Agreg interne partie III (suite)

bd2017

Bonjour
https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/2333290/agregation-interne-partie-ii-entiers-p-adiques#latest

J'ouvre une nouvelle discussion concernant le sujet d'Agreg interne 2023 (voir le lien ci-dessus). 
Essentiellement, la  raison de vouloir ouvrir un nouveau fil est que le précédent est anormalement long et  on risque  de s'y perdre. Ensuite j'ai quelques questions (bonnes ou fausses) dont j'aimerais avoir la réponse de ceux qui s'y connaissent bien mieux que moi en algèbre.  
Je rappelle que le sujet concerne les entiers p-adiques.  

Si on regarde la  partie  3,  qui concerne  les termes nuls d'une suite récurrente linéaire, il n'y a rien de bien méchant à répondre aux questions. 

J'ai voulu répondre à 55.  mais sans admettre le résultat donné en italique.  Je pense y arriver, ce n'est pas très facile,

puisqu'il faut des résultats intermédiaires qui ne sont pas donnés dans le sujet ($\theta(\N) $  est dense   $\theta(\Z),$  $Z_p$ est compact... ). 

Mais  mon problème pour l'instant c'est ce qui est admis dans l'énoncé (en italique  Q54). En effet, si j'admets cela et que je considère  la suite de fonctions $f_j$  de $\Z$ vers $\Z$ définie par $f_j(2 n)=1, f_j(2 n+ 1)=0, \forall n \in \N $  (ou $n\in \Z,$ peu importe).  

On pose $S(n)=\sum_{j\geq 0} \dfrac{p ^j f_j(n)}{j!}.$  
C'est clair que $S(2 n+1)=0, \forall n\in \N$  et d'après ce qu'il est admis, $S$  s'annulant une infinité de fois, s'annule pour tout entier naturel $n: $    $S(n)= 0,\ \forall n\in \N.$
Par conséquent pour les entiers pairs,    on obtient $S( 2n )= \sum_{j\geq 0} \dfrac{p^j }{j!}=0$   C'est-à-dire qu'on a  $e^p=0.$  Il y a un bug  quelque part ?

Paul Broussous

Tu as raison, je pense qu'il y a une erreur d'énoncé. Je vais regarder ça de près.  A+

OShine

Je n'ai pas eu le temps de commencer cette partie mais j'essaierai de mettre ce que j'ai trouvé ici.

Paul Broussous

D'après la preuve de Terence Tao (cf. son blog https://terrytao.wordpress.com/2007/05/25/open-question-effective-skolem-mahler-lech-theorem/#more-34 ), on a en fait seulement besoin du résultat pour $f_j (n)$ polynôme en $n$ à coefficients entiers, pour tout $j$. Ce qui doit être aussi le cas dans le sujet d'agrégation.  A suivre ...

 (Ajout) Le résultat qui est caché derrière le résultat admis dans le sujet est le suivant : si une fonction analytique sur $\Z_p$ (c'est-à-dire développable sur $\Z_p$ tout entier en une série entière) s'annule une infinité de fois sur $\Z_p$, elle est identiquement nulle sur $\Z_p$.

bd2017

@Paul Broussous    Voilà    pour  55:    on montre facilement  que  $u_{n k+ r} $  est   $u_{n k+ r}=S(n)=\displaystyle  \sum_{j=0}^n  a_j p^j  C_n ^j$  où j'utilise la notation  $C_n^j$  pour $binomial(n,j).$  Les  coefficients $a_i$   sont dans $Z_p $   (ils s'expriment avec $B^j$)

Donc ça c'est facile. Ensuite, on applique ce qui est admis, sauf que c'est  faux à mon avis.

Alors je cherche à démontrer le résultat faute d'un énoncé correct.

Voici les étapes:   On montre

1.  $\N$  est dans dans $Z_p$ et $Z_p$  est compact. 

2.  On  a aussi   $ S(n)=\displaystyle \sum_{j=0}^\infty   a_i p^j  C_n ^j,$ la convergence étant uniforme, et, vu la densité de $\N$  on peut prolonger la série    à $Z_p$  pour obtenir la fonction continue  sur $Z_p$  définie par $S(x)=\displaystyle \sum_{j\geq 0}  a_j p^j  C_x^j.$ 

Pour rappel $C_x^{j}=\dfrac{x (x-1)....(x-j+1)}{j!}, $  et c'est un polynôme  de degré $j.$

3.   Les sommes partielles de la série sont des polynômes $P_n$  de degré $n.$  Posons  $P_n(x)=\displaystyle  \sum_{j=0}^\infty   a_j^{(n)} x^j .$ 

Et $a_n=(a_0^{(n)} ,a_1^{(n)},....)$  la suite des coefficients qui est donc dans le compact $Z_p^{\N}$  (produit dénombrable de compact. )

En extrayant une sous suite convergente on obtient que S  admet un  développement en série entière  de la forme

$ S(x)=\displaystyle\sum_{j=0}^\infty {a_j} x^j , a_j\in Z_p$  

4.  Evidemment  la suite $a_n$  converge $0$ et on démontre que si elle n'est pas nulle elle admet un nombre fini de zéros. 

