Espérance conditionnelle

Darksasukee

Bonjour,
j'ai une question sur l'espérance conditionnelle s'il vous plaît

On se place dans un espace probabilisé $(\Omega , \mathrm{A}, P)$. On prend une v.a $Y$ dans cet espace. Soit $\beta$ une sous tribu de $\mathrm{A}$. On note $E(Y|\beta)=Z$ la projection de $Y$ sur $(\Omega , \beta, P)$.

Je souhaite comprendre pourquoi on a : $\forall B$ appartenant à $\beta$, $\displaystyle \int_{B} Z \, \mathrm{d}P \ge 0 \Leftrightarrow Z \ge 0 $ ps.
Le sens de droite vers gauche est évident mais l'autre je ne vois pas..

Barjovrille

Bonjour,

Je ne comprends pas ce que tu veux dire par : pour tout $B \in \beta$ , $Z \geq 0$ ?

Darksasukee

Oui pardon je me suis trompé dans mon équivalence, j'ai corrigé.

GaBuZoMeu

Bonsoir,

N'est-ce pas plutôt "pour tout B appartenant à Béta, l'intégrale sur B de Y est supérieur ou égal à zéro est équivalent à Z supérieur ou égal à zéro."

Et n'est-ce pas alors une conséquence de $\mathbb E(1_BY)=\mathbb E(1_BZ)$ pour tout $B\in \beta$ ?

Darksasukee

Je ne comprends pas pourquoi ça serait une conséquence de ta propriété. Si les deux espérances sont égales alors les deux intégrales sont égales mais on veut montrer que Z est positive ou nulle pas que l'intégrale de Z est positive ou nulle, non?

GaBuZoMeu

Tu es donc d'accord avec ma correction de l'énoncé ? La formulation de ton premier message est incorrecte, n'est-ce pas ?

Ne vois-tu pas pourquoi "$Z$ est (presque sûrement) positive ou nulle" équivaut à " $\mathbb E(1_BZ)\geq 0$ pour tout $B\in \beta$ " ?

Darksasukee

Oui, je me suis trompé, je viens de corriger ! 
Et non je ne comprends pas, j'avoue... Je comprends l'implication de la gauche vers la droite mais pas celle de droite à gauche...
Une petite question, comment tu écris de si belles formules mathématiques ?

Darksasukee

On a une donc pour tout $B\inβ$ , $\displaystyle \int_{B} Z \, \mathrm{d}P \ge 0$, je ne vois pas comment montrer alors que $Z \ge 0 $ ps...

Barjovrille

Pour l'autre sens essaye de démontrer la contraposée je crois que c'est plus facile.

Pour les formules c'est du latex il suffit de mettre tes expressions mathématiques entre dollars "$" et connaître quelques commandes ça s'apprend vite. Par exemple le symbole "appartient à" s'écrit \in que tu encadres entre deux dollars. Tape sur google pour trouver les commandes latex que tu veux.

Darksasukee

Okok merci pour l'info ! 
J'avoue avoir déjà essayé mais je n'ai pas réussi..

Barjovrille

La dernière intégrale que tu as écrite il faut mettre $dP$ pas $dx$ tu l'as bien écrit dans ton premier message, et cette intégrale sur $B$ c'est l'expression $E(Z 1_B)$.

Ok est-ce que tu peux écrire la négation de "$Z \geq 0$ presque sûrement" ? C'est peut-être ça qui te bloque.

Darksasukee

La négation est : $\exists \omega \in$ Ω tel que $Z(\omega)< 0$ .

JLapin

Non, pas vraiment.
Presque sûrement signifie "de probabilité 1".

GaBuZoMeu

Que peux-tu dire de la mesure de $B=\{Z\leq {\color{red} -}1/n\}$ pour $n$ entier $>0$ ?

Darksasukee

C'est plutôt : ∃ $C\in Ω$ de mesure non-nulle telle que $Z(C)<0$ je crois.

Positif

Suis le conseil de @GBMZ. Pour $H_n = \{ Z \leq \frac{1}{n} \} $; alors l'ensemble $ H = \{ Z < 0 \} $ peut s’exprimer comme ...

