'on trouverait normalement dans l'ordre arithmétique des impairs (25%).

    Cela indique donc qu'il existe une interaction intéressante entre la structure des clusters dans la conjecture de Collatz et la distribution des types d'impairs $8n+1, 4n+3, 4n+1$. Cette intercation est marquée par le fait que les $i_{source}$ dont la proportion cumulée de leurs types $8n+1$ et $4n+3$ est de 75% dans l'ordre arithmétique standard est réduite de moitié (37%) dans l'ensemble des cluters possibles pour une certaine limite de longueur de suites $x$ et de nombre détapes impaires $e$. 



    On notera que quand un $i_{source}$ apparait dans la descendance, il est suivi d'une déclinaison toutes les deux générations $x$ et que l'on peut calculer le facteur $k$ de déclinaison en ajoutant $k+1$ tous les $x+2$.
    Par exemple $i_{source} = 3$ apparait en $x=7$ avec $k=1$ et $i_{source} = 223696213$ arrive en $x=33$ avec $k=14$
    $i = i_{\text{source}} \times 2^{2k-2} + \frac{{2^{2(k-1)}-1}}{3}$
    $3 = 3 \times 2^{2*1-2} + \frac{{2^{2(1-1)}-1}}{3}$
    $223696213 = 3\times 2^{2*14-2} + \frac{{2^{2(14-1)}-1}}{3}$
    De ce fait les $i_{source}$ produisent rapidement beaucoup de déclinaisons :
    $x$ le nombre de générations de la descendance de 16
    $y$ le nombre de déclinaisons $4n+1$ trouvées pour cette valeur de $x$ 
    $y = 0.1604 \cdot e^{0.2325 \cdot x}$

  • Euhh ...  
    Les impairs sont de 2 types , les 4n+1 et les 4n+3, c'est tout.
    Donc les 4n+1 pèsent 50% des impairs, et non 25%.

    Et la 'distorsion' 63% versus ce 50% théorique', elle était prévisible. On sait que les 4n+1 commencent leur trajectoire  en descendant 'vite', alors que les 4n+3 commencent en descendant, ou en montant.  
    Je pense que ça avait été vu en 2020.

    Et si je me souviens bien, une des conséquences de ça (ou une des causes, question de point de vue), c'est que dans un cluster, les nombres de type 4n+1 sont plutôt plus grands que les nombres de type 4n+3. (j'ai une chance sur 2).
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • PMF
    PMF
    Modifié (July 2023)
    @lourrran
    Là tu te trompes vraiment, je me permets de te le dire. 
    Il y a vraiment un type $8n+1$ qui est en quelque sorte ''prioritaire'' sur le $4n+1$. En effet un impair peut être vérifié comme $4n+1$ mais s'il est aussi vérifié comme un "8n+1", il est nécessairement un $8n+1$
    Voici le test Excel : 
    SI((i-1)/8=ENT((i-1)/8);"8n+1";SI((i-3)/4=ENT((i-3)/4);"4n+3";"4n+1"))
    On teste dans l'ordre 8n+1 puis 4n+3. Si faux aux deux conditions, c'est un $4n+1$
    Je me permets de te conseiller de lire avec attention mon post suivant qui donne une première définition complète des $i_{source}$
  • Un nombre entier positif impair $i_{source}$ est dit ''primaire'' si et seulement si :

    1) i_source est de la forme $4n+3$ ou $8n+1$.
    2) L'opération (i_source - 1) / 2 ne donne pas un nombre pair, et
    3) L'opération (i_source - 1) / 2 ne donne pas un nombre impair de la forme $4n + 1$, pour $n$ entier.
    4) Tout $i_{source}$ de la forme $8n+1$ est un $i_{source}$ primaire.

    Un nombre entier positif impair $i_{source}$ est dit ''secondaire'' si et seulement si :

    1) Ce $i_{source}$ peut être généré à partir d'un $i_{source}$ primaire par une suite indéfinie d'opérations $2n+1$. Ces i_source secondaires seront de la forme $4n+3$.
    2) Les impairs de la forme $4n+3$ peuvent être des $i_{source}$ primaires mais il y en a moins que les $i_{source}$ secondaires de cette forme.


  • Voici la liste des $i_{source}$ primaires pour $e=2$ et $e=3$
    Dans les deux dernières colonnes de droite, on effectue l'opération $2n+1$ sur le $i_{source}$ et on vérifie son type qui est toujours en $4n+3$.
    Il y a 704 $i_{source}$ parmi les 1878 descendants impairs de 16 pour $x<=34$ dont 75 $4n+3$ et 311 "8n+1" (ce qui est la totalité des types $8n+1$ trouvés parmi les 1878 descendants)

  • Rectification : tu dis que je me trompe, mais en fait tu me trompes.

