Cauchy-Schwarz différentiel

SandwichFromage

Bonjour
Si $f$ est une fonction $C^2$ sur $\mathbb R$ telle qu'elle et sa dérivée seconde soient de carré intégrable, alors $f'$ est de carré intégrable et on a la magnifique inégalité $$ \int_{\mathbf R}(f')^2 \leqslant \sqrt{\int_{\mathbf R}f^2} \sqrt{\int_{\mathbf R}(f'')^2} . $$
Étonnamment, je sais la démontrer lorsque $f$ est définie (et $C^2$, et $L^2$ avec sa dérivée seconde) sur $\mathbb R$ tout entier, mais je n'arrive pas à prouver l'analogue sur $\mathbb R^+ $ : avec $f$ vérifiant les mêmes hypothèses (mais sur $\mathbb R^+$ seulement), un exo de la RMS demande pourtant de montrer que $ (\int_0^\infty f'^2)^2 \leqslant \int_0^\infty f^2   \int_0^\infty (f'')^2 $.
Voici en quoi la preuve coince :
La relation $ \int_0^x (f')^2 + \int_0^x ff'' = [ff']_0^x$  montre $ff'$ admet une limite en $+\infty$ ($ff''$ est intégrable par C-S)
Avec $\int_0^x ff' = \frac{f(x)^2}{2} - \frac{f(0)}{2} $, on montre que $ff' \xrightarrow[+\infty]{} 0 $ (la limite existe, et si elle était non nulle, l'intégrale du membre de gauche tendrait vers $\pm\infty$, donc $f^2$ aussi, contredisant le fait que $f$ soit $L^2$.
Finalement, on peut écrire $ \int_0^\infty (f')^2 = [ff']_0^\infty - \int_0^\infty ff'' $
Si on veut montrer l'inégalité sur $\mathbb R$, pas de problème, on remplace $0$ par $y$ dans la relation précédente, et on le fait tendre vers $-\infty$ :
Par un raisonnement analogue,  $ff' \xrightarrow[-\infty]{} 0 $, donc 
 $ \int_{-\infty}^{+\infty} (f')^2 = [ff']_{-\infty}^{+\infty} - \int_{-\infty}^{+\infty} ff'' = - \int_{-\infty}^{+\infty} ff'' $ (le crochet étant nul, du coup) et on conclut par C-S.
On voit bien où on a utilisé le fait que $f$ était définie sur $\mathbb R$. Mais comment faire sur $\mathbb R^+$ ?
J'ajoute une question. Cette inégalité porte-t-elle un nom ? Je me doute que ce n'est pas "Cauchy-Schwarz différentiel"... x)

JLapin

A mon avis, c'est une erreur d'énoncé et la fonction $x\mapsto e^{-x/2} (\sin(\sqrt 3/2 x)+3 \cos(\sqrt 3/2 x))$ me semble être un contre-exemple.

Avec un facteur $4$, ça devient correct mais c'est un peu pénible à démontrer.

SandwichFromage

D'accord. Comment as-tu trouvé cette fonction ? 

SandwichFromage

Ah aurais-tu utilisé une équation différentielle d'ordre deux..?  

JLapin

Ca y est, j'ai retrouvé l'énoncé qui en parle.

https://www.doc-solus.fr/prepa/sci/adc/pdf/enonces.pdf/2011/MP_MATHS_MINES_2_2011.enonce.pdf

Pour la fonction, j'avais de vagues souvenirs que ce type de fonction intervenait dans un cas d'égalité et j'ai tâtonné avec un logiciel de calcul.

SandwichFromage

Dacodac, merci

Math Coss

Eh beh ! Je ne sais pas d'où ça sort mais ça passe juste.

sage: f = exp(-x/2)*(sin(sqrt(3)/2*x)+3*cos(sqrt(3)/2*x))
sage: ((integral(diff(f,x)^2,(x,0,infinity)))^2).expand()
-9*sqrt(3) + 603/16
sage: ((integral(diff(f,x)^2,(x,0,infinity)))^2).n()
22.0990427318801
sage: (integral(f^2,(x,0,infinity))*integral(diff(f,x,x)^2,(x,0,infinity))).expand()
9/4*sqrt(3) + 18
sage: (integral(f^2,(x,0,infinity))*integral(diff(f,x,x)^2,(x,0,infinity))).n()
21.8971143170300

JLapin

Remplace 3 par 30 dans ta fonction : l'écart est un peu plus spectaculaire

Math Coss

Effectivement, le membre supposément plus petit est plus de deux fois plus grand que l'autre : environ 130.000 d'un côté, 300.000 de l'autre.