GaBuZoMeu

J'avais oublié le "moins" ; ça va mieux avec. Excuses !

Darksasukee

Ma deuxième proposition pour la contraposée est-elle juste s'il vous plaît ?

Pour répondre à @Positif, tu voulais dire $\frac{-1}{n}$, Non ?
Si tu voulais bien dire ça, on a : $\bigcup_{n\in\infty}H_{n}$=$H$. Si $Z\ge0$ alors $H$ et $H_{n}$ sont de mesure nulle.
Sinon si on est dans le cas de la contraposée, alors $H$ est de mesure non-nulle mais on ne sait pas pour $H_{n}$.
Je ne vois pas du tout où vous voulez en venir...

Barjovrille

Deux questions : 
- Si $H$ est de mesure non nulle est ce que tu peux terminer la démonstration de la contraposée ? 
- Si on est dans le cas de la contraposée, pourquoi $H$ est de mesure non nulle ? 

Ta deuxième proposition n'est pas bonne à partir de "mesure non nulle". Il y a des mesures de probabilité qui n'ont pas de singleton de mesure non nulle. (Et ce n'est pas la négation attendu, mais c'est à peu près dans la bonne direction ie : trouver quelque chose de mesure non nulle).

GaBuZoMeu

Darksasukee a dit :

on a : $\bigcup_{n\in\infty}H_{n}$=$H$. ...

$H$ est de mesure non-nulle mais on ne sait pas pour $H_{n}$.

Ça ne fait pas tilt ?

Darksasukee

@Barjovrille non je ne vois pas comment terminer la démonstration avec la contraposée et répondre à ta deuxième question car je me fais une mauvaise idée de la contraposée d'après ce que tu me dis...

Le contraire de la proposition "$\forall$ ensemble A de mesure non-nulle $Z(A)≥0$" est pour moi "$\exists$ un ensemble $A$ de mesure non-nulle telle $Z(A)<0$".
Je ne comprends pas pourquoi ce que je dis est faux.. 

Vous pouvez me donner la bonne négation svp ? Car je ne vois pas du tout où je me trompe..

GaBuZoMeu

J'espérais un déclic, mais il n'a pas eu lieu.

0n a : $\bigcup_{n\in\infty}H_{n}$=$H$. Si la mesure de tous les $H_n$ est nulle, alors la mesure de $H$ est ...

Barjovrille

@GaBuZoMeu il voulait montrer que si $E(1_BZ) \geq 0$ pour tout $B \in \beta$, alors $Z \geq 0$ p.s. Je loupe peut être quelque chose mais ta méthode n'est pas la plus directe ?

@Darksasukee $Z$ est une variable aléatoire donc c'est une fonction. Donc si $A$ est un ensemble $Z(A) \geq 0$ n'a pas de sens (ou sinon il faut expliciter).
En probabilité/théorie de la mesure , il y a des "raccourcis d'écriture", je t'écris une fois  les définitions dépliées.
Si $Z$ est mesurable alors, $Z \geq 0$ p.s ça veut dire $P(\{Z \geq 0\})= P(Z^{-1}([0, + \infty[))= P(\{ \omega \in \Omega, Z(\omega) \geq 0\}) =1$
Donc la négation de $Z \geq 0$ p.s c'est tout simplement  $P( \{Z \geq 0 \}) \neq 1$.
Or on sait que $P( \{Z \geq 0 \}) \leq 1$ (la probabilité d'un évènement est toujours inférieur ou égale à 1).
Donc $P( \{Z \geq 0 \}) < 1$. Donc en passant à l'évènement complémentaire $P(\{Z < 0 \}) > 0$
On note $B=\{Z < 0 \}$, on a $B \in \beta$ car $Z$ est $\beta$-mesurable par définition de l'espérance conditionnelle.
Et donc $E(1_B Z) = \int_B Z(\omega) dP(\omega) <0$ par définition de $B$ et $B$ est de mesure non nulle.
D'où la contraposée.

GaBuZoMeu

@Barjovrille : peux-tu expliciter le "Et donc" qui commence ton avant-dernière ligne ?