Dans ton lien  je ne vois pas pourquoi après avoir mis $(n-n_0)$   en facteur, c'est à dire $P(n)=(n-n_0) Q(n)$ et  pourquoi $Q$ est continue  (en $n_0$). Et même qu'entend-t-on "par degré du coefficient constant $Q_0(n)$" et pourquoi "il est plus petit que celui de $P_0(n).$  " C'est surement correct mais je ne comprends pas. C'est pourquoi j'ai cherché à écrire $S(x)$  sous la forme d'une série entière car le point 4. je connais la démonstration

Edit. Le point 4.  c'est  le théorème  de Strassmann's   https://en.wikipedia.org/wiki/Strassmann's_theorem  

bd2017

Julia Paule a dit :

$e^5 \in \Z$ ? Si c'est le cas, alors $\theta (e^5)=\theta(e)^5$, mais $e = e_5(1)$ n'est pas défini.

Je ne suis pas d'accord avec ça.  D'abord  quand j'écris  $e^p\in Z_p $  (où  dans ce cas particulier $e^5\in Z_5 $)  je pense que tu as compris  qu'il s'agissait  de l'exponentielle $p$-adique de $p$, définie en  Q56.  C'est-à-dire que $e^p=\sum_{n\geq 0} \dfrac{p ^n}{n!} $  (bien défini car la série est convergente).

Donc l'écriture de ce nombre que j'ai simplifié  c'est avec les notations de l'énoncé $e_p(p).$  Au moins j'espère que tu es d'accord avec cela. Ce n'est qu'une notation et $e$  n'a pas de sens en tant que tel dans $Q_p.$  

Maintenant  pour $x\in Z_p$  on peut se permettre d'écrire  $e^{nx}= ( e^x)^n $  en vertu   de Q57  ssi  ($v_p(x) > \dfrac{1}{p-1}$)  

Donc  pour passer de   $\theta (e^5)=\theta(e)^5$   moralement, tu as appliqué   Q57  avec  $x=1$ mais tu n'as pas le droit.  

Que dirais-tu si j'écrivais $e^{5}=e^2 e^3$    puis    $e^5\in Z_p$  alors    $\theta(e^5) =\theta( e^2) \theta (e^3) $... c'est exactement ce que tu as fait.

Pour moi la question reste entière et je ne pense pas que cela soit facile. Maintenant il se peut que quelqu'un sur le forum ayant des connaissances sur le sujet puisse répondre où donner un avis éclairé sur la question.

bd2017

@Rakam Ce que tu as écris  est certainement correct.  Je pense avoir mis ceci
$p$  est premier  alors $a_0$  est inversible dans $\Z/p\Z$  et  même $a_n$ est inversible dans $\Z/p^{n+1} \Z.$ 
(en effet $a_n=a_0 [p]$  donc $a_n$ est premier avec $p$ et donc avec $p^{n+1}.$ )
Alors pour tout $n\in \N$  on pose $b_n\in [[0, p^{n+1}-1]]$ tel que $a_n b_n=1 [p^{n+1}]$ 

Maintenant $a_n b_n=1 [p^{n+1}]$    implique  $a_n b_n=1 [p^{n}]$  et on multiplie  par $b_{n-1}$     (qui est l'inverse de
$a_{n-1}$  dans $Z/p^{n}\Z$)  ce qui donne bien $b_n=b_{n-1} [p^{n}] $  (et  cette récurrence  justifie l'appartenance de $b$ à $Z_p$ )
J'espère que tu es d'accord. 

Julia Paule

@bd2017, je suis d'accord avec tout ce que tu écris, sauf peut-être sur la fin que je n'ai pas compris.
C'est bien $e^5=e_5(5)=e_5(1+1+1+1+1)=(e_5(1))^5$.
 (Q57)
Sauf que $v_5(1)=0 \leq 1/4$, donc $e_5(1)$ n'est pas défini dans $\Q_5$, en fait il n'existe pas, car je suppose que la série diverge dans $\Q_5$ (à confirmer).
En fait, ce que j'ai écrit n'est pas une démonstration, c'est juste une constatation. Mais il faudrait définir ce que tu entends par "on n'a pas le droit".
Mais sur le fond, je suis d'accord, $e(1)^5$ est défini, mais pas $e(1)$, de la même façon que $i^2$ est défini dans $\R$, mais pas $i$ (même si la situation est un peu différente car la série $e(1)$ doit diverger), et cela n'est pas une démonstration que $-1 \not \in \R$ !
Dans tous les cas, ce n'est pas une démonstration que $e^5$ n'est pas entier.

