Trois affirmations

Sneg
Modifié (March 2023) dans Fondements et Logique
Bonjour
Ci-dessous, trois affirmations.
Avec combien d'entre elles êtes-vous d'accord ?

1) Tout nombre ayant une écriture décimale est un nombre réel.
2) Toute écriture décimale d'un nombre est un nombre réel.
3) Toute écriture décimale est un nombre réel.

Merci d'avance.
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Réponses

  • Georges Abitbol
    Modifié (March 2023)
    1) Oui mais c'est une affirmation vide selon ce que je mets derrière les termes que tu emploies.
    2) Oui, à condition de confondre "écriture" et "nombre représenté par l'écriture", et sinon, non.
    3) Pareil.
    PS. J'aurais pu répondre tout simplement $3,00000000...$, ça aurait été plus drôle :D
  • Il faut commencer par définir proprement ce qu'est un nombre réel et ce qu'est une écriture décimale avant de pouvoir répondre.
  • Dom
    Dom
    Modifié (March 2023)
    Certes il faut définir des choses. 
    Mais sans cela, une écriture d’un nombre n’est pas un nombre. Cela me semble clair.
  • Tu veux dire est-ce que l'on assimile le nombre à son écriture (2 & 3) ou pas (1)?
    The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic
  • Je ne suis d'accord avec aucune des assertions qui me semblent traduire soit une incompréhension (mal localisée), soit une volonté de piéger.
    1) « Tout nombre » n'a pas de sens hors contexte car il n'y a pas un consensus sur ce que recouvre le mot nombre : entier naturel ? relatif ? rationnel ? réel ? complexe ? $p$-adique ? élément d'un corps fini ? d'une extension de $\Q$ ? L'expression « écriture décimale » ne me semble pas avoir de sens si on ne parle pas de réels. Se demander si « un nombre ayant une écriture décimale est réel » est une façon maladroite de se demander si une application définie sur un ensemble est définie ailleurs que sur cet ensemble – a priori non, peut-être peut-on définir des prolongements intéressants, de toute façon on peut définir des prolongements arbitraires.
    2) « L'écriture décimale » d'un nombre réel peut désigner plusieurs choses selon le contexte : soit la suite des décimales $(a_n)_{n\ge-N}$ (où $N$ est à une unité près le nombre de chiffres de la partie entière), soit à la limite la chaîne de symboles $\sum_{i\ge-N}a_i10^{-i}$ ; assurément pas la somme de la série (qui n'a pas d'information sur les décimales !), donc pas un nombre réel.
    3) Idem, avec un flou en plus sur la nature d'une « écriture décimale » quand on ne suppose même pas qu'elle provient d'un réel.
  • gerard0
    Modifié (March 2023)
    Bonjour.
    Pour la 1 :  2,3-5i n'est pas un réel.
    La 2 et la 3 relèvent d'une erreur de catégorie (les nombres ne sont pas des "écritures").
    Cordialement.
  • Foys
    Modifié (March 2023)
    gerard0 a dit : Pour la 1 :  2,3-5i n'est pas un réel.
    2,3-5i est-elle une écriture décimale ?
    Du reste les trois énoncés sont vagues. Il importe de ne pas confondre une chose et la liste des symboles utilisée pour la représenter dans un écrit. Cependant la construction d'une fonction surjective de $\{-1,1\} \times \N \times \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ dans $\R$ (édité) (le $\N$ du milieu indiquant la place d'une virgule) ne pose pas de problèmes particuliers.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Sneg
    Modifié (March 2023)
    Bonjour, et déjà merci à chacun(e).
    Nous semblons d'accord sur le fait qu'il faut faire la différence entre "nombre" et "représentation d'un nombre".

    Ma propre définition d'un nombre n'intéressera personne. Mieux vaut donc s'en tenir à la théorie, en vue - pour moi - de la comprendre. Dans ce but, si vous le voulez bien, prenons un exemple concret. 