Je le fais : Soit $H_n=\{Z<-1/n\}$, $H=\bigcup_{n\in \mathbb N^*} H_n=\{Z<0\}$. Les événements $H_n$ et $H$ sont dans $\beta$. Si $H_n$ était de mesure non nulle, alors on aurait $\mathbb E(1_{H_n}Z) <-P(H_n)/n<0$, contrairement à l'hypothèse. Donc tous les $H_n$ sont de mesure nulle et par conséquent $H$ est de mesure nulle.  Autrement dit, $Z\geq0$ presque sûrement.

Barjovrille

@GaBuZoMeu ok je vois,
C'est vrai que le et donc méritait un peu plus de détail, je vais écrire mon raisonnement mais je pense que ça utilise implicitement un truc du type Markov comme le tiens. En reprenant les notations de mon message.
On suppose $P(B)>0$ et on veut montrer que $\int_B Z dP<0$
La v.a $1_BZ$ est de signe constant (négative) donc $\int_{\Omega} 1_B Z dP \leq 0$. Donc pour montrer que $\int_{\Omega}1_B ZdP <0$ il suffit de montrer que $\int_{\Omega} 1_B Z dP \neq 0$.
Si $\int_{\Omega} 1_B Z dP =0$ comme $1_BZ$ est de signe constant alors $1_BZ =0$ presque surement. Et on a $\{1_B Z=0\}=\{ Z \geq 0\}$.
Donc $P(\{1_B Z=0\})=P(\{ Z \geq 0\})=1 $ donc $P(B)=0$, contradiction  donc $\int_{\Omega}1_B ZdP <0$.

Darksasukee

Merci pour vos démonstrations, les deux sont très claires. 

GaBuZoMeu

"un truc du type Markov " ???

Ce que j'utilise, c'est simplement que l'intégrale d'une fonction négative ou nulle ($1_{H_n}(Z-1/n)$ est négative ou nulle, et que la mesure d'une réunion dénombrable d'ensembles de mesure nulle est de mesure nulle.

Bref, l'argument élémentaire qui justifie ton assertion

Si $\int_{\Omega} 1_B Z dP =0$ comme $1_BZ$ est de signe constant alors $1_BZ =0$ presque sûrement.

Barjovrille

Etant donné que la démonstration de l'inégalité de Markov consiste à remarquer un truc similaire à

 c'est simplement que l'intégrale d'une fonction négative ou nulle ($1_{H_n}(Z-1/n)$ est négative ou nulle,

 et que la conclusion $E(1_{H_n} Z) \leq - P(H_n)/n$ ressemble (je trouve) à l'inégalité de Markov.
J'appelle ça un "truc du type Markov".

Darksasukee

@Barjovrille Je ne comprends pas pourquoi tu expliques autant le fait que si $B=\{Z<0\}$ alors $ \int_{B} Z \, \mathrm{d}P <0$.
On intègre sur un ensemble où $Z$ est strictement négative donc l'intégrale sur cette ensemble est forcément strictement négative non ? 

Barjovrille

Il ne faut pas oublier $B$ de mesure non nulle sinon l'intégrale est nulle. Si on me demande d'expliciter comme GaBuZoMeu me l'a demandé, je ne peux pas répondre juste "c'est forcément ça" si c'est si évident la preuve ne doit pas être compliquée et donc on prouve (c'est en essayant de faire la preuve qu'on se rend compte si c'était vraiment évident ou pas ). Et il m'a demandé d'expliciter parce qu'au début je pensais que "ma preuve" était plus directe que la sienne, en me demandant d'expliciter il m'a fait remarquer que je reprenais une partie de ses arguments donc non elle n'était pas plus directe.

Darksasukee

Ok merci de ta réponse ! 

GaBuZoMeu

On intègre sur un ensemble où 𝑍 est strictement négative donc l'intégrale sur cette ensemble est forcément strictement négative non ?

Si c'est évident, tu dois pouvoir en donner une démonstration claire. J'attends.

Darksasukee

@Barjovrille l'a donnée dans les messages précédents.