Agrégation interne sujet 1 partie III
Bonsoir
Je continue, étant donné que ça me semble moins dur que ce qui précède.
49) Je trouve
$\boxed{A=\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 \cdots & 0 \\
0 & 0 & 1 &0 \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \cdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \\
a_0 & a_1 & a_2 & \cdots & a_{d-1}
\end{pmatrix} \ \text{et} \ X=\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
\vdots \\
0
\end{pmatrix}}$
$A^T$ est une matrice compagnon. On a $A^T=C(P)$ où $P=X^d-a_{d-1} X - \cdots -a_0$.
50) On développe par rapport à la première colonne et on obtient : $\det(A^T)= \det(A)=(-1)^{d+1} a_0 \ne 0$ car $a_0 \ne 0$.
Ainsi, $A$ est inversible.
51) On considère les décompositions en facteurs premiers de $a_0, \cdots , a_{d-1}$ et on prend le plus grand diviseur premier de tous les $a_i , i \in [|0,d-1|]$ que l'on note $q$. Soit $p$ le nombre premier qui suite $q$, ce qui est possible car l'ensemble des nombres premiers est infini, alors $p$ convient.
En effet, $p$ ne divise aucun $a_i , i \in [|0,d-1|]$.
52) Je ne vois pas le lien avec ce qui précède.
Je continue, étant donné que ça me semble moins dur que ce qui précède.
49) Je trouve
$\boxed{A=\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 \cdots & 0 \\
0 & 0 & 1 &0 \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \cdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \\
a_0 & a_1 & a_2 & \cdots & a_{d-1}
\end{pmatrix} \ \text{et} \ X=\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
\vdots \\
0
\end{pmatrix}}$
$A^T$ est une matrice compagnon. On a $A^T=C(P)$ où $P=X^d-a_{d-1} X - \cdots -a_0$.
50) On développe par rapport à la première colonne et on obtient : $\det(A^T)= \det(A)=(-1)^{d+1} a_0 \ne 0$ car $a_0 \ne 0$.
Ainsi, $A$ est inversible.
51) On considère les décompositions en facteurs premiers de $a_0, \cdots , a_{d-1}$ et on prend le plus grand diviseur premier de tous les $a_i , i \in [|0,d-1|]$ que l'on note $q$. Soit $p$ le nombre premier qui suite $q$, ce qui est possible car l'ensemble des nombres premiers est infini, alors $p$ convient.
En effet, $p$ ne divise aucun $a_i , i \in [|0,d-1|]$.
52) Je ne vois pas le lien avec ce qui précède.
Réponses
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Quand tu dis que tu bloques, c'est vraiment que tu as cherché et que tu ne sais pas comment faire pour montrer qu'un produit de facteurs est nul ?Par ailleurs, je pense que tu peux revoir la définition du produit matriciel.Bref , c'est un démarrage spectaculaire !
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Ah ouf ! J'ai trouvé cette matrice en effet, je me suis demandé si j'étais à côté de la plaque, bref !
Je ne comprends pas cette phrase, qui nous dit qu'un tel $q$ existe? Qui nous dit que tous les $a_i$ ont un diviseur premier commun? Ou alors quelque chose m'échappe?OShine a dit :"on prend le plus grand diviseur premier de tous les $a_i , i \in [|0,d-1|]$ que l'on note $q$"Ah tu veux peut-être dire que $q$ est le max : le plus grand des diviseurs premiers parmi tous les diviseurs premiers des $a_i$ que l'on réunit ?Lorsque notre cher Gebrane, le 😄 farceur, intervient dans une question d'algèbre, c'est une véritable joie pour les lecteurs. -
Il suffit de prendre p tel que $a_0 \neq 0 \pmod p.$
-
Je bloque sur la 52. Je ne vois pas le rapport avec ce qui précède.
-
Essaie de montrer que tu peux trouver $k$ tel que $\overline{A}^k=I_d$.
