Équation de type $a^2-b^2=2n+1$

Vrfss
Modifié (February 2023) dans Arithmétique
Bonjour, pour ce type d'équations au lycée on apprend à la résoudre en factorisant a^2-b^2 par (a-b)(a+b) pour trouver les solutions, j'ai une autre façon de trouver les solutions et je ne sais pas si elle est plus rapide la voici avec un exemple.
a^2-b^2=39
- on sait que tout nombre impair est la différence de 2 carrés consécutifs, on remplace a par b+1 et on trouve 39=2b+1, b=19 et a=20 comme a et b sont mis au carré on n'oublie pas les solutions négatives.
Pour vérifier s'il y a d'autres couples (a,b) entiers on utilise cette formule : (a-b)(2b+(a-b)) comme 39 est impair il faut que (a-b) le soit aussi on a testé avec 1 on teste avec 3, on a 39=3(2b+3) on trouve b=5 et a=8. Pour (a-b)=5 les solutions ne sont pas entières on met donc fin à la recherche et on a trouvé toute les solutions. Après pour les équations de type a^2-b^2=2n, (a-b) doit être pair.

Réponses

  • Un programme pour résoudre dans Z  , x²-y²=a   ?
    Le 😄 Farceur est fasciné par  notre  cher Nico-le prof le sérieux


  • J'ai écris un programme et me donne en plus  les solutions 20 et 19
    Le 😄 Farceur est fasciné par  notre  cher Nico-le prof le sérieux


  • J'ai déjà cité les solutions 20 et 19 juste en haut 😅
  • Vrfss
    Modifié (February 2023)
    Si on ne reste pas dans Z alors on trouve une infinité de solutions. Mais ce que je voulais savoir c'était si un tel raisonnement est bon, puisque ce n'est pas comme ça qu'on enseigne à résoudre une telle équation.
  • etanche
    Modifié (February 2023)
    Si r un nombre rationnel donner une parametrisation rationnel de $x^2-y^2=r$ 
  • Vrfss
    Modifié (February 2023)
    Exemple : prenons r=14/3 
    Je choisi que a-b=1/2
    J'ai donc 1/2(2b+1/2) = 14/3 
    Je me retrouve avec b= 53/12 et a= 59/12
    Puisque a=53/12+1/2 
    Ainsi en changeant la différence entre a et b je peux trouver une infinité de solutions à l'équation.
  • scd
    scd
    Modifié (February 2023)
    Bonjour (en répondant à l'avant dernière remarque de Vrfss)
    Je ne sais pas comment cela est enseigné pour trouver des solutions dans Z (car je n'ai jamais mis les pieds dans un lycée de ma vie et je ne pense pas que cela soit enseigné au collège) mais par contre un programme est très simple à écrire avec une boucle si on utilise les asymptotes de l'hyperbole car la boucle sera conditionnée par un maximum dépendant de l'une des asymptotes (notre hyperbole étant exprimée sous sa forme réduite, le programme est d'autant plus facile qu'aucune réduction vient se surajouter à l'écriture)  
  • Vrfss
    Modifié (February 2023)
    Au lycée, enfin la où je suis on résout par exemple a^2-b^2=39 en factorisant a^2-b^2 par (a-b)(a+b) pour trouver ensuite les solutions dans Z. Mais le but n'est pas d'en faire un programme mais de trouver des solutions à la main.
  • bonjour tu fais comment avec a^2-b^2=336 avec ta méthode .
    Le 😄 Farceur est fasciné par  notre  cher Nico-le prof le sérieux


  • Vrfss
    Modifié (February 2023)
    Pour trouver l'ensemble des solutions je pose (a-b)(2b+(a-b))=336. Si je cherche uniquement les solutions dans Z je remplace (a-b) par les plus petits entiers pairs jusqu'à ce que b n'appartienne plus à Z, pourquoi pair car 336 est pair.
    1 ère solution : 336=2(2b+2), b=83 et a=85
    2 ème solution : 336= 4(2b+4), b =40 et a =44
    3 ème solution : 336= 6(2b+6),b=25 et a = 31 
    4 ème solution : 336= 8(2b+8),b=17 et a = 25 
    5 ème solution : 336= 10(2b+10),b= 11,8 et a = 21,8.
     b n'appartient plus à Z j'ai donc 4 couples de solutions (a,b) qui appartienent à Z pour l'équation a^2-b^2=336.
  • Hum je vois la faille pour (a-b)=12 on a b=8 et a= 20 qui sont solutions de l'équation aussi, comment je pourrais savoir si j'ai trouvé toute les solutions avec ma méthode alors ?
  • gebrane
    Modifié (February 2023)
    Avec mon programme je trouve ( je donne les solutions dans $\N$, leurs opposés sont aussi des solutions)
    Entrez un entier a : 336
    Solution : x = 19, y = 5
    Solution : x = 20, y = 8
    Solution : x = 25, y = 17
    Solution : x = 31, y = 25
    Solution : x = 44, y = 40
    Solution : x = 85, y = 83
    Le 😄 Farceur est fasciné par  notre  cher Nico-le prof le sérieux


  • Vrfss
    Modifié (February 2023)
    On trouve effectivement (19,5) quand on remplace (a-b) par 14 donc c'est à partir de (a-b)= 16 qu'on doit arrêter la recherche, à présent il faut que je trouve quelque chose qui justifie qu'on arête la recherche à 16 et non à 10.
  • Tu fais la décomposition en nombres premiers de 336
    Le 😄 Farceur est fasciné par  notre  cher Nico-le prof le sérieux