Julia Paule

En fait, on "n'a pas le droit" d'écrire seulement même $e^5$ car $e=e_5(1)$ n'est pas défini dans $Z_5$ (même sans regarder si la série diverge ou non).
Il vaut mieux rester avec l'écriture $e_5(5)$. Retour à  la case départ pour savoir si ce nombre est entier, ou même seulement rationnel. Intéressant.
EDIT : On voit facilement que la série $e_p(1)$ diverge pour tout $p$.

Julia Paule

La question 54. répond immédiatement à la question de savoir si $e_5(5) \in \Z_5$, et ceci pour tout $p \geq 3$. Reste à savoir s'il est dans $\Z$.

Area 51

Selon la décomposition d'Hensel x = \sum_{i = v_p(x)}^{+\infty} u_i p^i et la définition de l'exponentielle : e_5(5) = \ldots 1\underline{4231}42311.{}_5.

Julia Paule

Ok merci @Area 51. Je vois dans un site Internet qu'un nombre p-adique est rationnel ssi sa décomposition de Hensel est périodique à partir d'un certain rang. Je vais essayer de vérifier cette décomposition.

bd2017

@Area 51  Cela serait bien que tu justifies ton développement périodique.  

Edit.  Pour avoir calculer les premiers termes je ne trouve pas du tout de période.

Julia Paule

Pour ma part, je vois un développement périodique de 8 digits : $....24243131 \overline{24243131}1^5$.
Donc $e_5(5)$ est rationnel mais pas entier.
Et je pense que $e_p(p)$ est toujours rationnel (pour $p$ premier impair).

Area 51

@Julia Paule j'ai été un peu trop "bold" sur mon précédent $e_5(5)$. Donc faux. Je m'étais convaincu durant la nuit que les $u_i$ fournissaient le bon cadre. Autant, il est super facile de calculer le truc pour les bonhommes de $\mathbb{N}$ e.g. $7 = \ldots 000012,{}_5$. Déjà, c'est moins flagrant pour les entiers négatifs : $-7 = \ldots 444\underline{4}33,{}_5$.

En particulier, je me suis amusé à chercher $\dfrac{1}{2!} = \ldots 222\underline{2}3,{}_5$ (en faisant $2 \times$ le machin doit donner $\ldots 000001,{}_5$), puis $\dfrac{1}{3!} = \ldots 40\underline{40}41,{}_5$, $\dfrac{1}{4!} = \ldots 43\underline{43}44,{}_5$, etc. Après, on additionne en faisant attention aux retenues base $5$. Ca peut toujours servir pour $e_p$. On comprend le pourquoi de $v_p(x) > \dfrac{1}{p-1}$, car diviser par $p$ c'est $-1$ sur la valuation et récupérer un chiffre après la virgule et terminé le caractère entier de $e_5(x)$.

Coïncidence, je lis également un livre en ce moment sur un sujet différent des nombres $p$-adiques. Mais, ça parlait d'anneaux de valuation. Il est évoqué le fait que trouver des solutions $p$-adiques non triviales au dernier théorème de Fermat ne pose aucun problème, qu'on peut s'amuser à extraire des racines e.g. $i = \ldots 2431212,_{5}$, forcément on a alors des $\sin_p$, $\sinh_p$, $\tan_p$ (la même chose avec $\cos$ et fonctions réciproques). Marrant, non ?

A un $\mathcal{O}(5^{20})$ près (soyons fous !), je pense que $e_5(5) = \ldots 2421223321342143311,{}_5$.

JLapin

Je reposte ceci ici, pour espérer échapper aux critiques débiles sur la conférencière

Julia Paule

Merci @JLapin pour cette vidéo, je vais la regarder.

@Area51, cela ne m'étonne pas qu'on parle de $\sin_p, \cdots$, il suffit de les définir à partir d'une série extraite de celle de $e_p$ ; ni de $i$, j'en ai parlé dans l'autre fil, ou de n'importe quelle racine d'un polynôme à coefficients entiers.

C'est quoi e.g. ?

JLapin

Exempli gratia (<< par exemple >> en latin)

Julia Paule

Merci. J'aurais pu regarder sur mon moteur de recherche, mais j'étais persuadée que c'était une abréviation mathématique.