-
Pour 52, j'ai peut-être une idée (un début) : j'ai très envie de choisir $k=p-1$ puis de montrer que $\det((\overline{A})^{p-1}))=1$ en utilisant la question précédente et le petit théorème de Fermat.Donc $\overline{A}$ est dans le groupe spécial linéaire $SL_d(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ qui est engendré par les transvections.Après, cela doit être faisable de trouver une matrice $B$ qui convient avec la formule du binôme de Newton...Je ne sais pas du tout si ce sont des bonnes idées ou pas lolLorsque notre cher Gebrane, le 😄 farceur, intervient dans une question d'algèbre, c'est une véritable joie pour les lecteurs.
-
@NicoLeProf
Tu es sûr la bonne voie. Tu peux chercher autour de la notion d'ordre d'un élément dans un groupe fini. -
Merci je pense avoir une piste maintenant.kalimoulox a dit :Essaie de montrer que tu peux trouver $k$ tel que $\overline{A}^k=I_d$. -
@bd2017
Tu n'as pas montré que $p$ est impair dans la 51.
Si $a_0=1$, on peut prendre $p=3$ qui est impair.
Si $a_0=2$, alors $p=3$ convient.
Si $a_0 \geq 3$, $a_0$ admet une décomposition en facteurs premiers. Il suffit de choisir $p$ de sorte que $p$ est premier et strictement supérieur au plus grand facteur premier de $a_0$.
52) Comme $\Z / p \Z$ est un corps ($p$ est premier), on peut utiliser la question $4$.
On sait que $GL_d(\Z/ p \Z)$ est fini est $\# GL_d(\Z/ p \Z) = (p^d-1)(p^d-p) \cdots (p^d-p^{d-1}) \in \N^{*}$.
Si $p=1$, alors $\# GL_d(\Z/ p \Z) =p-1 \ne 0$ car $p$ est impair.
On pose donc $\boxed{k= (p^d-1)(p^d-p) \cdots (p^d-p^{d-1})}$.
D'après le théorème de Lagrange, $\boxed{\bar{A}^{k} =\bar{ I_d }}$
Ainsi, $\forall (i,j) \in [|1,d|]^2 ,\ \exists b_{ij} \in \Z ,\ [A^k]_{ij} -[I_d]_{ij} = p b_{ij}$.
On en déduit que $\forall (i,j) \in [|1,d|]^2 b_{ij} \in \Z$.
Ainsi, $\boxed{B \in \mathcal M_d(\Z)}$.
On a montré : $\boxed{\exists k= \in \N^{*}, \ \exists B \in \mathcal M_d(\Z) ,\ A^k=I_d+pB}$.
-
Je bloque sur la question 53.
-
Tu bloques sur toutes les questions du coup ?
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Cette question me semble plus dure que les 4 précédentes.
Déjà on ne connaît pas qui est la suite de fonction ça me perturbe. -
JLapin a dit :@NicoLeProf
Tu es sûr la bonne voie. Tu peux chercher autour de la notion d'ordre d'un élément dans un groupe fini.Merci de m'encourager JLapin comme tu le fais toujours ! Je pense qu'OShine a donné la réponse attendue. En effet, il fallait trouver le cardinal de $GL_d(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ ou $SL_d(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ : ce qui me semblait délicat.Mais oui, en remontant au début du sujet, on a ce que l'on cherche et on applique le théorème de Lagrange.Le cardinal de $SL_d(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ me paraît plus costaud à déterminer par contre, ne serait-ce par dénombrement ou en essayant d'appliquer un théorème d'isomorphisme peut-être?J'y réfléchirai quand j'aurai un peu de temps ! ^^'
Lorsque notre cher Gebrane, le 😄 farceur, intervient dans une question d'algèbre, c'est une véritable joie pour les lecteurs. -
On n'a pas besoin de la connaissance explicite de l'ordre du groupe ici !
