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Trouver une relation de récurrence d'ordre 2

Bonjour
Je suis bloqué face à un exercice de probabilité. Le voici.

Une urne contient $2a$ boules blanches et $a$ boules noires, indiscernables. On effectue une suite de tirages avec remise d'une boule de l'urne. On pose $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de tirages effectués lorsqu'on obtient pour la première fois deux boules noires lors de deux tirages consécutifs.
Il faut trouver une relation de récurrence d'ordre $2$ sur la suite $(P(X\ge n))_{n\ge 1}$.

Je n'arrive pas à trouver une relation d'ordre $2$. Cependant, j'ai démontré que :
$P(X\ge n+2) = P(X\ge n+3) + \frac{2}{27}P(X\ge n)$
Merci de votre aide !
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Réponses

  • Modifié (March 2023)
    Bonjour
    tu désignes $u_n = P(X >ou= n)$ avec $0 <ou= u_n <ou = 1$
    et ton équation récurrente affine d'ordre 3 devient 
    $$u_{n+3} - u_{n+2} + o.u_{n+1} + \frac{2}{27}u_n = 0$$
    son équation caractéristique est $x^3 - x^2 + \frac{2}{27} = 0$
    que tu peux factoriser : $(x - 1/3)(x^2 - 2x/3.  - 2/9)$
    et tu vois apparaître trois racines réelles 
    $x_1 = 1/3$ ; $x_2 = \frac{1+\sqrt{3}}{3}$ et $x_3= \frac{1-\sqrt{3}}{3}$
    soit encore $u_n = A.x_1^n + B.x_2^n +C.x_3^n$  avec n > 1
    il conviendra de vérifier que $u_n$ reste compris entre 0 et 1
    la détermination des constantes A, B, et C
    se fera avec les conditions initiales concernant les probabilités
    Cordialement.
  • Modifié (March 2023)
    Merci @jean lismonde ! Je comprends mieux avec ta réponse comment trouver une réponse pour la probabilité de $P(X\ge n)$ avec ma relation d'ordre $3$.

