Stratégie d'arbitrage

Fulgrim

Bonjour à tous
J'ai un modèle discret de marché financier $(S^0_n,S^1_n)_{0\leq n\leq 1}$, où $S^0_n$ est le prix de l'actif sans risque que je suppose être égal à $(1+0,1)^n$, et $S^1_n$ est le prix de l'actif risqué que je suppose être une simple marche aléatoire classique sur $\mathbb{N}$ que je commence à $2$.
D'après le premier théorème fondamental de tarification des actifs, ce marché n'est pas viable car les prix actualisés des actifs ne sont pas des martingales : $\frac{S^1_n}{S^0_n}$ n'en est pas une.
Donc il existe une stratégie d'arbitrage (auto-financée, positive, de valeur initiale nulle et de valeur finale non nulle).

Ma question est : quelle est-elle ? Comment l'exprimer exactement ?

Si j'emprunte l'actif 0 pour acheter l'actif 1, je vais peut-être perdre de l'argent avec l'actif 1, et je vais devoir rembourser l'actif 0. Pas d'arbitrage.
Si j'emprunte l'actif 1 pour acheter l'actif 0, à la fin de la dernière journée j'aurai :
   - soit $2\times 1.1 - 1\times 1 = 1.2$ si l'actif 1 a perdu $1$,
   - soit $2\times 1.1 - 1\times 3 = -0.8$ si l'actif 1 a gagné $1$.
Pas d'arbitrage non plus.

Quelles sont mes autres possibilités ?

Positif

Le théorème te dit qu’il existe une probabilité sous laquelle $S_n / S^0_n $ est une martingale. Tu peux trouver cette probabilité ?

Fulgrim

Aaah oui mince, la probabilité pour laquelle les prix actualisés sont des martingales peut être différente (mais équivalente) à celle pour laquelle il n'y a pas d'arbitrage possible.

Dans ce cas on a $p_1 = 1+r-\frac{1}{2}$, avec $p_1$ la nouvelle probabilité que l'actif 1 gagne $1$ et $r$ le rendement de l'actif 0. Ce qui est bien cohérent car si $r\geq \frac{1}{2}$ on a des stratégies d'arbitrage.

Merci !

Positif

Même “dans la vraie vie” les opportunités d’arbitrage ne sont pas évidentes. Par exemple il peut y avoir une disymmétrie de prix entre l’index DAX et les constituants mais il y a 30 constituants dans le DAX et on ne peut pas payer 30 ticks pour en faire l’acquistion, + 1 tick pour vendre l’indice. Si l’arbitrage existe il n’est pas entre 30 ticks mais sur 5 / 6 . Donc il faut être malin, se poser passif .... mais ce n’est jamais sans risques.