-
Ah oui, juste montrer que $GL_d(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ est de cardinal fini.Après vu le sujet, on a envie d'utiliser une question précédente (d'un exo préliminaire) je dirais.JLapin, J'ai peut-être une idée pour déduire le cardinal de $SL_d(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ . Je prends le morphisme de groupes $\varphi : GL_d(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}) \rightarrow (\mathbb{Z}/p \mathbb{Z})^*$ qui à une matrice de $GL_d(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ associe son déterminant.Le noyau de ce morphisme est $SL_d(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$, son image est $(\mathbb{Z}/p \mathbb{Z})^*$ (c'est un morphisme surjectif) donc en quotientant on trouve que le cardinal de $SL_d(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ est $\dfrac{Card(GL_d(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}))}{p-1}$ .Lorsque notre cher Gebrane, le 😄 farceur, intervient dans une question d'algèbre, c'est une véritable joie pour les lecteurs.
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Pour la 53 , quelle est la suite en fait : il y a un "pour tout $j$" et un "pour tout $n$" ?J'ai l'impression que l'indice pour la suite est $j$ et non $n$ ce qui enlève tout sens au "pour tout $j$" .
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@rakam, pour les 2, $j$ et $n$ cela n'a pas de sens, c'est comme si on écrivait : pour tout $k$, la suite $(u_k)_{k \geq 0}$ appartient à $\Z_p$.En fait il faut le prendre : pour tous $j$ et $n$, les termes de la suite ... appartiennent à $\Z_p$.
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@Rakam on en a déjà discuté. Il faut simplement lire montrer que: $\forall \, i,j \in \N,\, \dfrac{p^j f_j(n)}{j!}\in Z_p. $Par contre dans 54. la phrase en italique est fausse. Il manque une hypothèse sur les fonction $f_j.$ Pour l'exercice les $f_j$ c'est pas n'importe quoi mais des polynômes.
-
Soient $i,j \in \N$.
Posons $\forall n \in \N \ a_n = \dfrac{p^j f_j(n)}{j!}$. Montrons que $0 \leq a_n \leq p^{n+1}-1$ puis que $a_{n+1} \equiv a_n [p^{n+1}]$.
Je bloque on ne connaît pas $f_j$. Je n'arrive même pas à montrer que $a_n \geq 0$.
-
Vouloir démontrer que $a_n \geq 0$ c'est fort. Par moment, je me demande si tu le fais exprès.
-
C'est $\dfrac{p^j f_j(n)}{j!}\in \Z_p$ qu'il faut montrer.
-
53) On a $\dfrac{p^j f_j(n)}{j!} \in \Q$ et comme on identifie $\Q$ à $\Theta(\Q) \subset \Q_p$ alors $\boxed{\dfrac{p^j f_j(n)}{j!} \in \Q_p}$.
Or $v_p( \dfrac{p^j f_j(n)}{j!} ) = v_p(p^j)+v_p( f_j(n)) -v_p(j!) \geq j + 0 -v_p(j!)$.
D'après Q16, $v_p(j!) \leq \dfrac{j}{p-1}$ donc $-v_p(j) \geq - \dfrac{j}{p-1}$.
Ainsi, $v_p( \dfrac{p^j f_j(n)}{j!} ) \geq j (1- \dfrac{1}{p-1} ) \geq 0$.
D'après Q43, $\boxed{\forall (i,j) \in \N^2 \ \dfrac{p^j f_j(n)}{j!} \in \Z_p}$.
-
54) Posons $S_N(n)=\displaystyle\sum_{j=0}^N p^j \dfrac{f_j(n)}{j!}$ et on va utiliser Q48.
Montrons que $\lim\limits_{j \rightarrow +\infty} | \dfrac{f_j(n)}{j!}| _p=0$.
La majoration obtenue à Q53 donne : $| \dfrac{f_j(n)}{j!}| _p \leq \dfrac{1}{ p^{j (1-\frac{1}{p-1})}} \longrightarrow 0$ lorsque $j$ tend vers plus l'infini.
Je bloque pour la convergence dans $\Z_p$.
-
Je ne vois pas l'erreur.
