Processus MA

malavita

Bonjour à tous,
je dispose de deux bruits blancs gaussiens non corrélés entre eux, que je note $(\epsilon_t)$ et $(\eta_t)$. À partir de ces bruits, je construis le processus:

$$X_t=\epsilon_t+\eta_t-2\eta_{n-1}.$$

J'aimerais montrer que $(X_t)$ est un processus MA(1). Pour cela, je calcule la fonction d'auto-covariance $\gamma$ et j'obtiens que $\gamma(h)=0$ pour $|h|>1$, de ce fait je peut déduire que $(X_t)$ est un processus MA(1). Il s'écrit donc sous la forme : $$X_t=u_t+\alpha u_{t-1},$$ où $(u_t)$ est un autre bruit gaussien.

Est-il possible d'obtenir l'expression explicite de ce bruit en fonction des bruits initiaux ?
D'avance merci
Bonne journée
F.

PS : $t \in \Z$.

PPS: Ce que j'arrive à obtenir c'est la variance de $(u_t)$ en fonction des variances des bruits initiaux.

malavita

Une seconde question dans le même domaine : je dispose cette fois ci d'un processus AR(1) défini par :

$$X_t=\mu+\phi X_{t-1}+\epsilon_t$$

On me demande la prévision à horizon $h$ de ce modèle, naïvement j'aurais tendance à exprimer $X_t$ en fonction de $X_{t-h}$, ce qui donne un truc du genre : $$X_t=(1+\phi+\cdots+\phi^{h-1}) \mu + \phi^h X_{t-h}+ \sum_{i=0}^{h-1} \phi^i \epsilon_{t-i}.$$

Cela semble-t-il correct ?
A+
F