    Soit "ceci" : $0,123456789101112131415...$, où l'on égrène, après la virgule, la suite croissante des entiers naturels. (Constante de Champernowne.)
    En quoi est-ce un nombre réel ?
    Merci d'avance.
  • gerard0
    Modifié (March 2023)
    Bonjour Foys.
    Je ne vois pas en quoi 2,3-5i ne serait pas une écriture décimale, elle comporte d'ailleurs une décimale.
    Mais évidemment, à question floue, multiplication d'interprétations.
    Par contre, je ne comprends pas ta réponse, avec cette fonction "de ..." sans ensemble d'arrivée. Ni d'ailleurs le rapport entre la question initiale et le forum "logique".
    Cordialement.
  • JLapin
    Modifié (March 2023)
    Sneg a dit : En quoi est-ce un nombre réel ?
    C'est le nombre réel $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{a_n}{10^n}$, où $(a_n)$ est la suite d'entiers entre $0$ et $9$ que tu as définie un peu plus haut.
  • Foys
    Modifié (March 2023)
    @gerard0 pardon j'ai oublié de mettre "à valeurs dans $\R$": un réel pouvant être assimilé à une suite de chiffres avec une virgule et un signe. Après il faut encore dire si on peut assimiler de telles suites à leur représentation ...
    Pour le 2,3-5i, il y a "i" qui n'est pas un nombre décimal.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Médiat_Suprème
    Modifié (March 2023)
    Voir la construction de Simon Stevin.
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • gerard0
    Modifié (March 2023)
    Foys: Pour le 2,3-5i, il y a "i" qui n'est pas un nombre décimal.

    La question était "Tout nombre ayant une écriture décimale est un nombre réel.". Pourquoi rejeter le symbole i dans l'écriture des nombres. Tout le monde l'admet dans l'écriture des nombres complexes. Tu sembles parti sur du pinaillage absurde.

    En fait, comme Sneg, à son habitude, ne définit pas les mots qu'elle emploie ("Ma propre définition d'un nombre n'intéressera personne") ni "la théorie" dont elle parle, on construit sur du sable.
    Cordialement.

  • Foys
    Modifié (March 2023)
    gerard0 a dit :
     Pourquoi rejeter le symbole i dans l'écriture des nombres. Tout le monde l'admet dans l'écriture des nombres complexes.
    Ce n'est pas je que je fais. J'ai dit que ce n'était pas une écriture décimale. Pas plus que "EF0F311A4421" (écriture en base 16 de 262848527352865). Quand j'en ai besoin, j'utilise la notation des nombres complexes de tout le monde.
    Pour quels $n\in \Z$ peut-on considérer que $\sqrt n$ peut apparaître dans une écriture décimale ? La plupart de gens diraient non pour 2 je présume. Quid de -1?
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Bon, tu confirmes.
  • Dom
    Dom
    Modifié (March 2023)
    Gérard, il suffit (vœux pieux) de se mettre d’accord. 
    Pour moi, une écriture décimale ne contient que 11 symboles : les dix chiffres et éventuellement la virgule. 
    Évidemment ça ne me dérange pas de m’adapter. 
    Parfois il faut un signe, notamment le « $-$ », alors ajoutons ce symbole dans les « licites ». 
    Et s’étendre aux complexes non réels, pourquoi pas mais ça ajoute le $i$ (ce qui ne me gêne pas) mais surtout un $+$ ou un $-$, et là on prend des risque car alors, avec trop de naïveté, on pourrait croire que « 2+1 » est une écriture décimale aussi. 
  • Cela m'attriste de voir des disputes entre gens qui comprennent parfaitement de quoi il retourne, disputes déclenchées par quelqu'une qui lance des choses très vagues avec des intentions très vagues qu'elle se garde bien de préciser, au contraire. Si on arrêtait ce troll ?
  • Zut. Je n’ai pas interprété comme ça, Math Coss. Mais il m’arrive d’être naïf. 
  • rondo
    Modifié (March 2023)
    Bonjour.
    J'espère apporter un petit éclairage sur la question.Sneg a dit :
    Soit "ceci" : $0,123456789101112131415...$, où l'on égrène, après la virgule, la suite croissante des entiers naturels. (Constante de Champernowne.) En quoi est-ce un nombre réel ?
    L'écriture "$42$" représente le calcul "$4\times\text{dix}+ 2$".

