Question de calcul en économie

LeVioloniste
Modifié (March 2023) dans Sciences des données
Bonsoir,
je me sens un peu idiot : pour ceux qui connaissent les  notions d'équilibre de consommateur en macro-économie, je me retrouve avec le problème suivant.
Je dois calculer $A$ et $B$ qui correspondent aux quantités consommées de biens appelés $A$ et $B$ (bon c'est une écriture d'économiste, on confond quantité et nom du produit).
La fonction utilité est $U(A,B)=\gamma.A^a+\alpha.B^b$, où $\gamma, \alpha, a$ sont des constantes positives.
$R$ est le revenu et $p_a$ et $p_b$ sont les prix relatifs au bien.
Le programme d'optimisation de la satisfaction du consommateur est un Lagrangien : $L(A,B,\lambda)=\gamma.A^a+\alpha.B^b+\lambda(R-A.p_a-B.p_b)$.
La contrainte budgétaire est $R=A.p_a+B.p_b$.
En écrivant les dérivées partielles en les 3 variables, j'ai la relation $\dfrac{\alpha.a.A^{a-1}}{\beta.b.B^{b-1}}=\dfrac{p_a}{p_b}$

Dans mon système de 2 équations 2 inconnues, je n'arrive pas à isoler $A$ ou $B$ à cause des exposants des puissances. Une idée ?
$A$ et $B$ dépendent de $R$, et des autres variables.

Réponses

  • Math Coss
    Modifié (March 2023)
    La fonction d'utilité ne serait-elle pas plutôt $\alpha\,A^a+\beta\,B^b$ ? et le lagrangien (sans majuscule en français) $\alpha\,A^a+\beta\,B^b+\lambda(R-Ap_a-Bp_b)$ ? D'un point de vue alphabétique, c'est plus satisfaisant et cela explique l'arrivée inopinée de $\beta$ dans la dernière relation...
    Sinon, on peut écrire $A=CB^\gamma$ où $C=\left(\frac{p_a\beta b}{p_b\alpha a}\right)^{1/(a-1)}$ et $\gamma=\frac{b-1}{a-1}$, ce qui donne en injectant une équation transcendante en $B$ que je vois mal comment éviter.
    Désolé, tout cela ne semble pas très utile.
  • LeVioloniste
    Modifié (March 2023)
    Bonjour,
    non ce sont les lettres de l'énoncé, comme je dis ce sont des économistes donc passons.
    Et bien justement je viens de passer sur Wikipedia@ et je lis :
    'Les équations pour lesquelles l'inconnue n'apparaît qu'une seule fois en tant qu'argument d'une fonction transcendante peuvent être résolues facilement, en utilisant les fonctions inverses. Il en va de même si l'équation peut être réduite à un cas similaire.'
    Je vais essayer de résoudre avec ton aide.
  • On peut être économiste et savoir lire les lettres grecques : qui est ce $\beta$ dans la dernière relation, qui ne nous a jamais été présenté ?
  • C'est $\dfrac{\alpha.a.A^{a-1}}{\gamma.b.B^{b-1}}=\dfrac{p_a}{p_b}$. le $\beta$ est une erreur de ma part !
  • jean lismonde
    Modifié (March 2023)
    Bonjour
    Après ta correction et la disparition du beta qui effectivement était de trop
    tu obtiens deux équations en A et B $$p_a.A + p_b.B = R$$ $$a\alpha.p_b.A^{a-1} - b\gamma.p_a.B^{b-1} = 0$$ la résolution algébrique en A et B n'est pas évidente,
    Il te reste la résolution graphique fréquente en optimisation
    l'intersection des droites de pente négative correspondant à la première équation
    d'avec les courbes de fonctions "puissance" correspondant à la seconde équation.

