Fonctions niveau terminale samedi 18 mars

etanche

Bonjour
Les courbes de $f(x)=e^x - x$ et $g(x)=x - \ln(x)$ se coupent en un point $A$
On trace la droite parallèle à l’axe des abscisses passant par $A$, cette droite coupe la courbe de $f$ en $B$, la courbe de $g$ en $C$.
Montrer que $A$ est milieu de $[BC]$, $AB=AC$.
Merci

Merci à cailloux et Rescassol pour vos remarques mais $A$ est milieu de $[BC]$ d’après la réponse de gai requin.

cailloux

Bonjour,

Je pense que tu as voulu écrire $AB=AC$. Il me semble que c'est faux.

Rescassol

Bonjour
Presque :

Cordialement,
Rescassol

etanche

@ cailloux et Rescassol c’est AB et AC. 

etanche

A est bien milieu de [BC] d’après la réponse de gai requin

Rescassol

Bonsoir,

Ma figure résout les deux premières questions.
Pour la 2, il manque le mot "près" à la fin de la phrase, et je suppose que tu voulais écrire $AB-AC$.
Et le début de ton message semble indiquer que tu as posé ce problème sans en avoir de solution ?

Cordialement,
Rescassol

cailloux

Bonsoir,
J’ajoute que les exercices à géométrie variable ne sont pas ma tasse de thé.

etanche

@ Rescassol je n’avais pas regardé de près. 

gai requin

@etanche : Soit $\alpha,\beta,\gamma$ les abscisses de $A,B,C$.
On a $f(\ln\alpha)=\alpha-\ln\alpha=g(\alpha)=f(\alpha)$ donc $\beta=\ln\alpha$.
De plus, $g(e^{\alpha})=e^{\alpha}-\alpha=f(\alpha)=g(\alpha)$ donc $\gamma=e^{\alpha}$.
Ainsi, $\beta+\gamma=\ln\alpha+e^{\alpha}=2\alpha$ donc $A$ est le milieu de $[BC]$ !

etanche

@ Rescassol et cailloux d’après la réponse de gai requin $A$ est bien milieux de $[BC]$
@ Rescassol comment as-tu obtenu $0,0000009206$ ? 

gai requin

@etanche : C'est pas bien de modifier tous tes messages au gré des réponses des uns et des autres.
Quant à Rescassol, il a obtenu son résultat par approximations successives de fonctions transcendantes donc, quand j'ai vu son "presque", j'étais assez persuadé que $A$ était le milieu de $[BC]$.

Rescassol

Bonjour,

Mon résultat est l'approximation donnée par Géogébra, je n'ai rien calculé moi-même.
De même, Géogébra dit que $AB-y_A=0.00000000071849$.

Cordialement,
Rescassol

cailloux

Bonjour Rescassol,
Toi, je ne sais pas mais moi, je me suis fait clairement avoir par GeoGebra.

gebrane

Bonjour, Mais c'est quoi la question originale, je ne comprends pas la suite des messages !

cailloux

Bonjour,
etanche a modifié ses messages à tour de bras. Ce fil est devenu de ce fait incompréhensible.
Tu peux te référer au premier message (modifié 3 ou 4 fois) dans son état actuel à 13h28.

gebrane

Merci @cailloux , je viens de regarder la preuve de GR, il a conclut rapidement que $\beta=\ln(\alpha)$, normalement on doit démontrer à l'avance que cela est possible car $\beta<0$ et $\alpha \in ]0,1[$. Je me demande si le fait que $\alpha \in ]0,1[$ est une évidence ? De ma part je raisonne comme suit on a

$e^\alpha -\alpha  =\alpha- \ln(\alpha)$ avec $\alpha >0$ donc $\ln(\alpha)=2\alpha-e^\alpha $.
Pour conclure, il suffit de montrer que $e^x>2x ,\quad \forall x>0$.

Par exemple, on sait que $e^x\ge x+1,\quad \forall x\in \mathbb R$ donc  $e^{x-1}\ge x$, donc $e^x= e^{x-1}e\ge x.e > 2x $.

gai requin

@gebrane : D’après le TVI, l’équation $f(x)=f(\alpha)$ a au plus deux solutions et tout le monde sait que $\ln\alpha<\alpha$.

gebrane

Merci, Je suis passé d'un fait très simple  (corollaire du TVI pour les fonctions strictement monotones)

kolotoko

Bonjour,
j'ai utilisé wims pour justifier que A est le milieu de BC.
Wims sait calculer avec 5000 chiffres décimaux.
Bien cordialement.
kolotoko

gebrane

Il parait qu'il y a aussi égalité des aires entre B et A et A et C  !?

Edit. Je ne pense pas que ce soit égal, il n'y a aucune raison pour cela.

etanche

@ gebrane jolie observation pour l’égalité des aires.