    Ainsi, quand on écrit à l'école élémentaire "$6\times7=42$", on transforme un calcul simple "$6\times7$" (une multiplication) en un calcul plus compliqué "$4\times\text{dix}+ 2$" (une multiplication et une addition).
    Pourquoi demander aux élèves de transformer des calculs simples en calculs plus compliqués ? Parce que ces calculs plus compliqués sont plus standards : ils permettent de trouver, parmi une série de calculs, plus facilement le plus petit et/ou le plus grand résultat (Je pense que le but de l'enseignement des mathématiques à l'école était, à l'origine, d'apprendre aux élèves à comparer des prix ou des quantités).

    De même, l'écriture "$53,46$" représente le calcul "$5\times 10 + 3 + \frac{4}{10} + \frac{6}{100}$".

    L'écriture "$5,333\bar{3}$" représente un calcul beaucoup plus compliqué que les exemples précédents. Elle représente le calcul :
    $$ \lim_{n\to+\infty}\quad 5+\sum_{i=0}^{n} \frac{3}{10^i}$$
    L'écriture "$3,517804...$" est ambiguë. C'est une devinette :
        "C'est un nombre plus grand que $3,517804$ et plus petit que $3,517805$, vous voyez de quel nombre je veux parler ?".

    Bien sûr, ce genre de devinette est à éviter en mathématiques. On ne l'utilise normalement qu'accompagné d'une définition précise.

    "Le nombre où l'on l'égrène, après la virgule, la suite croissante des entiers naturels" est une expression dont le sens (non ambigü cette fois) est le calcul :
        Limite (pour n tendant vers l'infini) du résultat du calcul représenté par la concaténation de "0," et des n premiers nombres naturels non nuls.}
  • Médiat_Suprème
    Modifié (March 2023)
    Revenons à Stevin : 
    La construction de Simon Stevin, un mathématicien belge (1548 - 1620)  consiste à considérer les nombres comme une suite finie de chiffres à gauche de la virgule et une suite éventuellement infinie de " décimales ";; on sait que les rationnels sont les nombres dont la suite des décimales est soit finie, soit périodique, les réels sont obtenus lorsque l'on ne pose aucune condition sur les décimales sauf que cette suite ne doit pas être stationnaire égal à 9 à partir d'un certain rang (afin d'éviter les développements impropres).
    Cette construction peut être formalisée (et étendue à toutes les bases de numération).
    Soit $p \in \N$ nous noterons $\mathfrak{U}^p$ l'ensemble des suites $(\mathfrak{U}^p_n)_{n\in\N}$ d'éléments de $\Z/p\Z$ (autrement dit de nombres entiers  entre 0 et $p-1$ compris), qui ne soit pas stationnaire égale à $(p - 1)$ à partir d'un certain rang).
    On définit $\R = \{ (m, (\mathfrak{U}_n^p)_{n\in\N}) \mid m \in \Z \wedge (\mathfrak{U}^p_n)_{n\in\N} \in \mathfrak{U}^p \} $
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • Rondo,

    « Le calcul » ne signifie rien du tout. 
    « Le nombre », oui. 
    Ainsi, l’écriture $0,1234…$ (bien défini dans nos esprits de bonne foi) représente un nombre. 
    C’est une écriture décimale qui le représente.  

    Le terme « calcul » même s’il est commode, est en fait un artifice dont on a besoin pour s’exprimer et être compris par quiconque. 
  • a) définir "écriture décimale"
    b) définir "avoir une écriture décimale"
    c) abandonner le mot nombre.

    Une fois ces trois étapes faits, la première question aura une rédaction du premier ordre et ce sera une formule vraie.
    Vive la France
  • Sneg
    Modifié (March 2023)
    Il m'est reproché de ne pas définir le vocabulaire que j'emploie. C'est ce que je vais faire ci-dessous, afin d'obtenir réponse à mes questions. 