    Si tu veux distinguer 4 groupes parmi les impairs, nomme 'classiquement' ces groupes les 8n+1 , les 8n+3, les 8n+5 et les 8n+7.
    Si tu parles d'un groupe que tu appelles les 4n+1, pour n'importe qui qui lit tout ça, ce groupe est constitué de {,1,5,9,13,17...} 
    Pour toi, il semblerait que ce que tu appelles les 4n+1, ce sont {5,13,21,29 ...}, donc en fait les 8n+5.

    Encore une fois, tu parles dans ta propre langue, qui est différente de la langue utilisée par tous les autres.


    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • @lourrran
    Faudrait quand même que tu lises un peu ce que je publie.  Il y a une formule qui donne les déclinaisons depuis un i_source et toute déclinaison est en 4n+1.
    Et tout i_source est soit un 8n+1 soit un 4n+3.
    Je peux te joindre un fichier où les types des 1878 descendants impairs de 16 sont répertoriés si tu veux. 
    Les i_last sont des déclinaisons d'un i_source bien particulier : 1.
    Donc 1×4+1= 5, 5×4+1= 21, etc...
    Maintenant le truc est de trouver la structure propre des i_source avec des primaires et des secondaires.  D'où les posts de ce jour. A lire svp.
  • Je lis, j'essaie de traduire, mais  je n'y parviens pas souvent.
    Par contre, quand je vois : les impairs de type 4n+1 représentent 25% des impairs, je m'étonne.  

    Je sais que je ne peux pas suivre, il y a trop de bizarreries, trop de choses à corriger. Peut-être qu'il faudrait que j'arrête de lire.
    Mais pour que j'arrête de lire, il faudrait quasiment que tu arrêtes d'écrire.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • @lourrran
    Ta logique me laisse perplexe, mais bon...
    Je vais essayer de te donner une réponse à tes interrogations sur les 3 formes $8n+1, 4n+3, 4n+1$.

    Le premier point est pourquoi on se sert de ces formes pour séparer les déclinaisons $4n+1$ des $i_{source}$ $8n+1$ et $4n+3$.
    Les déclinaisons sont une propriété importante des suites de collatz. Si un  $i_{source}$ revient à 1, sa déclinaison revient à 1 avec le même nombre d"étapes impaires $e$ et une longueur de suite $x+2k$, où $x$ est la longueur de la suite du  $i_{source}$ et $k$ le facteur de déclinaison.
    $i = i_{\text{source}} \times 2^{2k-2} + \frac{{2^{2(k-1)}-1}}{3}$

    Le deuxième point est pourquoi ces 3 formes et pas d'autres.
    Pour trouver des déclinaison, on pourrait utiliser une sorte de Crible d'Ératosthène en prenant les impairs dans l'ordre arithmétique et en appliquant l'opération $4n+1$:
    1, ,5, 21, 85..
    3, 13, 53...
    5 on l'a déjà
    7, 29..
    9, 37..
    11, 45..
    13 on l'a déjà
    ....
    ça marche mais c'est long.

    On va donc plus simplement faire un test $(i-1)/4$ : si le résultat est impair c'est une déclinaison, s'il est pair c'est un $8n+1$, s'il est décimal c'est un $4n+3$.

    Et si on compte les formes sur cet échantillon, on a la distribution suivante :


    Donc c'est simple. Mais quand on regarde la distribution des 3 formes dans la descendance impaire de 16, les proportions sont différentes :
     https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2436899#Comment_2436899
  • Tu me réponds, mais tu ne me lis pas. 

    Et pourtant, ce que je  dis, c'est simple. Je t'explique le chapitre n°1 des mathématiques, le premier, le plus facile, et toi, tu prétends travailler sur le chapitre n°45999, le dernier, le plus difficile, sans connaître le chapitre 1.
    Si tu refuses de parler la langue comprise par les autres, pourquoi écris-tu tous ces pavés ?

    Pour tout lecteur, les nombres de la forme 4n+1, c'est {1,5,9,13,17,21,...}
    Si l'ensemble qui t'intéresse, ce sont les nombres {5,13,21,29,...}, il y a 8 unités d'écart entre 2 termes consécutifs, ce sont les nombres de la forme 8n+ quelque chose, 8n+5 en l'occurrence.

    J'essaie plus ou moins de suivre tes pérégrinations, pour t'aider, même si on sait tous les deux que ça ne mène à rien, mais fais au moins l'effort de parler la langue que tout le monde comprend. Arrête de tendre des pièges.

