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Partie IV agrégation interne 2023

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Réponses

  • Modifié (March 2023)
    @O'Shine Ah, j'ai voulu devancer pour faire avancer les choses, montrer que l'injectivité suffit pour montrer la bijectivité vu les cardinaux des groupes, je t'ai embrouillé.
    Bien vu, pour montrer que $\pi_n(x)=0 \Leftrightarrow p^n \mid x$ dans $\Z_p$ $ \Leftrightarrow v_p(x) \geq n$.
    Ensuite on peut utiliser Q58 et la phrase en italique qui suit, i.e. $l_p$ avec $e_p (x) - 1 \in p^n \Z_p \Rightarrow l_p(e_p (x))=x \in l_p(1 + p^n \Z_p) \Rightarrow x= ... \Rightarrow \pi_n(x)= ... $.
  • Modifié (March 2023)
    @OShine On a $pa=\ell_p(e_p(pa))$ (les arguments sont dans des ensembles convenables) et $v_p(e_p(pa)-1)\geq n$ donc $v_p(\ell_p(pa))> n$ et on a bien $\overline{pa}=\bar0$ dans le groupe additif, ce qui montre que $E_p$ est injectif.
  • Modifié (March 2023)
    @rakam
    Je n'ai pas compris la méthode avec $l_p$.
    Je ne comprends pas d'où sort le $v_p ( l_p(pa)) >n$ ni le rapport avec $\overline{pa}=\bar {0}$.
  • Modifié (March 2023)
    Julia Paule a dit : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2417469/#Comment_2417469
    [Inutile de recopier l’antépénultième message. Un lien suffit. AD]
    Je ne comprends rien à la méthode avec $l_p$.
  • Modifié (March 2023)
    @O'Shine, $l_p$ est la fonction réciproque de $e_p$ dans $\Z_p$. On est en train de vouloir démontrer dans  $\Z_p$ l'équivalent de : $\exp(x)=1 \Rightarrow x=\ln( \exp(x))=\ln 1 = 0$.
    Je ne vois pas d'où @rakam tire son $v_p(l_p(pa)) > n$, ce n'est pas défini sauf erreur ? et il faut montrer $v_p(x) \geq n$.
    On a $x \in l_p(1 + p^n \Z_p) \Rightarrow x=l_p (1+p^n u),  u \in \Z_p =\Sigma_{k \geq 1 } (-1) ^{k+1} \dfrac {(p^n u)^k}{k} = p^n y, y \in \Z_p \Rightarrow \pi_n(x)=0$. (après avoir vérifié que $|p^n u|_p < 1$ Q58).
  • Modifié (March 2023)
    OShine a dit :
    Donc $\boxed{X \in \ker E_p \iff v_p \left( \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} \dfrac{ a^k p^k}{k!} \right) \geq n}$.
    Je ne vois pas du tout le rapport avec $l_p$ et Q58 ...
    Pourquoi tu ne continues pas ton raisonnement, pourquoi vouloir utiliser $l_p?$ Tu avais presque fini.
    Tu cherches une information sur $x=p a $  c'est-à-dire une information sur $a.$  Soit  $j$ sa valuation, c'est-à-dire qu' on pose $a= p ^j b$  avec   $b$ inversible dans $Z_p.$  Soit $c$ l'inverse de $b.$  On a donc  $a c= p ^j.$   
    $v_p \Big( \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} \dfrac{ a^k p^k}{k!}\Big) \geq n\ $  signifie $\ \pi_n\Big(\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} \dfrac{ a^k p^k}{k!}\Big) =0$
    Il suffit de multiplier chaque membre de cette dernière égalité par  $\pi_n(c) $  (et utiliser la formule $\pi_n(c)\pi_n(d)=\pi_n(cd) $ ... pourquoi je donne cette indication ?)   et en tirer une minoration de $j$ et conclure.
    Évidemment, il y a le risque que tu ne comprennes pas  puisque tu n'as pas fait la minoration de  $v_p(\dfrac{ a^k p^k}{k!}) $  comme je l'avais demandé et que volontairement je te laisse une ligne à écrire pour que tu bosses un peu.
     
  • Modifié (March 2023)
    [Inutile de recopier l’avant dernier message. AD]
    Je ne comprends pas à partir de $=\Sigma_{k \geq 1 } (-1) ^{k+1} \dfrac {(p^n u)^k}{k} = p^n y$. Pourquoi $y \in \Z_p$ et qui est $y$ ?
    On ne peut pas sortir le $p^n$ il y a du $p^{kn}$.
  • $p^{kn}=p^n p^{(k-1)n}$ avec $k \geq 1$, il ne reste plus qu'à montrer que la série obtenue converge dans $\Z_p$.
  • Modifié (March 2023)
    @Julia Paule
    Je réfléchis.
    Sans utiliser lp...


  • Modifié (March 2023)
    @O'Shine, c'est $x=pa$, mais bon j'ai interprété. Pour montrer que $\Sigma_{k=0}^{+\infty} \dfrac {(pa)^k}{(k+2) !} \in \Z_p$, il faut montrer que ça converge dans $\Z_p$ (ce n'est pas parce que tous les termes de la série ont une p-valuation $\geq 0$ que ça converge, prends la série de terme général $1$, elle diverge, pourquoi ?), et là on peut utiliser 54 (en utilisant que $a \in \N$).
    Pour alléger l'écriture, on peut rester avec $x$ pendant le calcul en se rappelant quand c'est nécessaire que $x \in p \N$.
    Finalement, c'est plus simple qu'avec $l_p$.
    Ok pour la conclusion.
  • Modifié (March 2023)
    @Julia Paule
    $S(a)=\sum_j p^j \dfrac{a^j}{(j+2)!}$ avec $f_j(a)=a^j$ qui est bien une fonction de $\Z$ dans $\Z$.
    Je ne vois pas comment utiliser Q54 car on a pas du $j!$ au dénominateur mais du $(j+2)!$ ...
    Pour l'autre méthode $\displaystyle\sum_{k \geq 1} (-1)^{k+1} \dfrac{p^{kn} u^k}{k}=p^n \displaystyle\sum_{k \geq 1} (-1)^{k+1} \dfrac{p^{(k-1)n} u^k}{k}$
    Posons $\boxed{y=\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} (-1)^{k+1} \dfrac{p^{(k-1)n} u^k}{k}}$
    Comment montrer que $y \in \Z_p$ ?
  • Modifié (March 2023)
    @O'Shine En effet, ça va pas marcher avec Q54. Dans ce cas, on peut toujours utiliser Q48 (une série converge dans $\Q_p$ ssi son terme général tend vers $0$), puis si c'est une série de termes appartenant à $\Z_p$, comme $\Z_p$ est complet (en italiques après Q47), alors comme la suite de ses sommes partielles est convergente, c'est une suite de Cauchy d'éléments de $\Z_p$ donc convergente dans $\Z_p$.
  • Modifié (March 2023)
    [*** Modéré. AD]
     
  • Modifié (March 2023)
    [*** Modéré. AD]
  • ADAD
    Modifié (March 2023)
    STOP
    Prière de ne pas ré-activer le désaccord qui vous a opposé ci-dessus.
    Je modère vos propos et je ferme cette discussion.
    AD
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