    Ainsi donc, pour moi (!), un nombre réel est un objet mathématique porteur d'une valeur précise qui peut être représentée au moyen d'une quantité finie de symboles dont la signification ne laisse place à aucune équivoque. Par exemple : 

    \begin{array}{|c|c|}
    \hline
    \text{LA VALEUR PRECISE} & \text{LE(S) SYMBOLES(S)} \\
    \hline
    \text{l'unité} & 1 \\
    \hline
    \text{Deux unités} & 2 \\
    \hline
    \text{un quart d'unité} & 1/4 \\
    \hline
    \text{la moitié du nombre positif qui, multiplié par lui-même, est égal à 2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \\
    \hline
    \text{Le cube de la base du logarithme naturel, augmenté de l'unité} & e^3 + 1 \\
    \hline
    \text{Le quart du rapport de la circonférence d'un cercle à son diamètre dans un plan euclidien} & \frac{\pi}{4} \\
    \hline
    \text{Etc.} & \text{Etc.} \\
    \hline
    \end{array}
    J'ai conscience que cette façon d'écrire chaque nombre réel n'est pas unique puisque $1 = 2-1 = 3-2 = \cdots$, mais on connaît déjà cela avec les fractions.
    Cela dit, pareils nombres peuvent faire l'objet d'une représentation sous la forme d'un développement décimal illimité.
    J'appelle aussi "nombre réel" cette forme.
    Maintenant, en sens inverse, tout ce qui ressemble à un développement décimal illimité - comme la constante de Champernowne - peut-il être associé à une valeur précise ?
    Si oui, c'est parfait pour moi.
    Sinon, pourquoi alors élever ce genre de "chose" au grade de "nombre réel" ?

    Dans leur construction des nombres réels (dont Médiat_Suprème, que je remercie d'intervenir, évoque), les mathématiciens se préoccupent-ils de ce qui me préoccupe ? Ou bien, ce que j'ai écrit n'a pas le moindre rapport avec la théorie, ce qui, d'une certaine façon apporterait une réponse à mes questionnements ?
    Merci d'avance.
  • Médiat_Suprème
    Modifié (March 2023)
    La constante de Champernowne tombe clairement dans la définition de Stevin ; si vous cherchez, d'une façon ou une autre, à faire valoir que seuls certains développements mériteraient le nom de réel, sachez qu'il y a beaucoup plus de réels non définissables ou non calculables que de réels définissables ou calculables.

    Quant à la notion de "nombre" elle est beaucoup plus vaste (infiniment) et ne mérite pas une définition à la fois complète et générale
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • Sneg a dit :
    Maintenant, en sens inverse, tout ce qui ressemble à un développement décimal illimité - comme la constante de Champernowne - peut-il être associé à une valeur précise ?
    Si oui, c'est parfait pour moi.
    Oui comme déjà dit par JLapin ICI par exemple.
  • gerard0
    Modifié (March 2023)
    Sneg : Dans leur construction des nombres réels (dont Médiat_Suprème, que je remercie d'intervenir, évoque), les mathématiciens se préoccupent-ils de ce qui me préoccupe ? Ou bien, ce que j'ai écrit n'a pas le moindre rapport avec la théorie, ce qui, d'une certaine façon apporterait une réponse à mes questionnements ?
    Bonjour.
    Dans les maths actuelles, la construction des nombres réels n'a rien de commun avec la façon de les représenter. On définit les entiers, puis les rationnels, puis les réels sans que la base d'écriture (9+1 en général) ne soit concernée (*). Donc pour eux, "les réels existent" (**). Ensuite, on montre que chacun a une ou deux écritures décimale illimitée (***) et que toute écriture décimale illimitée définit un réel et un seul.
    Les réels étant définis ainsi, la phrase "un nombre réel est un objet mathématique porteur d'une valeur précise qui peut être représentée au moyen d'une quantité finie de symboles dont la signification ne laisse place à aucune équivoque" devient fausse.
    L'ensemble des réels est tellement grand que la plupart d'entre eux ne peut pas "être représenté au moyen d'une quantité finie de symboles".
    C'est regrettable, mais c'est ainsi.
    Cordialement.
    (*) 1+1+1 est un entier, qu'on l'écrive 3 en base 10, ou 11 en base 2.
    (**) en un sens très précis que j'éviterai de commenter.
    (***) deux pour les décimaux.
  • Sneg
    Modifié (March 2023)
    Merci à chacun.e d'entre vous.
    Rassurez-moi. Ma vision des nombres réels a existé, à une époque, non ?
  • [Utilisateur supprimé]
    Modifié (March 2023)
    La question est-elle mathématique ou juste, de l'ordre de la terminologie actuelle (dans l'histoire et les mathématiques modernes) ?

