Anneaux et corps

Uiza

Bonjour s'il vous plaît comment résoudre ces deux questions

1)Montrer que l'ensemble des éléments inversibles d'un anneau peut être muni d'une structure de groupe ?

2)Avec quel groupe d'ordre 4 les groupes suivants sont-ils isomorphes? 

a- (Z/5Z)* , b- (Z/8Z)*

gerard0

Bonjour.

Pour la 1, de quelles opérations disposes-tu ? Laquelle est la bonne (tu sais justifier qu'un ensemble muni d'une opération est un groupe).

Cordialement.

nicolas.patrois

2)a) Écris les opérations à la main, tu verras bien qui ressemble à quoi. Tu as les tables de 4 groupes à écrire.

stfj

1) Prendre un exemple tel que l'anneau $(\Z/6\Z,+,\times)$. Quelles sont ses unités ?... Puis, une fois compris cet exemple, tenter de généraliser. On procède toujours ainsi. Toujours du particulier au général. C'est la leçon paradoxale (en apparence seulement) que donnent de nombreux Bourbakis

JLapin

Je prendrais plutôt l'anneau $(\R,+,\times)$ pour un premier exemple d'étude de la structure de l'ensemble des éléments inversibles : on retombe vite sur un groupe de référence.

Area 51

$(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})^{\times} \simeq \mu_4$ alors que $(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})^{\times} \simeq \text{Klein}$.

stfj

2) On envisage d'après la question 1) $(\Z/5\Z^*,\times)=(\{\bar1,\bar2,\bar3,\bar4\},\times)$ et on suit les conseils de @nicolas.patrois

marc0075

Uiza a dit :

Bonjour s'il vous plaît comment résoudre ces deux questions

1)Montrer que l'ensemble des éléments inversibles d'un anneau peut être muni d'une structure de groupe ?

2)Avec quel groupe d'ordre 4 les groupes suivants sont-ils isomorphes? 

a- (Z/5Z)* , b- (Z/8Z)*

La réponse est dans la question   un groupe d'ordre 4 est de cardinal 4 comme (Z/5Z)* et non  (Z/8Z)* lequel a 7 éléments

Math Coss

Tu penses que $(\Z/8\Z)^\times$ est formé des classes des éléments de $1$ à $7$ ? et qu'en particulier, $4$ est premier avec $8$ ? ou que la classe de $4$ est un générateur de $\Z/8\Z$ ?

Area 51

Un de mes softwares a décidé de te contrarier (en exhibant les valeurs de "Euler's totient function").