Le lièvre et la tortue
Bonjour,
Je viens de retomber sur cet exercice que j'avais posé en lycée (en DM).
Peut-être que OShine saurait le faire, qui sait ?
Cordialement,
Rescassol
Je viens de retomber sur cet exercice que j'avais posé en lycée (en DM).
Peut-être que OShine saurait le faire, qui sait ?
Cordialement,
Rescassol
Réponses
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@Rescassol
Je ne comprends pas ta démarche, tu cherches quoi au juste par rapport à Oshine ?
Ne trouves tu pas qu'il n'a pas suffisamment à faire avec ce qu'il traite déjà ?
On pourrait croire que tes intentions ne sont pas très louables à son encontre. -
Bonjour,
Je propose un exercice, pour qui veut, c'est tout.
Serais je tombé sur un tabou, du genre "défense de jouer dans ma cour" ?
Cordialement,
Rescassol
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Pourquoi parler d'Oshine ?
Cela donne l'impression que tu veux lui tomber dessus ou que quelqu'un lui tombe dessus. Beaucoup d'intervenants se plaignent, souvent à raison, de ses interventions. Il ne me semble pas opportun d'en rajouter.
Je ne comprends pas ta remarque sur "défense de jouer dans ma cour", peux tu l'expliquer ? -
Disons que la question peut sembler malveillante envers OShine si on suppose que OShine=tortue mais la réponse, elle, sera plutôt bienveillante...’’Auparavant le monde était dirigé par des intelligents. C’était cruel. Les intelligents forçaient les imbéciles à apprendre. C’était difficile pour les imbéciles. Aujourd'hui le monde est dirigé par des imbéciles. C’est juste, car les imbéciles sont beaucoup plus nombreux. Aujourd'hui les intelligents apprennent à s’exprimer afin que les imbéciles puissent comprendre. Si un imbécile ne comprend pas c’est un problème d’intelligents. Auparavant souffraient les imbéciles. Aujourd'hui souffrent les intelligents. La souffrance diminue car les intelligents sont de moins en moins nombreux.’’
Mikhaïl Jvanetski. -
Bonjour,
> Pourquoi parler d'Oshine ?
Pourquoi pas ? C'est interdit ?
Je ne suis pas le seul à lui proposer des exercices, ça m'est d'ailleurs déjà arrivé.
Et je suis curieux de voir ce qu'il ferait de celui-ci.
Bon, on pourrait aussi me répondre sur l'exercice lui-même.Cordialement,
Rescassol -
"Curieux de voir ce qu'il ferait", c'est à dire ? Impatient de le voir dire des bêtises pour le lui signaler ? Si ce n'est pas toi, ça sera quelqu'un d'autre...Si vraiment tu souhaites qu'il progresse, fonctionne en mp, ça sera tout à ton honneur. Là, si Oshine rédige des choses et qu'il dit des âneries, il va se prendre une louchée d'insultes, et ça servira à quoi ? Sauf si encore une fois, le but recherché est qu'il s'en prenne plein la tête !
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Oshine se permet de critiquer à tout va et n'importe comment dès qu'il voit passer une ligne de maths qui n'est pas suffisamment détaillée à son goût. Vu qu'il donne son avis sur tout, pourquoi ne pas lui demander son avis sur tel ou tel énoncé ?Et non, il ne prend pas/plus vraiment une bordée d'insulte à chaque fois qu'il écrit des âneries mathématiques.
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En fait, je ne peux m'empêcher de penser que certains peuvent prendre plaisir à le voir se planter de la sorte, Oshine est l'alibi pour pouvoir dérouler le discours anti EN etc... Je ne dis pas que c'est ce que Rescassol aurait fait mais je ne comprends pas l’intérêt de poser une question à Oshine sachant que certain vont l'engueuler, à tort à raison, ça c'est un autre problème.... Pour moi, ça ne fait rien avancer, autant fonctionner en mp avec OS ou alors ne pas le "provoquer" en ne le citant pas !Edit. Raison de plus @JLapin pour ne pas l'interpeller directement, OS a largement débordé pour moi sur plein de points, je ne vois pas l’intérêt encore une fois de l'hameçonner de la sorte !
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Au moins, il réagira sur un contenu mathématique adapté, pas sur des livres de préparation à l'agreg ou des conférences de vulgarisation mathématique.Mais je comprends ton point de vue.
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Bonjour,
Cette polémique n'a aucun intérêt, contrairement, je l'espère, à l'exercice.
Cordialement,
Rescassol
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Bonsoir Rescassol.
Je suis un peu vieux et la seule calculatrice programmable que j'ai eu est une TI81.
Avec une calculatrice de ce type la question 1 est de loin la plus difficile.
