Chasse aux angles pour démontrer le concours des bissectrices

Dom

Bonsoir, 

En m'amusant sur un exercice trouvé sur un réseau social, j'ai trouvé un moyen de démontrer que les bissectrices des angles d'un triangle sont concourantes.
Le seul outil est : la somme des mesures des angles d'un triangle vaut 180°.
Bon, il faut savoir ensuite manipuler des égalités (soustraire membre à membre notamment) et donc ça reste difficile pour un collégien lambda.

Voici l'exercice : les droites bleues sont en position "bissectrice" comme les droites rouges.

1) On démontre que les angles verts sont en relation arithmétique (celui en E est la moyenne des deux autres).
Remarque : c'est ce résultat que je ne connaissais pas et que je trouve amusant. J'ai eu l'idée de l'utiliser dans un cas particulier (l'angle en D est plat), c'est l'étape suivante...

2) On utilise ce résultat dans le cas particulier où D est sur la droite (AB). En gros, les demi-droites du bas ne forment qu'une droite.
Cela revient à regarder les bissectrices d'un triangle. Et là encore, avec deux trois égalités (180°) on démontre le concours des bissectrices du triangle.

NicoLeProf

Merci beaucoup d'avoir partagé Dom ! J'ai enfin trouvé après m'être embrouillé dans des égalités d'angles ! ^^'

Cela fait un bel exercice de différenciation pédagogique à proposer aux élèves brillants/experts qui ont fini le travail avant les autres, ça fait un sujet de recherche accessible à partir du niveau 5ème ! 

Dom

Oui on peut le voir comme ça.  

La grosse difficulté à ce niveau est de travailler avec des égalités.