    Ce que je dirais spontanément mais c'est personnel, c'est qu'il n'y a pas de réponses absolues à ces questions. Mais plutôt des vérités « relatives » mais potentiellement prolifiques. C'est le cadeau que sont les mathématiques.

    Et pour moi, on fait des maths quand on arrive à écrire des formules qui soient des théorèmes, un théorème étant de la sémantique mais aussi vérifiable.

    Cela revient à dire que toute nouvelle idée de formule, est invalide en math tant qu'on n'a pas établi le contraire. Ce que je pense est confirmée par les mathématiques modernes.
  • gerard0
    Modifié (March 2023)
    Sneg :"Rassurez-moi. Ma vision des nombres réels a existé, à une époque, non ?"

    Pas vraiment. Du moins, c'est une façon de voir qui était vécue (mais pas expliquée) à l'époque où on parlait de nombres sans bien savoir de quoi on parlait, les mathématiques étant essentiellement géométriques. Donc on ne parlait pas de "nombres réels", tout au plus de "nombres longueurs", "nombres-surfaces", .... Puis on s'est mis à travailler fortement sur les nombres, les suites de nombres, les séries de nombres, et à utiliser des fonctions "non mécaniques" comme les logarithmes et l'exponentielle, et on s'est habitué à travailler avec des tas de nombres, pas très bien définis (ln 2, e,...) et au bout de 23 siècles, à penser à l'ensemble de tous ces nombres, qui s'est révélé extrêmement compliqué. Mais on en avait besoin pour éviter de faire sans arrêt des cas particuliers inutiles.

  • Médiat_Suprème
    Modifié (March 2023)
    Simon Stevin donne une construction assez proche, d'ailleurs, afin de dépasser les visions géométriques : 

    Qu’il n’y a aucun nombres absurdes, irrationnels,  irréguliers, inexplicables ou sourds. 
    C'est chose très vulgaire entre les auteurs d'arithmétique de traiter des nombres comme $\sqrt 8$, & semblables, qu'ils appellent absurdes, Irrationnels, irréguliers, inexplicables, sourds, etc.  
    Ce que nous nions, à quelque nombre à venir.

    Simon Stevin {L'arithmétique de Simon Stevin de Bruges (1585).)
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • pour moi (!), un nombre réel est un objet mathématique porteur d'une valeur précise qui peut être représentée au moyen d'une quantité finie de symboles dont la signification ne laisse place à aucune équivoque.

    Si c'est ça la formalisation, il n'y a aucune équivoque : pas de discussion possible !