-
Seule Q50 a été corrigée.Voici la collection.----Q51. Cela ne veut rien dire. "Décomposition en produit de facteur premier ... blablabla." Seul $a_0$ est supposé non nul.. Alors c'est quoi tout le baratin . La décomposition en produit de facteurs premiers de nombres nuls? . C'est du raisonnement?----Q52 P est premier: si $p=1$ alors blabla $ p-1\neq 0 $ car p est impair... Le gars il est prof. Faut tout de même pas déconner.---Ensuite @bd tu n'a pas montré que "p est impair" .---Je n'arrive pas montrer que $a_n\geq 0?$ Sortir cela arrivé à Q54, après avoir planché sur le sujet depuis presque 1 mois..---$\dfrac{f_j(n)}{n!}$ tend vers 0 Et bien non ça ne tend pas vers 0.Sans parler de---cette partie me semble plus facile, suivi de je bloque à Q48,Q49 Q 50 , Q51, Q 52 ... Je bloque sur tout.;
Et quand on lui donne une solution, "Nous sommes des gros nuls qui ne justifient jamais rien."
Par moment il faut arrêter. Si on est lu .... il faut tout de même stopper le délire. -
Comme je l'ai déjà dit, OS a pour lui le mérite de la persévérance, et parait n'avoir aucun amour-propre (remuer 7 fois la langue dans sa bouche avant de ..., il ne connait pas), donc il sort par moment des énormités, par manque d'inattention ou par précipitation probablement. Mais il me semble, vu ses démonstrations, que la compréhension y est.Ceci dit, je n'ai pas lu les réponses de Q49 à Q52, seulement Q53 et Q54.
-
Moi non plus, seul @bd2017 me trouve des erreurs imaginaires.Julia Paule a dit :Je ne vois pas l'erreur.
$\det A$ ne dépend que de $a_0$ donc je ne vois pas l'intérêt de parler des autres $a_i$.
La condition est $a_0 \not\equiv 0[p]$, il faut bien préciser $p$ premier impair qui ne divise pas $a_0$.
Tout nombre entier supérieur ou égal à $2$ admet une unique décomposition en facteurs premiers. On peut considérer $|a_0|$ dès lors que $|a_0| \geq 2$.
-
Toutes ses démonstrations .... Celles qu'ils recopient ...?
-
OShine a dit :
Moi non plus, seul @bd2017 me trouve des erreurs imaginaires.Julia Paule a dit :Je ne vois pas l'erreur.Cela devient inadmissible !J'en recopie 3 en guise d'exemples.52) Comme $\Z / p \Z$ est un corps ($p$ est premier), on peut utiliser la question $4$.
On sait que $GL_d(\Z/ p \Z)$ est fini est $\# GL_d(\Z/ p \Z) = (p^d-1)(p^d-p) \cdots (p^d-p^{d-1}) \in \N^{*}$.
Si $p=1$, alors $\# GL_d(\Z/ p \Z) =p-1 \ne 0$ car $p$ est impair.p est premier , si $p=1, $... $p-1\neq 0$ car p est impair.C'est ça, il n' y a que moi qui voit des fautes imaginaires..$\dfrac {f_j(n)}{j! } $ tend vers 0.On prend comme exemple $ f_j(n)$ (car la seule hypothèse c'est que $f_j$ est une application de $\Z$ vers $\Z$)alors $\dfrac{1}{j!}$ à une p-valuation qui tend vers $-\infty.$ C'est à dire $|\dfrac{1}{j!}|_p$ tend vers $\infty$ et non pas vers 0.Suite à cela, je fais appel à l'administration pour passer dans la rubrique Stham, car il n'y plus de mathématiques possibles.
-
La première est une faute d'inattention.