    Cependant, je me demandais si on ne pouvait pas directement récupérer une relation d'ordre $2$. 
  • Modifié (March 2023)
    Bonjour
    Avec $p$ la probabilité de "succès" (ici une boule noire) au tirage numéro $n$, $q=1-p$ et $u_n=\mathbb{P}(X=n)$ (premier double succès au rang $n$), habituellement, on obtient la relation suivante par formule des probabilités totales avec le système complet des résultats lors des 2 premiers tirages : $$u_{n+2}=p\cdot u_{n+1}+pq\cdot u_{n}$$
  • Modifié (March 2023)
    @guiguiche Pardonne-moi mais est-ce que tu peux expliciter avec des évènements ?
  • Modifié (March 2023)
    Bonjour,
    Voici ce que j'obtiens, qui n'est pas conforme à tes résultats: $\forall n \in\N  ,\:\:u_n:=\mathbb P(X\geqslant n).\quad v_n:= \mathbb P(X=n).\quad$ Alors:
    $u_1 =1, \:u_2 =1 ,\: u_3 =\dfrac 89 ,  u_4 =\dfrac {22}{27},\: u_5 = \dfrac {60}{81}.\quad\forall n\in\N^*,\:\:u_{n+3}=\dfrac 53 u_{n+2}-\dfrac 49 u_{n+1} -\dfrac29   u_n.$  
    $v_0=0,\:v_1=0,\:v_2=\dfrac19,\:v_3=\dfrac2{27},\:v_4=\dfrac6{81}. \quad \forall n\in\N^*,\:\:\:v_{n+2}=\dfrac 23v_{n+1}+\dfrac 29 v_n.$    
    C'est donc la suite $(v_n)_n$  qui obéit à une récurrence linéaire d'ordre $2$.
    Voici les justifications de ce que j'avance :
    $A_n=\text  {"le } n-\text{ ième tirage est une boule blanche et }X> n".\quad a_n =\mathbb P(A_n).\quad a_0 :=1$    
    $B_n=\text  {"le }n-\text{ ième tirage est une boule noire et }X> n".\quad b_n =\mathbb P(B_n).\quad a_1=0$
    $C_n=(X\leqslant n).\quad c_n =\mathbb P(C_n).\quad c_0=0.\quad a_n+b_n+c_n=1.\:\:$
    Soit $:A=\dfrac13\begin{pmatrix}2&1&0\\2&0&1\\0&0&3\end{pmatrix}.\quad\chi_A(X)=(X-1)\left(X^2-\dfrac23X-\dfrac29\right)=X^3-\dfrac 53X^2+\dfrac49 X+\dfrac 29.$ Alors:
    $\forall n\in \N, \:\: (a_{n+1},b_{n+1},c_{n+1}) =(a_n, b_n, c_n) A,\quad (a_n, b_n, c_n) =(1,0,0)A^n\:$
     La suite $(c_n)_n$ obéit ainsi  à une récurrence linéaire dont le polynôme caractéristique est $\chi_A,$ et il en va de même pour la suite $(1-c_n)_n:\:\:1-c_n= \mathbb P(X\geqslant n+1)=u_{n+1}.$
    La présence d'une racine de $\chi_A$ égale à $1$ fait que la suite $(v_n)_n$ avec $v_n=u_{n-1}- u_n$ obeit à une récurrence linéaire régie par le polynôme $\dfrac{\chi_A}{X-1}.$
  • Modifié (March 2023)
    Je suis d'accord mais $u_n$ et $v_n$ vérifient la même relation de récurrence : $u_{n+2}=\dfrac 23u_{n+1}+\dfrac 29 u_n$.
    Pour $u_n$ l'initialisation est $u_1=u_2=1$, pour $v_n$ c'est $v_1=0$, $v_2=\dfrac19$.
  • Modifié (March 2023)
    @LOU16
    D'accord, il doit donc y avoir une erreur dans mon énoncé ! Cependant, pourrais-tu m'expliquer comment est-ce que tu arrives à trouver $(v_n)_n$ ?
    Est-ce que tu as utilisé $(u_n)_n$ puis fait la suite $u_{n-1}-u_n$ ? Ou est-ce que l'on peut trouver plus rapidement ?
    Était-il nécessaire de calculer $(u_n)_n$ ?
  • Modifié (March 2023)
    Jojob a dit :
    @guiguiche Pardonne-moi mais est-ce que tu peux expliciter avec des évènements ?
    Le système complet est $(B_1,\ N_1\cap B_2,\ N_1\cap N_2)$, où $B_i$ désigne bien sûr l'événement "obtenir un boule blanche au rang $i$".
  • Modifié (March 2023)
    Re,
     $1,r,s, $ étant les racines(réelles) de $\chi_A,\:\exists a,b,c \in\R \:$ tels que $\:\:\forall n\in\N^*,\:\:u_n=a+br^n+cs^n, \:$(en fait $a=0$.)
    Puisque $ v_n=u_{n-1}-u_n,\:\:\exists d,e \in\R\: $ tels que $\:\: \forall n\in\N^*,  v_n =dr^n+es^n.$
    La suite$(v_n)_n$ obeit alors à la récurrence linéaire gouvernée par le polynôme $(X-r)(X-s).$
    L'énoncé me semble correct, car, comme l'a fait remarquer Jandri, $(u_n)_n$ obéit également à cette récurrence.
    Ce que suggère Guiguiche ,qui est plus simple, c'est "l'analyse du premier pas"
    Pour $n\in\N^*,\quad\mathbb P (X=n+2) =\mathbb P(B_1) \mathbb P(X=n+1)+\mathbb P(N_1B_2 )\mathbb P (X=n) .$        
  • Par contre, je n'avais pas fait assez attention que la demande portait sur une inégalité dans l'événement. Donc je ne réponds pas à la commande.
  • @LOU16 Il me semble qu'il y a une erreur sur $A$.

    Si $B_n=\text  {"le }(n-1) -\text{ ième tirage est une boule noire et }X> n"$ est réalisé alors au n-ième tirage, je vais récupérer une boule blanche.
    Et si au n-ième tirage, je récupère une boule blanche et que $X>n$, il est certain que $X>n+1$.

    Donc, je trouve $\mathbb P(A_{n+1}|B_n) = 1$. Mais j'ai l'impression que sur ta matrice $A$, $\mathbb P(A_{n+1}|B_n) = 1/3$.
  • Modifié (March 2023)
    Ok je comprends l'idée de @guiguiche ! Il m'en a fallu du temps ! Je ne suis pas trop bon en probabilité. Merci !
  • Modifié (March 2023)
    Tu as tout-à-fait raison. J'ai modifié les définitions de $A_n$ et $B_n$.
    Note que ma matrice indique que $\mathbb P(A_{n+1}\mid B_n) =\dfrac23. $ 
  • @LOU16 Okay ! Maintenant, je comprends tout ! Merci beaucoup !
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