  • Dom
    Dom
    Modifié (March 2023)
    Un autre exemple. 
    Mais c’est plutôt à cause du fait que le terme « fraction » possède plusieurs acceptions. 
    Le nombre $\dfrac{50}{100}$. 
    Le nombre $\dfrac{1}{2}$. 
    Le nombre $0,5$. 
    Le nombre $50\%$. 
    Quand je parle des nombres. Aucun problème, on comprend bien que je parle de nombre et que je change d’écriture. Et il n’y en a qu’un seul ici : c’est celui dont le double vaut $1$. 
    Par contre quand on dit « la fraction $\dfrac{1}{2}$ est un nombre » ou plus généralement « une fraction est un nombre » ça pose un problème. Je pense qu’on devrait plutôt dire « la fraction $\dfrac{1}{2}$ représente un nombre ». 
    Pour moi, « la fraction » dans ce contexte est un raccourci de « l’écriture en fraction » qui ne peut pas être un nombre. 
    Le meilleur exemple que j’ai pour disqualifier le fait qu’une fraction est un nombre (au moins dans certains cas) c’est quand on parle de « fraction irréductible ». Là on parle bien de l’écriture d’un rationnel en fraction.Dans certains manuels, on voit que « fraction » est synonyme de « rationnel » notamment. 
    Il y a les mêmes discussions avec « nombre décimal » et « fraction décimale ». 
    Je reviens cependant à ce que je disais au début : le terme « fraction » peut désignent plusieurs acceptions (même dans le secondaire seulement). 
    Ça peut être l’écriture (je choisis que c’est son sens premier et je ne l’utilise que comme ça sauf peut-être dans des exceptions rares). Ça peut être le nombre lui-même (une fraction de l’unité, d’une quantité). Ça peut même être irrationnel dans le langage courant (une fraction de seconde peut désigner, qui sait, un nombre irrationnel de seconde - c’est plus petit que 1 dans ce cas là…). 
    Enfin : il me semble que l’on peut faire les parallèles entre la nature des nombres et leurs caractérisations selon certaines écritures. 
    Entier - écriture décimale sans la nécessité d’une virgule - fraction de dénominateur 1
    Décimal - écriture décimale limitée (en symbole) - fraction décimale 
    Rationnel - écriture décimale périodique à partir d’un certain rang - fraction

    Édit : merci Math Coss
  • Rationnel <--> développement en fraction continue fini.
    Irrationnel quadratique <--> développement en fraction continue ultimement périodique (i.e. périodique à partir d'un certain rang).
  • [Utilisateur supprimé]
    Modifié (March 2023)
    En fait, ce n'est pas forcément propre aux nombres, cette idée de distinction entre une représentation et l'idée plus « physique » d'un objet (localisé peut-être).
    On peut en effet, par exemple, se faire la même remarque avec la distinction entre coordonnées de vecteurs dans un espace de vecteurs, et le vecteur lui-même.
    Ensuite, on « passe » des coordonnées du vecteur au vecteur, et du vecteur au tenseur.
    Le vecteur prenant la place des coordonnées et le tenseur prenant la place du vecteur.
    Le tenseur étant une propriété géométrique entre vecteurs d'ordre n ($n \ge 2$ ?).
    Et pourtant un tenseur, ce n'est pas compliqué en soi, toute personne étant allé jusqu'en première, en connait au moins un (d'ordre 2), le produit scalaire. Voir cette vidéo

    En fait, la ou les variables ne sont plus les coordonnées des objets mathématiques solutions de certaines équations, mais on utilise à leur tour ces fonctions comme des variables, et les « inconnues » deviennent les équations reliant ces fonctions.
  • Sneg
    Modifié (March 2023)
    @Bonjour, Dom,

    Dans le petit tableau que j'ai fait un peu plus haut, tu pourras voir que la fraction $\frac{1}{4}$ est dans la catégorie "SYMBOLE(S)" : Elle représente le nombre dont la valeur précise est "un quart d'unité". La fraction $\frac{1}{4}$, qui est clairement un symbole, n'y est donc un nombre que par raccourci de langage.

    Cela dit et malgré que "toute discussion soit impossible" (comme l'a plus ou moins écrit Math Coss), j'entrevois à propos des nombres réels un lien entre @votre discours et le mien : 

    $\bullet$ Dans mon discours, le nombre (que j'identifie à une valeur précise) existe avant même que n'existe sa représentation.
    Cela dit, au moyen des symboles que je crée pour représenter des nombres, je peux représenter (en premier) d'autres nombres (dont l'existence n'arrive alors qu'en second).

    $\bullet$ On dirait que c'est ce qui se passe dans les mathématiques actuelles : On représente en premier des "choses" (avec une infinité de chiffres et une virgule) et en second on en détermine la valeur. Ce sont des nombres.