Math Coss

Même sans Wims, @gai requin a écrit une démonstration... (Quel homme, ce gai requin !)

jean lismonde

Bonsoir
la démonstration algébrique de gai requin est bonne : il n'y a rien à redire
on peut encadrer $\alpha$ assez précisément : $0,52744... < \alpha < 0,52745...$ 
on en déduit $e^{\alpha} = 1,69459...$ et aussi $ln(\alpha) = - 0,63 972...$
et on peut vérifier numériquement la relation démontrée par gai requin
quant aux aires dont on peut conjecturer l'égalité 
la vérification numérique préjuge en effet l'égalité soit 0,129589... pour chacune
mais ce n'est pas une démonstration que l'on obtiendrait avec la méthode de gai requin 
notre ami Rescassol trouve une différence entre les distances BA et AC
en fait geogebra comme la calculatrice TI Premium donnent des résultats approximatifs
Cordialement.

etanche

@ gai requin désolé les modifications. Au vue de du dessin de Rescassol je pensais que l’énoncé n’était pas juste. 

gebrane

Etanche. Pour te faire pardonner,  donne nous une autre preuve  

biely

C’est plutôt Rescassol que devrait se faire pardonner avec son ’’presque’’ et qui a mis le doute.

Rescassol

Bonsoir,

Ce serait plutôt  à Géogébra de se faire pardonner  ...........

Cordialement,
Rescassol

gai requin

@gebrane : $0=\left[g^2(x)\right]_{\alpha}^{e^{\alpha}}=2\int_{\alpha}^{e^{\alpha}}g(x)g'(x)dx$.
Donc $\int_{\alpha}^{e^{\alpha}}g(x)dx=\int_{\alpha}^{e^{\alpha}}\frac{g(x)}xdx=\int_{\ln\alpha}^{\alpha}g(e^x)dx=\int_{\ln\alpha}^{\alpha}f(x)dx$.

gebrane

Je suis étonné  par ce résultat sur l'égalité des aires. Bravo GR.

etanche

@ gai requin très jolie cette preuve d’égalité des aires.

Est-ce que la symétrie axiale par rapport à la droite $x=\alpha$ échange courbe de $f$ et de $g$ ?

Ludwig

On peut s'en tirer avec GeoGebra mais c'est un peu laborieux. Il faut utiliser le calcul formel et la méthode de Newton.
Soit la fonction $h(x)=e^x + ln(x)-2x$. La commande Numérique(a, 30) essaie de déterminer 30 chiffres significatifs du nombre a.. On calcule d'abord $k(x)=x-h'(x)/h(x)$ puis on entre : Numérique(Itération(k(x), x, 1, 5), 30) (1 est la valeur initiale, 5 le nombre d'itérations, 30 le nombre de chiffres significatifs). Vu la vitesse de convergence de la méthode (quadratique), 5 itérations suffisent pour avoir 25 chiffres après la virgule corrects (les suivants sont faux). Ici 4 itérations ne donne pas une précision suffisante, et 6 fait planter le logiciel.
On répète la manip pour avoir les abscisses de $B$ et $C$, points qu'on place alors dans la fenêtre graphique à partir de leurs coordonnées déterminées par le calcul formel. On aura alors $AB=AC$ pour GGB. 

gai requin

@etanche : Tu as mal lu, ton intégrale ne peut pas être nulle.

kolotoko

Bonjour,

dans un repère orthonormé , on trace les graphes des fonctions  i(x) = x, j(x) =  e^x, k(x) = ln(x) .

Je note a, b, c les nombres  alpha, béta et gamma précédents.

Si on place les points de coordonnées D(b,b), B(a, b), E(b,a), A(a,a), G(c,a), C(a,c), F(c,c),

On peut justifier visuellement l'égalité des deux intégrales, il me semble, correspondant à l'isométrie des portions ACED et AFGB.

Bien cordialement.

kolotoko  

etanche

Montrer que  $\int_{\alpha}^{e^{\alpha}} g^2(x)  dx = \int_{\ln(\alpha)}^{\alpha} f^2(x)  dx $  où $f^2(x)=(e^x -x)^2, g^2(x)=(x-\ln(x))^2$

Quand est-il pour $\int_{\alpha}^{e^{\alpha}} g^k(x)  dx = \int_{\ln(\alpha)}^{\alpha} f^k(x)  dx $  où $f^k(x)=(e^x -x)^k, g^k(x)=(x-\ln(x))^k$ avec $k\geq 3 $entier

Merci.

jean lismonde

Bonsoir

Pour répondre à notre ami etanche il n'existe aucune symétrie
ni axiale ni ponctuelle des deux courbes C(f) et C(g) en effet
C(g) admet une asymptote verticale x = 0 alors que C(f) n'admet aucune asymptote verticale

on peut déterminer l'abscisse a du point A au milliardième, 
a étant la limite de la suite croissante $u_{n+1} = ln(2u_n - ln(u_n))$ avec $u_0 = 0,52744$
soit $a = 0,527447268$ et on en déduit l'ordonnée de A soit $b = e^a - a = 1,167153653...$

on peut trouver par calcul intégral I l'aire déterminée par C(f)
avec la droite horizontale passant par A entre les points B et A, on obtient
$I = \int_lna^a[b - e^x - x]dx = \frac{(e^a - a)(e^a + a - 2)}{2}$
on trouve numériquement 0,1295821775...u.a.