La seconde je ne vois pas de faute dans le raisonnement, peut-être que ton contre-exemple fonctionne, mais il faudrait voir où est l'erreur dans mon raisonnement. -
Ah ça y est, j'ai vu l' "erreur" de 54 ! C'est une erreur de recopiage de formule par rapport à la question 53 : le $p^j$ a été oublié. Je ne l'avais même pas vu, tellement cela faisait suite à 53.C'est comme l' "erreur" de $\forall i,j$ au lieu de $\forall j,n$ (qui d'ailleurs a été initiée par bd2017, reprise par OS). Tout ça, c'est des erreurs de typographie, on n'y fait pas attention et on ré-interprète correctement.Les 2 erreurs signalées par bd2017 sont des erreurs de recopiage d'une formule précédemment employée, ou des erreurs d'inattention.En somme bd2017 reproche aux autres des défauts dont lui-même est loin d'être exempt, pour ne pas dire plus, dans le genre erreur de typo, c'est même parfois complétement incompréhensible.
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@O'Shine, pour terminer 54, j'ai utilisé 47.
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@bd2017 Je ne vois pas lesquelles et de quoi tu parles. Peux-tu me les indiquer ? C'est bien ce que je dis, pour toi les fautes de frappe sont des erreurs de raisonnement.
-
Ce sont des erreurs de frappes ou d'étourderie.
Posons $S_N(n)=\displaystyle\sum_{j=0}^N p^j \dfrac{f_j(n)}{j!}$ et on va utiliser Q48.
Montrons que $\lim\limits_{j \rightarrow +\infty} | \dfrac{f_j(n)}{j!}| _p=0$.
La majoration obtenue à Q53 donne : $| \dfrac{p^j f_j(n)}{j!}| _p \leq \dfrac{1}{ p^{j (1-\frac{1}{p-1})}} \longrightarrow 0$ lorsque $j$ tend vers plus l'infini.
Donc : $\boxed{\lim\limits_{j \rightarrow +\infty} | \dfrac{p^j f_j(n)}{j!}| _p =0}$.
D'après Q48, la série $S(n)$ converge dans $\Q_p$.
Montrons la convergence dans $\Z_p$.
Il suffit de montrer que la suite des sommes partielles $(S_N(n))_n$ est de Cauchy de $\Z_p$.
D'après Q53, c'est une suite d'éléments de $\Z_p$.
Mais je n'arrive pas à montrer que cette suite est de Cauchy.
-
@O'Shine On utilise la question 47 avec :
- pour tout $n$, $S(n)$ converge dans $\Q_p$,
- $S(n)$ est une suite d'éléments de $\Z_p$,
- toute suite convergente est une suite de Cauchy.
On secoue, et ça doit donner le résultat. -
D'accord merci.
La 55 m'a l'air ultra costaud. -
Voici un exemple. Dès le deuxième digit c'est faux. Ce n'est pas une faute de frappe mais une preuve qui montre que tu ne sais pas le développement p-adique d'un nombre.Julia Paule a dit :Pour ma part, je vois un développement périodique de 8 digits : $....24243131 \overline{24243131}1^5$.
Donc $e_5(5)$ est rationnel mais pas entier.
Et je pense que $e_p(p)$ est toujours rationnel (pour $p$ premier impair).
J'en ai donné 200 (en fait j'en ai calculé 1000). Je peux justifier mon calcul, ce que j'ai fait en MP à une personne du forum qui me l'a demandé.
Maintenant, au vu de 4 ou 8 digits en déduire que le nombre est rationnel. Ce n'est pas du raisonnement.
-
Julia Paule a dit :On suppose que $e_5(5)$ est rationnel.
Donc dans $\Q_5$, la série $e_5(5)$ d'éléments de $\Z_5$, $e_5(5)=\Sigma_{k=0}^{+\infty} \dfrac {5^k}{k!}$ s'écrit aussi sous forme d'une série $\Sigma_{i=0}^{+\infty} u_i p^i$ de $\Z_5$, et tend vers un rationnel $a \in \Z_5 \subset \Q_5$ (Q54).
Le problème, c'est de faire marche arrière sur la série, de faire appartenir ses termes à $\R$. Mais les éléments $\dfrac {5^k}{k!} \in \Q \cap \Z_5$.