    À supposer que ce que je viens d'écrire ait un sens, il me reste à découvrir comment on détermine la valeur de ces "choses".
    Bonne journée.
  • Que veut dire (que j'identifie à une valeur précise) pour les nombres non définissables ou non calculables ?
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • Sneg
    Modifié (March 2023)
    Si tu confirmes l’existence de nombres non définissables ou non calculables, alors le lien naissant entre votre conception des nombres réels et la mienne est rompu.
    La rupture bête et brutale. 
  • JLapin
    Modifié (March 2023)
    Sneg a dit :
    A supposer que ce que je viens d'écrire ait un sens, il me reste à découvrir comment on détermine la valeur de ces "choses".
    En fait, pour toi, $e$, $\pi$ et $\sqrt 2$ sont des nombres car tu peux les rentrer dans une calculatrice, alors que tu ne peux pas rentrer 0,123456789101112.... dans cette même calculatrice ?
    C'est un peu naïf comme façon de voir les réels.
  • Dom
    Dom
    Modifié (March 2023)
    Je ne comprends pas ce que tu dis. 
    « On représente en premier… puis on en détermine la valeur ». 
    Par exemple, quand on construit avec des quotients (groupe, anneau…), on ne représente « rien ». 
    On dispose de $\N$, puis la construction de $\Z$, puis celle de $\Q$ et enfin $\R$ avec l’analyse (suites de Cauchy).
  • Sneg
    Modifié (March 2023)
    JLapin
    Médiat_Suprème m’a parlé de nombres non définissables ou non calculables. Je n’ai aucune raison de ne pas le croire, vu qu’il s’y connaît infiniment plus que moi et que je subodorais l’existence de ces nombres. Mais l’info ne tombait pas, en tout cas pas aussi clairement que cela. Maintenant que l’info est tombée, tout est clair.
    Merci à tous.
  • Je crois avoir compris que Sneg limite la qualité de nombre réel à ce qu'il peut taper sur sa calculatrice. Normalement, on dépasse ce stade au moins une fois qu'on rencontre les suites convergentes.
  • Sneg
    Modifié (March 2023)
    Pardon, Dom, je n’avais pas vu ton dernier message. Merci.
    S’il existe bel et bien des nombres réels non définissables et non calculables, alors ce fil a enfin obtenu une réponse.
    Encore une fois, merci à tous et pardon pour l’irritation que je peux susciter.
  • Médiat_Suprème
    Modifié (March 2023)
    Personnellement, j'ai identifié 37 modes de construction des réels
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • [Utilisateur supprimé]
    Modifié (March 2023)
    Donc ça veut dire que ta question n'a plus de motivation, si on se restreint aux nombres réels définissables et calculables, comme $\sqrt 2$ par exemple.
  • gerard0
    Modifié (March 2023)
    Bon, on devrait pouvoir clore ce sujet, Sneg ayant une fois de plus dit sa position philosophique : Ce qui n'est pas parfaitement défini n'existe pas pour elle. Base de quasiment toutes ses interventions sur le forum. Position éminemment respectable mais qui ne permet pas de parler de maths. Ce qu'elle fait pourtant à chaque nouvelle intervention.
    Cordialement.
  • [Utilisateur supprimé]
    Modifié (March 2023)
    Peut-être, mais dans le fond peu m'importe, car même un nombre incalculable possède un développement décimal sauf qu'il n'est pas calculable (cela signifie qu'au moins une décimale ne l'est pas), c'est tout. Je ne vois pas en quoi ça permet à @Sneg de répondre ni le lien avec sa question.

    Mais si la discussion ne peut pas être prolongée à cause de cet argument, en effet, c'était sans doute une « fausse » question, inutile. Et elle pourrait être close en effet, sans conséquence négative.
  • Alain24
    Modifié (March 2023)
    @Sneg
    1) oui  tout nombre réel a une écriture décimale.
    2) et 3) Non l'écriture d'un nombre n'est pas un nombre c'est sa représentation. De la même manière ornithorynque n'est pas un ornithorynque.
  • une représentation.
  • À la vue du dernier message de gerad0, qui propose la fermeture de ce fil, j’aimerais pouvoir intervenir une dernière fois.
    Merci d’avance aux administrateurs. 
    Je reviens dès que possible.
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