J'imagine que les calculatrices plus modernes permettent une programmation plus simple. Mais elle me semble quand même plus difficile que les autres.Je serais curieux de savoir si tes élèves l'avaient bien réussi. -
Bonjour,
J'ai eu aussi une TI81 il y a longtemps (au début des années $80$ me semble-t-il), mais j'ai eu ensuite une TI83+ que j'ai toujours et qui était assez répandue quand j'ai posé cet exercice. La question 1 n'est pas difficile, seulement un peu longue. Une fois la commande préparée, il suffisait de taper sur "Enter" $200$ fois d'une main et de faire des petits bâtons dans des cases de l'autre, puis de compter les bâtons.
Ça n'avait pas posé de problème aux élèves, certains allant plus loin que les $200$ demandés.
Cordialement,
Rescassol
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La TI81 c'est plutôt début des années 90.Et je suis stupéfait qu'il y ait des gens capables d’appuyer 200 fois sur la touche [enter].Mais c'est sans doute un problème personnel.
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Bonjour,
Il y a bien des gens capables de corriger $200$ copies.
Et tu as bien dû marcher sur $200$ m.
Cordialement,
Rescassol
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@verdurin quand j'étais en 6e on faisait des compétitions sur TI-40 : presser 0 = + 1 puis appuyer le plus de fois possible sur la touche = pendant une minute. De mémoire les scores étaient de l'ordre de 6 à 7 appuis par seconde. On arrive vite à 200 ...
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À Rescassol : j'ai en effet corrigé beaucoup plus de 200 copies dans ma vie. Et j'ai souvent marché plus de 200hm dans une journée. Mais j'ai du mal à voir le rapport avec le sujet de départ.Il me semblait que tu voulais parler de l''exercice que tu mis en lien. Je constate qu'il n'en est rien.À Pomme de terre ce n'est pas la même chose que de taper frénétiquement sur une touche que de taper sur une touche et de noter un résultat.Je suis un peu déçu par les réponses.
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javascript.
function playGame(){
Désolé, j'avais surtout envie de voir si j'arrivais à poster du code. Merci à AD pour le tuto.
let t=0, d;
do{
d=1+Math.floor(Math.random()*6);
if (d===6){
return 1;
}
else{
t+=d;
}
}while(t<6);
return 0;
}
function test(N){
let n=0;
for (let i=0; i<N; i++){
n += playGame();
}
console.log("Chances du lapin: " + (100*n/N).toFixed(2) + "%");
}
test(2000000) me donne: Chances du lapin: 36.00%. S'il accepte de jouer avec ces règles il est pas malin... Et si un élève de 2023 accepte de faire ça sur une calculatrice avec un écran de 2 pouces, il n'est pas malin non plus...
Après je bloque. -
BonjourMerci Rescassol pour ce problème amusant. Chacun réagit avec sa sensibilité. Moi, je fais ça avec un calcul matriciel et un tableur ad hoc.On indique la proportion de scores possibles de la tortue, après un jet (matrice de transformation). Et on détermine la suite des matrices.
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Est ce que cela amuserait quelqu'un de voir la solution theorique explicite? C'est un peu long a taper, surtout si tout le monde s'en tape.
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Sur quel passage mettrais-tu l’accent ? 😏😀🤣
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En python (avec Sympy pour manipuler des fractions rationnelles) je trouve pareil que tout le monde :
def ProbaTortueGagne(k):
# renvoie la proba que la tortue gagne en partant d'une fortune de k
if k==6:
return 1
PositionsPotentielles=range(k+1,6) # [k+1,...,5]
return Rational(sum([TortueGagne(j) for j in PositionsPotentielles]),6)+Rational(k,6)
print(ProbaTortueGagne(0))
29849/46656 -
Pour épargner les doigts fragiles de P2 je propose d'écrire que si l'on note $p_k$ la probabilité que la tortue gagne en partant d'une fortune de $k$ alors on a (en conditionnant par rapport au premier jet)$$p_k=\frac{1}{6}p_{k+1}+\frac{1}{6}p_{k+2}+...+\frac{1}{6}p_{5}+\frac{k}{6}.$$ On cherche $p_0$ et bien sûr $p_6=1$.
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Bonjour,
Comme quoi "rien ne sert de courir ...................."
Verdurin, le rapport est la répétition (le nombre $200$).
Faut pas exagérer, taper $200$ fois sur une touche, ça ne prend pas très longtemps, ça avait plutôt amusé les élèves, certains s'y étaient mis à $2$, un qui tape, un qui note.
Cordialement,
Rescassol
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Bon, bon, puisque tout le monde rigole...Mais il y avait dans l'exo un phénomène intéressant sur les sommes de va uniformes indépendantes soit sur un segment $\{0,1,2\ldots,a\}$ soit continu sur $[0,a]$ pour évaluer $\Pr(X_1+\cdots+X_n<a)$ qui se généralise aux familles exponentielles engendrées par ces lois uniformes.
