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Anneaux et corps

Modifié (March 2023) dans Algèbre
Bonjour s'il vous plaît comment résoudre ces deux questions
1)Montrer que l'ensemble des éléments inversibles d'un anneau peut être muni d'une structure de groupe ?
2)Avec quel groupe d'ordre 4 les groupes suivants sont-ils isomorphes? 
a- (Z/5Z)* , b- (Z/8Z)*

Réponses

  • Bonjour.

    Pour la 1, de quelles opérations disposes-tu ? Laquelle est la bonne (tu sais justifier qu'un ensemble muni d'une opération est un groupe).

    Cordialement.
  • 2)a) Écris les opérations à la main, tu verras bien qui ressemble à quoi. Tu as les tables de 4 groupes à écrire.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Modifié (March 2023)
    1) Prendre un exemple tel que l'anneau $(\Z/6\Z,+,\times)$. Quelles sont ses unités ?... Puis, une fois compris cet exemple, tenter de généraliser. On procède toujours ainsi. Toujours du particulier au général. C'est la leçon paradoxale (en apparence seulement) que donnent de nombreux Bourbakis :)
  • Je prendrais plutôt l'anneau $(\R,+,\times)$ pour un premier exemple d'étude de la structure de l'ensemble des éléments inversibles : on retombe vite sur un groupe de référence.
  • $(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})^{\times} \simeq \mu_4$ alors que $(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})^{\times} \simeq \text{Klein}$.


  • 2) On envisage d'après la question 1) $(\Z/5\Z^*,\times)=(\{\bar1,\bar2,\bar3,\bar4\},\times)$ et on suit les conseils de @nicolas.patrois
  • Uiza a dit :
    Bonjour s'il vous plaît comment résoudre ces deux questions
    1)Montrer que l'ensemble des éléments inversibles d'un anneau peut être muni d'une structure de groupe ?
    2)Avec quel groupe d'ordre 4 les groupes suivants sont-ils isomorphes? 
    a- (Z/5Z)* , b- (Z/8Z)*

    La réponse est dans la question   un groupe d'ordre 4 est de cardinal 4 comme (Z/5Z)* et non  (Z/8Z)* lequel a 7 éléments
  • Tu penses que $(\Z/8\Z)^\times$ est formé des classes des éléments de $1$ à $7$ ? et qu'en particulier, $4$ est premier avec $8$ ? ou que la classe de $4$ est un générateur de $\Z/8\Z$ ?
  • Un de mes softwares a décidé de te contrarier (en exhibant les valeurs de "Euler's totient function").

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