    Tu peux raisonner sur la convexité de ces courbes de fonctions puissance
    pour dire que l'on obtient au maximum deux points d'intersection de coordonnées A et B
    et donc deux situations possibles, ou bien une seule ou bien encore aucune.
    Cordialement.
  • math2
    Modifié (March 2023)
    C'est marrant, lorsque j'ai enseigné cela (dans une autre vie), le programme du consommateur relevait de la micro-économie (et non de la macro-économie), c'était même la première étape d'un cours de micro de première année : consommateur, puis producteur puis équilibre général (plus plus tard on passait à décision dans le risque - souvent appelé incertain mais les spécialistes du domaine séparent selon que la probabilité est connue ou estimée - externalités, tarification des monopoles et duopoles, puis ensuite on allait vers des choses type aléa moral).
    Sinon, sans avoir vérifié les calculs, pas grand chose à ajouter à ce qui a été dit.
    Juste une chose : puisque tu es de formation mathématique, tu sais sans doute que les théorèmes s'appliquent avec des hypothèses. Pour pouvoir appliquer le théorème des multiplicateurs de Lagrange (que sur le programme du consommateur les économistes présentent plutôt sous la forme TMS=rapport des prix, car cela a une interprétation économique claire), il y a une hypothèse dite de qualification des contraintes à vérifier. Une manière de traiter ce problème est soit de vérifier qu'elle est satisfaite, soit d'utiliser le lagrangien augmenté de Philippe Michel : tu rajoutes un $\lambda_0$ devant le critère, et tu traites les deux cas $\lambda_0=1$ (qui correspond au cas qui marche) et $\lambda_0=0$ (qui correspond au cas non qualifié). Il suffit de traiter ces deux cas, car alors le problème devient homogène en les multiplicateurs.
  • Bien entendu, il faut aussi faire des hypothèses sur $a$ et $b$, les lignes de niveau te permettent immédiatement de voir (sans même faire de calcul) que tu pourrais être embêté si $a=b=1$, où là on pourrait avoir $\lambda_0=0$  (et l'on sera même en général dans ce cas).
  • Positif
    Modifié (March 2023)
    Salut l'auteur,
    tu as suivi un cours de macro ? Je pense savoir quelle épreuve tu prépares. Rassures-toi : l'économétrie c'est "facile" car tu as une liste de 10 - 15 exos à connaître par cœur et après tu déroules, mais il faut les chercher dans un bouquin.
    ---> I believe in Chuu-supremacyhttps://www.youtube.com/watch?v=BVVfMFS3mgc <---
  • math2
    Modifié (March 2023)
    J'ai montré cela à six collègues économistes, pour eux pas de toutes tel qu'énoncé c'est de la micro-économie (après, c'est peut-être une partie de problème où l'on passe d'une analyse micro à une analyse macro d'un phénomène).
  • math2
    Modifié (March 2023)
    Au passage puisque je viens de le citer, il est curieux que Philippe MICHEL (qui a enseigné en France) ait une page wikipédia en anglais :
    https://en.wikipedia.org/wiki/Philippe_Michel_(economist)
    et non en français.
  • LeVioloniste
    Modifié (March 2023)
    @Positif Pour les exos il y  a des exos types à résoudre, c'est ce que j'essaie de faire. Voilà c'est de la culture aussi pour moi.
    Pour les exos je regarde dans :
    Microéconomie - Exercices corrigés de Laurent/Hachon. C'est assez rigoureux. Mais peut-être trop classique ?
    Éléments de micro-économie - Exercices corrigés de Jullien/Picard. Ce sont de vieilles feuilles !
    Pour les cours :
    Aide-mémoire en micro-économie de Gayant
    Économie - Aide mémoire de Dollo/Braquet/Gineste
    @math2 oui c'est forcément de la micro-économie puisqu'on étudie le comportement d'un agent économique.
    Je ne savais pas que vous aviez aussi des compétences en éco ! Je vais utiliser ce qui est dit pour avancer. Surtout avec un éclairage mathématique.
    Après je me pose la question de la pertinence de l'utilisation des mathématiques. Qui utilise en économie réellement ces mathématiques spécifiques ?
    Je trouve qu'il faut faire du par cœur pour ces exos et je trouve cela assez limité. Il me semble que la réalité est bien plus complexe.
  • math2
    Modifié (March 2023)
    Je suis d'accord, j'avais préféré corriger ton terme "macro".
    Personnellement j'ai fait un peu d'économie, en ai enseigné très ponctuellement jusqu'en M1, ai fait des référés de papiers d'économie formalisée et ai aidé des collègues économistes parfois dans leur modélisation ou la résolution de leurs problèmes mathématiques. Mais je ne suis pas économiste, et c'était il y a bien longtemps.
    Le problème avec la modélisation économique, c'est que le comportement humain est très complexe, et bien moins modélisable que des lois de la nature.
    Je crois qu'il ne faut pas faire dire plus aux modèles que ce qu'ils disent, et donc ne pas prendre pour argent comptant la conclusion, ses hypothèses nécessairement très simplificatrices ne sont pas satisfaites en pratique. Si l'on accepte de lui laisser sa place normale, je pense que la recherche dedans doit être développée de même que les autres.
    Je me souviens d'une passe d'armes entre I. Ekeland et B. Guerrien dans un journal, peut-être la recherche, avec un titre du type "l'équilibre général, 20 ans après".
    Je trouve regrettable les guéguerres d'économistes entre formalisés et littéraires, toute la recherche doit être développée.
    La démarche mathématique a cependant une supériorité indéniable, c'est que si la conclusion ne te plaît pas, sous réserve qu'il n'y ait pas d'erreur de raisonnement, tu sauras sur quelle hypothèse il faut revenir. Pour la petite histoire, je me souviens d'un collègue formalisateur qui par un joli discours bien enrobé est parvenu à faire arriver un parterre d'hédérodoxes que seul un modèle purement libéral serait viable et pourrait rendre les acteurs heureux ! Ces collègues ont bien été en peine de trouver une erreur de raisonnement. Donc avec du "blabla" bien mené, tu peux arriver à tout ce que tu veux. La modélisation mathématique couvrira moins de champs possibles, mais au moins si tu veux critiquer le résultat (comme par exemple celui de Salanié-Laroque, qui en son temps avait fait couler beaucoup d'encre), tu sais quelle hypothèse relaxer.
    Je trouve qu'à titre d'exemple le théorème d'impossibilité d'Arrow est remarquable.
    Ensuite, je trouve que sur des problèmes économiques tout de même pertinents, il y a de quoi faire de belles maths. Pour parler de problèmes qui moi m'avaient intéressé dans les années 90, même si je n'ai jamais publié dessus, la décision dans l'incertain / le risque en axiomatique von Neumann-Morgenstern souffre de nombreux défauts (paradoxe d'Allais), ce qui est dû au fait que les probas sont additives. Une bonne modélisation se fait à l'aide d'intégrales par rapport à des capacités de Choquet, qui en plus sortent l'aversion au risque de la concavité de l'utilité cardinale. J'aurais aimé travailler en antisélection / aléa moral. Le problème était à un certain moment un problème de calcul des variations sous contrainte de convexité. Un point essentiel a été d'identifier le cône normal au cône des fonctions convexes dans $H^1$, ce qui était le problème mathématique crucial. Bref, de quoi faire de très belles maths. Une fois, un collègue à la fois économiste et physicien me disait : les modèles dynamiques de la physiques sont essentiellement conservatifs, alors que les modèles économiques ne le sont pas ; c'est pour cela qu'ils sont plus complexes mathématiquement".
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