    Maintenant, je vais te donner des pistes pour que tu comprennes les résultats que tu obtiens, et que tu voies par toi-même tout ça.
    Tu as calculé 3 nombres, pour x=34 :
    le nombre de termes de la forme 8n+5 , tu trouves 1174 ; quelle est la moyenne de ces 1174 nombres ? 
    le nombre de termes de la forme 8n+7 , tu trouves 393 ; quelle est la moyenne de ces 393 nombres ?
    le nombre de termes de la forme 8n+3 ou 8n+1 , tu trouves 311 ; quelle est la moyenne de ces 311 nombres ?

    Fais les mêmes calculs pour x=35, x=36. Ou encore x=32, x=33
    En plus des moyennes, une notion de dispersion serait utile. Soit l'écart-type, soit les premiers et troisièmes quartiles.

    Et là, tu pourras commencer à faire de l'analyse de données. 
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • PMF
    PMF
    Modifié (July 2023)
    @lourrran
    Ok je comprends où tu bloques. 
    Lorsque l'on parle d'un $4n+1$ dans mon système, on désigne un nombre qui est le résultat d'une formule telle que :
    $i = i_{\text{source}} \times 2^{2k-2} + \frac{{2^{2(k-1)}-1}}{3}$
    avec $k>1$ pour un certain $i_{source}$.

    Donc pour 29 par exemple c'est $k=2$ et $i_{source} = 7$
    ou plus simplement $4*7+1=29$ (si $k=2$, il y a $k-1$ opérations $4n+1$ donc une dans ce cas)

    On est donc dans un système où par contre 9 (8*1+1) est en $8n+1$ même si 4*2+1=9. Parce qu'on doit tester $8n+1$ avant $4n+1$. Le propos n'est pas de faire de l'arithmétique avec des n fois quelque chose + quelque chose , mais de trouver des "formes" qui fonctionnent avec les propriétés de Collatz.

    Or en ayant vérifié les 1878 descendants impairs de 16 pour $x<=34$, tous les $8n+1$ et les $4n+3$ ont $k=1$, c.a.d qu'ils sont des $i_{source}$. Et tous ceux qui ne sont ni en $8n+1$, ni en $4n+3$ ont $k>1$.
    Si le $4n+1$ t'embêtes tant que ça, on  pourrait dire que tous les nombres qui ne sont pas en $8n+1$ ou $4n+3$ sont des déclinaisons avec $k>1$.
  • lourrran
    Modifié (July 2023)
    Ce que je te demande, c'est de ne pas tendre des pièges au lecteur.
    Pour n'importe qui, les 4n+1, c'est {1,5,9,13, 17...}
    Et cet ensemble peut se diviser trivialement en 2 groupes, les 8n+1 {1,9,17,25 ...} et les 8n+5 {5,13,21, 29 ...}
    Lorsque l'on parle d'un $4n+1$ dans mon système, on désigne un nombre qui ...
    Tu peux parler au singulier, tu es seul au monde à parler ta langue 
    Lorsque je parle d'un $4n+1$ dans mon système, je désigne un nombre qui ...
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • @lourrran

    En suivant ton conseil, on modifie le troisième point du recap :
    https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2436491#Comment_2436491


    Le troisième point concerne les $i_{source}$ et leurs déclinaisons $8n+5$ : 
    on peut définir n'importe quel impair sous ces 3 formes $8n+1$, $4n+3$ et $8n+5$. Les impairs de la forme $8n+1$ ou $4n+3$ sont des $i_{source}$, les $8n+5$ des déclinaisons . La relation entre $i_{source}$ et sa déclinaison est : 
    $i = i_{\text{source}} \times 2^{2k-2} + \frac{{2^{2(k-1)}-1}}{3}$
    Pour x<=34, il y a 704  $i_{source}>1$ plus celui qui est le plus emblématique :  $i_{source} = 1$
    Le "théorème" des déclinaisons est que si la suite d'un  $i_{source}$ revient à 1, toutes ses déclinaisons reviennent à 1 avec une longueur de suite $x$ qui augmente de 2 quand $k$ augmente de 1, tandis que le nombre d'étapes impaires $e$ reste le même.
    Si on prend une très grande valeur de $k$, on peut ainsi fabriquer de très grands nombres à partir de ces 705 $i_{source}$ dont on sait que la suite revient à 1.
    On note ici que les déclinaisons du  $i_{source} = 1$ sont les  $i_{last} = 1$ : $1, 5, 21, 85, 341, 1365, 5461...$
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