Triangle : une médiane, deux centres de gravité

gipsyc
Modifié (March 2023) dans Géométrie
Bonjour
Ci-dessous une propriété que j'ignorais.
Données : 
• ΔABC, cercle circonscrit c₁︎ 
• A-médiane, centre de gravité G (centroïde)
• Cercle BGC c₂︎ 
• Deuxième intersection de la A-médiane
      avec le cercle circonscrit c₁︎ = point A'
      avec le cercle BGC c₂︎ = point X

Propriété
• A' est le centre de gravité du ΔXBC
Une explication synthétique ?
Cordialement,
Jean-Pol Coulon 

Réponses

  • Bonne nuit,

    Avec Morley circonscrit:
    % Gipsyc - 08 Mars 2023 - Triangle : une médiane, deux centres de gravité
    
    % Données : 
    % • ABC, cercle circonscrit
    % • A-médiane, centre de gravité G (centroïde)
    % • Cercle BGC
    % • Deuxième intersection de la A-médiane
    %       avec le cercle circonscrit = point A'
    %       avec le cercle BGC = point X
    
    % Propriété
    % A' est le centre de gravité du XBC
    
    %-----------------------------------------------------------------------
    
    clc, clear all, close all
    
    syms a b c
    
    aB=1/a; bB=1/b; cB=1/c;
    
    %-----------------------------------------------------------------------
    
    g=(a+b+c)/3; gB=(aB+bB+cB)/3; % Centre de gravité G du triangle ABC
    
    [pag qag rag]=DroiteDeuxPoints(a,g,aB,gB); % Droite (AG)
    
    syms ap % Point A'
    
    Nulap=Factor(pag*ap+qag/ap+rag)
    
    % On trouve:
    ap=b*c*(b+c-2*a)/(2*b*c-a*(b+c));
    apB=bB*cB*(bB+cB-2*aB)/(2*bB*cB-aB*(bB+cB));
    
    [o oB R2]=CercleTroisPoints(g,b,c,gB,bB,cB); % Cercle GBC
    
    syms x % Point X
    xB=-(pag*x+rag)/qag;
    
    Nulx=numden(Factor((x-o)*(xB-oB)-R2))
    % On trouve:
    x=(b*c*(b+c)+a*(b^2+c^2)-4*a*b*c)/(2*b*c-a*(b+c));
    
    Nul=factor(b+c+x-3*ap) % Égal à 0, donc c'est gagné
    Cordialement,
    Rescassol

  • gipsyc
    Modifié (March 2023)
    Bonjour Rescassol
    Merci pour cette démonstration.
    Ce cercle me rappelle un peu le cercle de Mention associé au centre du cercle inscrit, ainsi que le cercle de Carnot associé à l'orthocentre, tous deux avec des propriétés de même ordre.
    Une démonstration algébrique :

    Théorème des cordes sécantes (partagées par plusieurs cercles ici)
    Soit Ma = D
    ⇒ 
    GD‧DX = BD‧DC = AD‧DU = GD‧3‧DU
    ⇒ 
    DX = 3DU
    ⇒ 
    U = centre de gravité du △XBC

    Bien cordialement,
    Jean-Pol Coulon 
  • gipsyc
    Modifié (March 2023)
    La propriété est donc générale pour tout point P à l'intérieur du triangle.
  • Bonjour Jean-Pol,
    C'est même valable pour tout point du plan, à condition de considérer la droite $(BC)$ !
    On a toujours les égalités $DP.DA' = DB.DC = DA.DP'$, d'où l'on tire $DA'/DA = DP'/DP = (DA'-DP')/(DA-DP) = A'P'/AP$.
    Amicalement, JLB.


  • Bonjour à tous
    Cela résulte de:
    $$\overline{DP}.\overline{DA'}=\overline{DA}.\overline{DP'}=\overline{DB}.\overline{DC}$$
    Amicalement
    pappus



  • gipsyc
    Modifié (March 2023)
    Merci pour vos réponse.

    Problème simple ...
    juste le théorème des cordes sécantes « à cheval » sur deux cercles sécants.

    Je pensais voir surgir des considérations de géométrie projective, vu que le problème est réciproque, quelque soit le triangle ABC ou A'BC considéré au départ. 😉

    Une question subsidiaire : est-ce que la qualité du point central est préservée pour les autres points centraux que le centre de gravité dans les deux triangles ?
    Autrement dit, par exemple, un point de Lemoine donnera-t-il un point de Lemoine dans l'autre triangle ?

    En première approche, pour l'incentre, non. Mais peut-être que oui pour certains d'entre eux.

    Autre question : que deviennent les points isogonaux conjugués dans cette construction ? Les birapports ?

    Cordialement.
  • jelobreuil
    Modifié (March 2023)
    Jean-Pol, je viens de le voir, c'est oui pour l'orthocentre, non pour le centre du cercle des neuf points ... Quant au centre du cercle circonscrit, ce n'est pas la peine de faire la figure : il est bien évident que le point P' obtenu ne peut pas se trouver sur la médiatrice de BC si P s'y trouve (sauf si ABC est A-isocèle) !
    Je pense que les cas de H et de G restent des cas particuliers où des considérations de symétrie interviennent : d'ailleurs, pour l'orthocentre, l'ensemble de la figure admet la droite BC comme axe de symétrie ...
    Bien cordialement, JLB
  • gipsyc
    Modifié (March 2023)
    Bonjour Jelobreuil
    Merci pour ces recherches.
    Je me suis amusé à construire quelques configurations reprenant la propriété décrite ici, selon que la A-cévienne soit interne ou externe et selon que le point P soit intérieur ou extérieur au triangle de référence.

    À noter la similitude des 2 derniers schémas.
    Belle fin de soirée,
    Jean-Pol Coulon 
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.