On a donc une série $e_5(5)$ à éléments dans $\Q \cap \Z_5$ qui converge vers un élément de $\Q$. Ceci est impossible parce qu'on sait que dans $\R$, $e_5(5)=e^5$ n'est pas rationnel.Voici un autre exemple. Ce n'est pas du raisonnement. Il n'y a aucun lien établi entre la série $e_5(5)=\sum_{i=0}^\infty \dfrac{5^i}{i!}$ qui est une somme dans $Z_5$ et la série $e^5=\sum_{i=0} ^\infty \dfrac{5^i}{i!}$ qui est une somme dans $\R.$Il y a d'autres erreurs de raisonnement que tu as faites et que j'ai essayé de te faire comprendre. Mais cela n'a pas été facile.Attention, tu peux entrer en résonance avec @Os et clamer avec lui que ce que j'écris du toujours chinois.Mais prend bien garde à produire sur un tel forum des vraies mathématiques.
-
Une tentative.
55) Soit $n \in \Z_r(u)$. Alors $u_{kn+r}=0$.
D'après la question 49, $u_{kn+r}=X^T A^{kn+r}U_0=X^T (A^k)^n A^r U_0$.
Mais, $A^k = I_d+pB$. Donc $ u_{kn+r}=X^T (I_d+pB)^n A^r U_0$.
Or, $I_d$ et $pB$ commutent donc $(I_d+pB)^n = \displaystyle\sum_{j=0}^n \binom{n}{j} p^j B^j $
Ainsi, $\boxed{X^T \displaystyle\sum_{j=0}^n \dfrac{n!}{ j! (n-j)!} p^j B^j A^r U_0=0}$.
Il faut montrer que soit $n \in \N$, soit $n \in X$ avec $X$ une partie finie de $\N$.
Posons $\forall j \in [|0,n|] ,\ f_j(n)= \dfrac{n!}{ (n-j)!}= (n-j+1) (n-j+2) \cdots (n-1) n \in \Z$.
D'où, $\boxed{X^T \displaystyle\sum_{j=0}^n (p^j\dfrac{ f_j(n)}{j!} ) B^j A^r U_0=0}$
C'est ici que je bloque.
-
@bd2017 Tu perds la tête ?https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2414432/#Comment_2414432 Ceci est une erreur de calcul le temps de comprendre comment fonctionnent les entiers p-adiques, que j'ai rectifiée plus loin.https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2414433/#Comment_2414433 Cela est un essai de démonstration qui ne tient pas la route (au moins j'essaie, ce qui n'est pas ton cas), ce que j'ai moi-même reconnu et expliqué plus loin dans l'autre fil, et que tu ne m'as d'ailleurs pas signalé sur le coup.Quelle mauvaise foi ! Et toi, $\Z_p$ compact que tu n'as pas su démontrer, et la phrase en italique avec les fonctions $f_j$ polynomiales, qui suit 54 non plus, et ton erreur grossière sur une démonstration que je t'ai signalée et que tu t'es empressé d'effacer, et le $e^5$ dans $\Q_5$ quand $e$ n'existe pas, et ta démonstration de 47 incomplète de la même façon que celle d'OS et que tu lui reproches, et le problème d'une formule soi-disant passé sous silence, etc, etc ... ?Finalement je me rends compte que tu n'as répondu à pratiquement aucune des questions de cet énoncé d'agrégation, tu n'interviens ici qu'avec des formulations venues d'un autre énoncé ou d'un autre cours, que c'est pratiquement toujours mes réponses qui aident O'Shine, et qu'en fait tu caches ton incompétence en maths, voire ta nullité (pour ne pas distinguer une faute de frappe ou d'inattention ou de calcul, d'une erreur de raisonnement), par de l'agressivité envers O'Shine, et maintenant envers moi parce que je m'oppose à toi le concernant. Sinon, pour quelle raison t'acharnes-tu envers lui sur chacun de ses fils ? Si ses fils t'énervent et que tu n'as pas envie d'y répondre, pourquoi les lis-tu ? Et qu'en fait tu reproches aux autres précisément tes propres défauts.Bref, soyons constructifs et revenons aux maths.
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