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Bonjour,J'ai pour ma part "trouvé" que , dans le même jeu où le dé possède $n$ faces et où la tortue doit atteindre $n$ avec des lancers donnant des résultats autres que $n$, la probabilité de gain de celle-ci est :$$\mathbb P_n =1-\dfrac{(n+1)^{n-1}}{n^n}.$$
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Bonjour,
Comment alors justifier de façon simple que dans l'exercice, la probabilité de gain du lièvre est égale à $\dfrac{7^5}{6^6}$ ?
Cordialement,
Rescassol
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Re,$u_k=\text{ probabilité que le lièvre gagne à l'issue du lancer }k,\:\:k\in [\![1;n]\!].\:$Un petit dénombrement conduit à $\:u_k=\dfrac{\binom {n-1}{k-1}}{n^k}:\:$$n^ku_k=\#\Big\{x\in(\N^*)^{k-1}\mid x_1+x_2+\dots x_{k-1}<n\Big\}\overset{(\star)}=\#\Big\{y\in[\![1;n-1]\!]^{k-1}\mid y_1<y_2<\dots <y_{k-1}\Big\}=\displaystyle \binom{n-1}{k-1}.$($(\star):\: $ via la bijection $x\longmapsto y\:\: $ définie par $\:\:y_i=x_1+x_2+\dots x_i.)\qquad $La probabilité de gain du lièvre est alors : $$ \: \mathbb P_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n u_k =\dfrac 1n\sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{\binom{n-1}k}{n^k}=\dfrac{(n+1)^{n-1}}{n^n}.\qquad\mathbb P_n\underset{n\to +\infty}\sim \dfrac{\mathrm e}n.$$Soit $\:X\text{ le rang du tirage à l'issue duquel la partie se termine.}$Voici une justification de l'expression de $\mathbb E(X) $ donnée par Jandri dans un message ultérieur.$\forall k\in[\![1;n]\!],\:\:n^{k-1}\mathbb P(X\geqslant k) =\#\Big\{x\in(\N^*)^{k-1}\mid x_1+x_2+\dots x_{k-1}<n\Big\}=\displaystyle \binom{n-1}{k-1}.$$$\mathbb E(X) =\displaystyle \sum_{k=1}^n\mathbb P(X\geqslant k)=\sum_{k=1}^n \dfrac {\binom{n-1}{k-1}}{n^{k-1}}=\left(\dfrac {n+1}n\right) ^{n-1}.$$Soit $Y =\text{ nombre de points marqués par la tortue à l'issue du jeu }$ et $U_i=\text{ nombre de points qu'elle marque au tirage } i.$Alors, l'identité de Wald appliquée au temps d'arrêt $X$ est ici très commode et donne, avec $\:\mathbb E(U_i)=\mathbb E(U_1) =\dfrac{n-1}{2}:$$$\mathbb E(Y)=\mathbb E(X)\mathbb E(U_1)=\dfrac{(n-1)(n+1)^{n-1}}{2n^{n-1}}.$$
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Bonjour,
Oui, je ne sais pas si c'est simple pour des lycéens.
Cordialement,
Rescassol
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@Lucas
Ta méthode fonctionne bien mais il y a une coquille dans ta formule, c'est $p_k=\dfrac{1}{6}p_{k+1}+\dfrac{1}{6}p_{k+2}+...+\dfrac{1}{6}p_{k+5}$ (pour $k\leq 5$).
Edit : ce n'est pas une coquille, la formule (différente de celle que j'avais trouvée) est parfaitement exacte.
En généralisant à $n$ on en déduit $(n+1)p_{k+1}=np_k+1$ (pour $k\leq n-2$) d'où $p_0-1=-\dfrac1n\left(\dfrac{n+1}n\right)^{n-1}$.
Merci à Rescassol pour ce problème très intéressant.
On peut se poser une autre question : quelle est l'espérance du nombre $X_n$ de lancers ?
Avec la méthode de LOU16 j'ai obtenu $E(X_n)=\left(\dfrac{n+1}n\right)^{n-1}$. -
On peut aussi se demander quelle est l'espérance de $Y_n$, total des points de la tortue quand la partie est terminée.
Il y a une formule simple mais je laisse chercher avant de la donner. -
i.zitoussi "Chances du lapin: 36.00%. S'il accepte de jouer avec ces règles il n'est pas malin..."Oui. Tout dépend comment le jeu lui est présenté. Avec un dé à 4 faces, c'est déjà plus équilibré (125/256, presque 50%), et avec un dé à 2 faces, autrement dit, un pile ou face, il a 75% de chance de gain.Après, regarde le loto ou le poker. Les êtres humains n'ont pas besoin d'une espérance mathématique positive pour tenter leur chance !
-
Oui, c'est ce que je m'étais dit après coup. Si j'avais été un lièvre, je n'aurais pas fait le calcul et j'y aurais bien joué une bonne centaine de fois avant de me demander ce qui se passe.
Après je bloque.
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Bonjour!
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