Cours sur call carré, aide sur la "closed forme"

chris_51000

Bonjour,
je suis en train d'essayer de trouver une solution à la SDE à coeff constant, dS=uSdt+sigma*S*dz, avec Z Wienner et Z0=0.

J'ai essayé de trouver cela en passant par Itô, et également en élevant au carré la solution pour dS. Je trouve une petite différence de signe dans l'exponentielle et je ne comprends pas pourquoi. 
Est-il possible de m'éclairer. Peut-être pourriez-vous me dire où [est] mon erreur.

Merci beaucoup.

[Kiyoshi Itō (1915-2008) a droit à sa majuscule et au respect de son patronyme. AD]

Positif

Ton passage avec le log est faux. Pour obtenir la SDE du log tu dois différentier $\log ( S_t^2) $ rigoureusement et pas faire $\frac{\mathrm{d} S^2}{S^2}$  qui peut mener á des incompréhensions. Exactement comme pour la résolution "classique" de la SDE $\mathrm{d} S = S ( \mu \mathrm{d}t + \sigma \mathrm{d} Z_t )$ pour laquelle tu différenties proprement $\log ( S_t) $.

chris_51000

Merci beaucoup,
effectivement, c'est mieux

Positif

Exercice : 
valeur de $\mathbf{E} [ S_T ( S_T - K)_+ ] $ ? 

chris_51000

Merci beaucoup pour l'exercice, si tu en as d'autres je veux bien également
Voici ma réponse, (je passe l'étape de calcul de l'integrale avec la densité de la loi normal).
Bien sûr c'est quand $S_t > K$ sinon ça fait $0$, nous sommes d'accord.
Ma réponse ci dessous.

Question : pourquoi mon passage au log est faux ? Je n'ai pas le droit d'utiliser $S^2$ comme variable d'intégration ?

Positif

chris_51000
$x_+$ c'est la fonction $\max(x, 0)$. Ton raisonnement est faux.

Et tu ne peux pas utiliser $S^2$ comme variable d'intégration car il te manque le $\mathrm{d} \langle \log S^2 \rangle_t $. 

chris_51000

Merci, il me semblait l'avoir pris en compte en faisant la distinction entre x positif et x negatif.
Je vais me remettre au travail alors.
Merci.

chris_51000

Bonjour,
j'ai toujours un petit doute sur la réponse, si besoin je peux mettre la réponse détaillée mais voici ce que je trouve : 
Est-ce correct ?
N(x) étant la loi normal cumulative et d1 étant le d1 dans la formule de Black Scholes.

Positif

Mets donc cela sous la forme d'une fonction "call" : si je pose $\mathrm{call}(x, t, K, \sigma, r) = x \mathcal{N} (d_1) - K e^{-rT} \mathcal{N}(d_2)\ ;\ d_1 = \dfrac{\log \left( \frac{x}{K} \right) + (r + \frac{\sigma^2}{2})T}{\sigma \sqrt(T)}\ ;\ d_2 = d_1 - \sigma \sqrt{T}$ ;
moi je trouve \[ \mathbf{E} [ S_T (S_T - K)_+ ] = e^{rT} S_0 \mathrm{call} ( x = S_0 e^{\sigma^2 T}, t = T, K = K, \sigma = \sigma, r = r ) \]