Octogone régulier et cercle de neuf points : un triangle automédian particulier
Bonjour
Ci-dessous un triangle bien particulier, construit sur un côté et deux diagonales d'un octogone régulier.
Les points centraux du triangle sont repris dans leur dénomination habituelle ou peuvent être déduits des données graphiques.
Quelques unes des propriétés de ce triangle sont liées au mode de construction.
Bon nombre d'autres propriétés remarquables en sont indépendantes, et sont liées au fait plus général que
2a² = b² + c² (triangle automédian)
Propriétés que je vous laisse découvrir et attribuer soit au mode particulier de construction, soit à l'identité reprise ci-dessus.

Cordialement,
Jean-Pol Coulon
Ci-dessous un triangle bien particulier, construit sur un côté et deux diagonales d'un octogone régulier.
Les points centraux du triangle sont repris dans leur dénomination habituelle ou peuvent être déduits des données graphiques.
Quelques unes des propriétés de ce triangle sont liées au mode de construction.
Bon nombre d'autres propriétés remarquables en sont indépendantes, et sont liées au fait plus général que
2a² = b² + c² (triangle automédian)
Propriétés que je vous laisse découvrir et attribuer soit au mode particulier de construction, soit à l'identité reprise ci-dessus.

Cordialement,
Jean-Pol Coulon
Réponses
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Un lieu géométrique évident pour le point A, BC étant donné
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Le détail sur la construction du triangle à partir de l'octogone régulier, extrait d'une de mes publications ailleurs.
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Bonjour Jean-Pol,
Je découvre ton problème, et je le trouve aussi intéressant que mon ennéagone ...
Et le triangle avec des angles de 45-60-75 dans le dodécagone régulier ? il n'est pas mal non plus !
Bonne soirée, bien cordialement
Jean-Louis -
Et trois triangles semblables bien particuliers
α = 2γ = 4β ⇒ β = π/7
dans l'heptagone.
L'un deux (le plus petit) est le triangle orthique de l'autre (le moyen, de référence), homothétie ½.
L'autre (le plus grand) est le triangle tangentiel du triangle de référence, homothétique ratio 2.
Ce triangle orthique est repris dans la littérature.
Pas le triangle tangentiel, il me semble.
Propriétés algébriques des périmètres (P) et aires (S) respectives
P(DEF) = 2 P(ABC) = 4 P(KLM)
S(DEF) = 2²S(ABC) = 4²S(KLM)
⇒
P(DEF) / P(ABC) = P(ABC) / P(KLM) = α/γ = γ/βS(DEF) / S(ABC) = S(ABC) / S(KLM) =(α/γ)²=(γ/β)²Je ne pense pas l'avoir publié ici. -
Jean-Pol, cette discussion sur l'heptagone régulier date d'un an et demi, je ne pense pas que que tu l'aies vue ...Peut-être la trouveras-tu intéressante ?Bien amicalement, Jean-LouisEdit : il me semble que les rapports entre le triangle de référence et les deux autres sont des rapports de similitude, et non pas d'homothétie ... Par contre le triangle orthique et le triangle tangentiel sont homothétiques (côtés parallèles) !
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Bonjour Jean-Louis,
Merci pour les infos complémentaires sur l'heptagone.
Difficile en effet de trouver une homothétie entre le triangle orthique et le triangle de référence, bien qu'ils soient semblables.
Cordialement,
Jean-Pol -
Juste une petite note à propos du « triangle automédian ». pour ceux qui comme moi ont un niveau, disons moyen, en géométrie.Dans tout triangle $ABC$, les médianes sont aussi les côtés d'un triangle, qu'on peut dénommer « triangle médian » du triangle $ABC$.La démonstration n'est pas très compliquée, elle pourrait faire l'objet d'un exercice de Quatrième, s'il restait de la géométrie au programme de cette classe, comme c’était le cas il y a mettons soixante ans.Soit un triangle $ABC$ et soit $G$ son centre de gravité. Soit le point $K$ défini par $\overrightarrow{GK}=\overrightarrow{AG}$ (faire la figure). Alors $GK$ et $BC$ ont même milieu, et $BGCK$ est donc un parallélogramme. Le triangle $CGK$ a pour côtés les $\frac{2}{3}$ des médianes de $ABC$, épicétou.Dans le triangle $ABC$, avec les longueurs des côtés $AB=c$, $BC=a$, $CA=b$, les longueurs des médianes sont : $m_{a}=\frac{1}{2}\sqrt{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}$, $m_{b}=\frac{1}{2}\sqrt{2c^{2}+2a^{2}-b^{2}}$, $m_{c}=\frac{1}{2}\sqrt{2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}$.On a ainsi démontré que si $a$, $b$, $c$ sont les côtés d'un triangle, alors : $\sqrt{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}\leq \sqrt{2c^{2}+2a^{2}-b^{2}}+\sqrt{2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}$. Chose qui ne semble pas facile à prouver par le calcul... Où l'on voit l’efficacité de la géométrie...Les hauteurs ou les bissectrices intérieures d'un triangle ne jouissent pas de la même propriété. Soit $ABC$ un triangle isocèle de sommet $A$. Le côté $AB=AC=b$ étant fixé, on peut rendre les hauteurs (resp. les bissectrices intérieures) issues de $B$ et $C$ aussi petites qu'on veut en prenant l'angle en $A$ assez petit. Alors que la hauteur issue de $A$, qui est aussi la bissectrice intérieure, restera au voisinage de $b$. Pas d'inégalité triangulaire donc pour ces trois longueurs.À suivre...
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Poursuivons.Si $a,b,c$ sont les longueurs des côtés du triangle $ABC$, j'ai dit que les longueurs des médianes correspondantes $m_a,m_b,m_c$ sont les côtés d'un triangle, appelé triangle médian du précédent. Le triangle $ABC$ est dit automédian si son triangle médian est semblable au triangle initial $ABC$. Attention, les longueurs des médianes sont dans l'ordre inverse de l’ordre des côtés, je veux dire que si $a \le b \le c$, alors $ m_a \ge m_b \ge m_c$. En sorte que la similitude des deux triangles se traduira par $ \frac {m_a}c=\frac {m_b}b=\frac {m_c}a$, et le calcul donne : $a^2+c^2=2b^2$.Il me semble que ce concept de triangle automédian est apparu à l'aube du XXème siècle, notamment dans la revue Mathesis. Mais je n'ai pas de références bien précises.Bonne journée.
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Les inégalités vérifiées par les longueurs des médianes sont très faciles à justifier.
De $m_{a}=\frac{1}{2}\sqrt{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}$ et $m_{b}=\frac{1}{2}\sqrt{2c^{2}+2a^{2}-b^{2}}$ on déduit : $4(m_a^2-m_b^2)=3(b^2-a^2)$.
Par suite $a \le b \le c$ entraine $m_a \ge m_b \ge m_c$. -
Pour continuer sur les triangles automédians en général, j'ai retrouvé deux documents concernant leurs propriétés. Comme j'ai dit, il semble qu'on trouve des choses dans Mathesis mais je ne sais pas comment y accéder depuis chez moi. Il fait un sale temps sur les téléchargements en ce moment.
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