  • scd peux-tu donner ton programme
    Le 😄 Farceur est fasciné par  notre  cher Nico-le prof le sérieux


  • Vrfss
    Modifié (February 2023)
    Ça revient au final à faire 336=(a-b)(a+b) si je décompose en facteurs premiers. Peut-être qu'il faut trouver 2 solutions consécutves qui n'appartiennent pas à Z pour être sûr d'avoir trouvé toute les solutions ?
  • C'est ta méthode à toi de nous convaincre  :D
    Le 😄 Farceur est fasciné par  notre  cher Nico-le prof le sérieux


  • Vrfss
    Modifié (February 2023)
    Jusqu'à preuve du contraire je dirais qu'on a trouvé tout les solutions dans Z lorsque on tombe sur 2 b consécutifs n'appartenant pas à Z. Par contre pour R ma méthode marche bien, pour π= a^2-b^2 et (a-b)=π je pose π=π(2b+π) et b =(1-π)/2 et a= (1+π)/2.
  • NicoLeProf
    Modifié (February 2023)
    J'ai peut-être quelque chose qui répond à ta question @Vrfss .
    Si je reprends l'exemple de Gebrane avec $336$ et ta méthode.
    On cherche $(a-b)$ pair et positif tel que : $(a-b)(2b+a-b)=336$ .
    Je dirais qu'on a quand même besoin de décomposer $336$ en produits de facteurs premiers : $336 = 2^4 \times 3 \times 7$ .
    $(a-b)$ pair signifie alors qu'il y a un facteur $2^i$ avec $1 \leq i \leq 4$ dans sa décomposition en produit de facteurs premiers.
    Cela nous donne beaucoup de possibilités pour $a-b$ ($16$ : facile à voir avec un arbre).
    Il faut réduire l'éventail des possibilités en cherchant les solutions positives ($a$ et $b$ positifs et il suffira de prendre les opposés pour avoir les solutions négatives).
    Ainsi, on veut que $b \geq 0$ soit $2b+(a-b) \geq (a-b)$ ainsi, $(a-b)(2b+a-b) \geq (a-b)^2$ (sachant qu'on prend $(a-b) \geq 0$) donc on veut que $336 \geq (a-b)^2$ . Donc tant que $(a-b)^2 \leq 336$ i.e : $a-b \leq \sqrt{336}$, on pourra tester si on a une solution et on s'arrêtera quand $a-b > \sqrt{336}$ .
    En pratique maintenant : $\sqrt{336} \approx 18,3$ donc on va tester $a-b$ jusqu'à $18$ .
    On doit donc tester les possibilités pour $a-b$ dans $\{2 ; 2^2 ; 2^3 ; 2^4 ; 2 \times 3 ; 2 \times 7 ; 2^2 \times 3 \}$ i.e : $\{2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 14 ; 16\}$  . 
    Seul le cas $a-b=16$ dysfonctionne car $2$ ne divise pas $a+b$ dans ce cas donc $a+b$ n'est pas entier.
    Si tu ne décomposes par $336$ en produit de facteurs premiers, tu peux en effet ajouter $10$ dans la liste des nombres à tester mais c'est "dommage" car on voit directement que ce n'est pas possible.
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • Une remarque d'ailleurs : si je ne m'abuse, l'équation : $a^2-b^2=c$ n'a pas de solution dans le cas où $c$ est pair mais non multiple de $4$ .
    En effet, si $c$ est pair, alors $2$ divise $a-b$ ou $a+b$ mais si $2$ divise l'un des deux ($a-b$ ou $a+b$), $2$ divise l'autre donc $(a-b)(a+b)$ est divisible par $4$ dans ce cas.
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • Nice Le prof +1
    Le 😄 Farceur est fasciné par  notre  cher Nico-le prof le sérieux


  • Vrfss
    Modifié (February 2023)
    Oh d'accord je comprends, je pensais pouvoir me passer de la décomposition en facteurs premiers pour aller plus "vite" avec ma méthode dommage. 
  • Vrfss
    Modifié (February 2023)
    Autre question est-ce qu'il y a plus de solutions dans R pour a^2-b^2=c que dans C ? Puisque dans R les solutions peuvent être négatives, élevées au carré elle seront toujours positives mais ce n'est pas toujours le cas dans C.
  • Je ne comprends pas ta question, un nombre réel est en particulier un nombre complexe
    Le 😄 Farceur est fasciné par  notre  cher Nico-le prof le sérieux


  • Un nombres complexe au carré peux être négatif mais pas un nombres réel il doit y avoir des solutions en plus en ou en moins pour une équation de type a^2-b^2=c ou pas ?
  • "... un nombre réel est en particulier un nombre complexe".
    On a le droit de penser, face à une réponse.
  • visiteur
    Modifié (12 Feb)
    etanche a dit :
    Si r un nombre rationnel donner une parametrisation rationnel de $x^2-y^2=r$ 
    $\begin{aligned} & x^2-y^2=r \\ & (x-y)(x+y)=r\end{aligned}$
    il existe $s \in \mathbb{Q}^*$, $\quad\left\{\begin{array}{l}x-y=\dfrac{r}{s} \\ x+y=s\end{array}\right.$ 
    donc $\ \left\{\begin{array}{l}x=\dfrac{s^2+r}{2 s} \\ y=\dfrac{s^2-r}{2 s}\end{array}\right.$
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.