Intégrale à paramètre

Bethebesteveryday
Modifié (March 2023) dans Analyse

Bonjour tout le monde , svp comment puis-je trouver la constante de la primitive dans la 2ème question ?
Merci d’avance.

Réponses

  • NicoLeProf
    Modifié (March 2023)
    Bonjour à toi,
    après avoir utilisé le théorème de dérivabilité sous le signe intégral pour justifier du caractère $C^1$ de $I$, on a : $I'(x)=\displaystyle \int_{0}^{+\infty} (\cos(t)-e^{-t})e^{-xt} \, \mathrm{d}t=\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \cos(t) e^{-xt}\, \mathrm{d}t-\displaystyle \int_{0}^{+\infty} e^{-(x+1)t} \, \mathrm{d}t$. Ce qui se calcule en écrivant : $\cos(t)=Re(e^{it})$ pour le premier terme et on connaît bien une primitive de $t \longmapsto e^{-(x+1)t} $ sur $[0;+\infty[$ pour le second terme.
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • Pour trouver cette constante, tu peux étudier $I(x)$ quand $x$ tends vers $+\infty$.
  • Bethebesteveryday
    Modifié (March 2023)
    NicoLeProf
    Merci bien , j’ai fait les calculs nécessaires et j’ai trouver une primitive ça reste qu’à déterminer la constante C c’est là où je bloque ..
    [Inutile de recopier l’avant dernier message. Un lien suffit. AD]
  • Bethebesteveryday
    Modifié (March 2023)
    JLapin
    Oui j’ai remarqué que c’est 0 mais après ?
    [Inutile de recopier l’avant dernier message. Un lien suffit. AD]
  • Bethebesteveryday
    Modifié (March 2023)
    NicoLeProf
    Merci bien , j’ai fait les calculs nécessaires et j’ai trouver une primitive ( je me suis contenté d’une double IPP pour trouver le résultat. mais sinon comment manipuler dans votre méthode le premier terme ? c’est intriguant comme méthode ! )
    Par ailleurs ça reste qu’à déterminer la constante C c’est là où je bloque .. 
  • Montre où tu en es...
  • NicoLeProf
    Modifié (March 2023)
    Bethebesteveryday a dit :
    mais sinon comment manipuler dans votre méthode le premier terme ? c’est intriguant comme méthode ! )
    Oui je suis d'accord avec JLapin, montre nous ce que tu as trouvé et regarde la limite de $I(x)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ ! :) 
    Pour ma méthode, je remplace $\cos(t)$ par $Re(e^{it})$ donc $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \cos(t) e^{-xt}\, \mathrm{d}t=\displaystyle \int_{0}^{+\infty} Re(e^{it})e^{-xt}\, \mathrm{d}t=\displaystyle \int_{0}^{+\infty} Re(e^{(i-x)t}) \, \mathrm{d}t$ (en effet, $e^{-xt}$ est réel donc je peux le "rentrer" dans la partie réelle).
    Ensuite, $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \cos(t) e^{-xt}\, \mathrm{d}t=Re(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} e^{(i-x)t} \, \mathrm{d}t)$ (l'intégrale de la partie réelle est la partie réelle de l'intégrale).
    Donc $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \cos(t) e^{-xt}\, \mathrm{d}t=Re(\left [\dfrac{e^{(i-x)t}}{i-x} \right ]_{0}^{+\infty})=\left [Re(\dfrac{e^{(i-x)t}}{i-x}) \right ]_{0}^{+\infty}$ puis je conclus en multipliant par le conjugué du dénominateur et en sortant tout ce qui est réel de la partie réelle . 
    Cela demande une certaine dextérité oui, au final, ta double IPP est peut-être plus simple ! ^^' :D
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • Bethebesteveryday
    Modifié (March 2023)
    NicoLeProf
    Merci bcp ! 
    Oui ça reste facile 
    [Inutile de reproduire le message précédent. AD]
  • Bethebesteveryday
    Modifié (March 2023)
    JLapin a dit. Montre où tu en es...

  • Passe à la limite en $+\infty$.
  • Bethebesteveryday
    Modifié (March 2023)
    JLapin
    C’est 0 donc C=0 ?
  • Pourquoi ce point d'interrogation ? Tu as un doute sur quoi en fait ?
  • Bethebesteveryday
    Modifié (March 2023)
    JLapin
    Normalement c’est 0 mais je sais pas prq [pourquoi ?] ce n’était pas suffisant pour moi ..
    [Inutile de reproduire le message précédent. AD]
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