de même l'aire J déterminée par C(g) avec la même droite horizontale
entre les points A et C est trouvée par calcul intégral soit 
$J = \int_a^{e^a}[b - x + lnx]dx = \frac{(e^a - a)(e^a + a - 2)}{2}$

les deux aires I et J sont égales alors que les longueurs des arcs des courbes C(f) et C(g)
calculées respectivement entre B et A puis entre A et C sont distinctes
la première fait 1,2288189...u.l et la seconde 1,2319922...u.l.
ce qui confirme ce que l'on savait déjà, que les deux courbes n'admettent pas de symétrie axiale 

quant à la dernière égalité d'aires proposée par etanche elle mérite d'être démontrée algébriquement
numériquement elle est vérifiée avec 9 chiffres significatifs soit $1,30476828...$

Cordialement

Ludwig

La propriété initiale du fil se généralise : 


Lieu du milieu de $[AA']$ lorsque la droite en pointillés varie ?

etanche

@ Ludwig très jolie découverte. 

GaBuZoMeu

Voir ici : https://www.ilemaths.net/sujet-aires-egales-886318.html

Puisque les questions sont recyclées, recyclons les réponses :

On peut généraliser : soit $u : I\to J$ une bijection entre deux parties de $\mathbb R$, $u^{-1}$ la bijection réciproque. On définit $f: I\to \mathbb R$ par $f(x)=u(x)-x$ pour tout $x\in I$ et $g: J\to \mathbb R$ par $g(x)=x-u^{-1}(x)$ pour tout $x\in J$. On a bien sûr $f=g\circ u$.
Fixons $a\in I$. Supposons que $h$ est un réel tel que $a+h\in I$ et $f(a+h)=f(a)$. Alors $u(a)+h\in J$ et $g(u(a)+h)=g(u(a))$. En effet $u(a)+h=u(a+h)$ et donc $g(u(a)+h)=g(u(a+h))=f(a+h)=f(a)=g(u(a))$.

Et on peut ajouter, pour Ludwig, que $u(a+h)-(a+h)=u(a)-a=f(a)$.

etanche

@ GaBuZomeu merci pour le lien qui contient une généralisation $f(x)=u(x)-x,\ g(x)=x-u^{-1}(x)$
Comment démontre-t-on [que] les segments en bleus sur le schémas de Ludwig sont égaux ? Merci.

Ludwig

Si on note $a=x(A)$ et $a'=x(A')$ alors cette égalité résulte du fait que $x(B)=\ln(a)$ et $x(C)=e^{a'}$. Ci-dessous une figure avec un autre carré obtenu par la construction de tangentes. $S$ et $S'$ sont les sommets des courbes.

ybreney

Bonjour à tous,
merci à l'initiateur de ce fil pour l'idée d'exercice.
J'en ai rédigé une version pour mes élèves de Terminale, je la partage ici pour celles et ceux qui sont intéressés.
J'ai glissé quelques coups de pouce au passage.
Cordialement.
Y.

Dans cet exercice, on considère les fonctions $f: x\mapsto e^x-x$ et $g: x\mapsto x-\ln(x)$.
On note $\C_f$ et $\C_g$ leurs courbes représentatives respectives dans un même repère orthogonal du plan.

1.     Montrer que les courbes $\C_f$ et $\C_g$ l ont un unique point d'intersection, que l'on nommera $A$ dans la suite de l'exercice. 
   Indication.-- On pourra s'aider de l'inégalité de convexité classique suivante: pour tout réel $x$, $\,e^x\geqslant x+1$, avec égalité si et seulement si $x=0$.
2. On note $a$ l'abscisse du point $A$.
   Justifier que le réel $a$ appartient à l'intervalle $]0;1[$.
3. On nomme $\mathcal{D}$ la droite parallèle à l'axe des abscisses qui passe par le point $A$.
   Prouver que la droite $\mathcal{D}$ coupe la courbe $\C_f$ en un point $B$ et coupe la courbe $\C_g$ en un point $C$, ces deux points étant distincts de $A$.
   Indication.-- On pourra s'aider de l'inégalité de convexité classique suivante: pour tout réel strictement positif $x$, $\,\ln(x)\leqslant x-1$, avec égalité si et seulement si $x=1$.
4. Justifier que le point $A$ est le milieu du segment $[BC]$.
   Indication.-- On pourra s'intéresser aux réels $f(\ln(a))$ et $g(e^a)$.

etanche

@ ybreney merci pour le partage. Tu peux ajouter les intégrales de jean lismonde voir son post ci-dessus. La généralisation de Ludwig l’égalité des segments bleus.