Un exo

Clairon

Bonsoir à tous
Voici un (petit ?) exercice qui me résiste (est-ce que l'énoncé est juste au moins ?).

Soit $f : [a,b] \to \R$ dérivable telle que $f(a) = 0$ et $\forall\, x \in [a,b],\ f'(x) f(x) \leq \frac{1}{2} \big(f(x)\big)^2$.
Montrer que $f$ est la fonction nulle.

Avez-vous une indication ? [je vois bien le coup de $g'(x) \leq g(x)$ avec $g = f^2$, et ensuite ?]
Merci.

Math Coss

Peut-être $h(x)=\mathrm{e}^{-x}g(x)$ ?

Cyrano

C'est une application standard du Lemme de Grönwall me semble-t-il.

JLapin

De $g'\leq g$ tu déduis que $x\mapsto e^{-x} g(x)$ est décroissante sur $[a,b]$ et aussi positive et nulle en $a$.

Clairon

Waouh, merci beaucoup.
Cela fait du bien de revoir ses classiques !