Sommes de deux carrés

Ludwig
Modifié (February 2023) dans Arithmétique
Bonjour,
Je m'intéresse aux entiers n que l'on peut écrire de trois façons différentes comme une somme de deux carrés. Par exemple 845 = 29² + 2² = 19² + 22² = 13² + 26². À chacune de ces sommes on peut associer huit points dans un plan muni d'un repère orthonormé, par exemple (29, 2), (29, -2), (2, -29), etc. Tous ces points sont sur le cercle de centre O et de rayon la racine carrée de 845.
Avec n = 845 on peut choisir ces points pour avoir une propriété géométrique : en prenant A (29, 2) et B (-19, -22) le point C (-13, 26) se trouve sur la médiatrice du segment [AB].


Cela est-il toujours possible quel que soit l'entier n qui peut s'écrire ainsi ? Je ne sais pas mais je l'ai vérifié pour plusieurs valeurs. Si on note A(a,b) et B(c,d) alors j'ai écrit ci-dessus les formules donnant les coordonnées de C (au signe près). Ci-dessous les valeurs exactes pour quelques valeurs de n :

Réponses

  • Bonjour à toi,
    si je ne dis pas de bêtises, je trouve autre chose pour $x$ et $y$ (toujours au signe près) : $x=\dfrac{-\sqrt n (b+d)}{\sqrt{(b+d)^2+(a+c)^2}}$ et $y=\dfrac{\sqrt n(a+c)}{\sqrt{(b+d)^2+(a+c)^2}}$ en sachant que $n=a^2+b^2=c^2+d^2$ et en prenant : $A(a;b)$ et $B(-c;-d)$ pour coller au mieux à ton exemple sur $845$ .
    En faisant la synthèse, je trouve bien que $x^2+y^2=n$ et que $\langle \overrightarrow{OC} , \overrightarrow{BA} \rangle =0$ .
    Donc $(OC) \perp (AB)$ (donc $C$ appartient à la médiatrice du segment $[AB]$) et $C$ appartient bien au cercle de centre $O$ et de rayon $\sqrt n$ comme $A$ et $B$.
    Donc oui c'est toujours possible je dirais, après je n'ai peut-être pas totalement répondu à ta question ! ^^'
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • Ludwig
    Modifié (February 2023)
    Merci Nico, tes formules sont les mêmes je pense, car tu es parti de B(-c, -d). Et puis il y a l'autre intersection de la médiatrice avec le cercle..
    Que x^2 + y^2 soit égal à n est clair. Mais ce qui n'est pas clair c'est si ces deux formules donnent toujours des entiers ? Il faut en tous cas choisir a, b, c et d pour cela.
  • kolotoko
    Modifié (February 2023)
    Bonjour,
    on peut regarder A025286 dans OEIS.
    Bien cordialement.
    kolotoko
  • LOU16
    Modifié (February 2023)
    Bonjour,
    Cette propriété , vérifiée sur les exemples que tu donnes, me semble liée au fait que les $n$ que tu as choisis sont de la forme $n=p^2q \: $ ou $n=p^4,\:\:\:p,q \text{ premiers },p,q\equiv 1\mod 4.$
    En effet dans le premier cas, l'équation $x^2+y^2=n $ admet "essentiellement" exactement $3$ solutions qui sont issues des"uniques" décompositions de $p$ et $q$ en somme de deux carrés: $p=a^2+b^2, q=c^2+d^2.$
    Sur le cercle de centre  $0$ et de rayon $\sqrt n$ , on trouve alors les points  $A,B,C$ suivants à coordonnée entières:
    $$A\:(2abd-a^2c+b^2c ; a^2d-b^2d+2abc),\:\: B\:(b^2c-a^2c-2abd ;a^2d-b^2d-2abc)\:\: C\:(-a^2c-b^2c ; a^2d+b^2d)$$
    On vérifie que $AC=BC$
    Si $ n=p^4 , \:\:p=a^2+b^2,\:$ alors on dispose des points $A\:(p^2;0),\:\:B\:(a^2p-b^2p ; 2abp)\:\::C(a^4+b^4-6a^2b^2 ; 4a^3b-4ab^3)$ tels que $ OA=OB=OC= \sqrt n,\quad BA=BC.$
    Je ne l'ai pas vérifié en détail, mais je doute que cette propriété perdure lorsque $n$ est décomposable de plus de $3$ façons en somme de deux carrés, par exemple si $n$ est le produit de $3$ nombres premiers distincts congrus à $1\mod 4.$
    $1105=4^2+33^2=9^2+32^2=12^2+31^2=23^2+24^2.$
    Sur le cercle de centre $O$ et de rayon $\sqrt{1105}$, il y a exactement $32$ points, identifiés, à coordonnées entières . Je n'ai pas l'impression que trois d'entre eux forment un triangle isocèle.
  • NicoLeProf
    Modifié (February 2023)
    Oui c'est délicat. J'y ai encore réfléchi. Je trouve des choses amusantes en observant la fraction : $\dfrac{n}{||\overrightarrow{AB}||^2}$ .
    En simplifiant cette fraction par $PGCD(n;||\overrightarrow{AB}||^2)$ dans les différents exemples figurant dans ton tableau, je trouve à chaque fois une fraction irréductible dont le numérateur et le dénominateur sont des carrés parfaits.
    Ainsi, $\sqrt{\dfrac{n}{||\overrightarrow{AB}||^2}} \in \mathbb{Q}$ et on note : $\sqrt{\dfrac{n}{||\overrightarrow{AB}||^2}}=\dfrac{p}{q}$ avec $p$ et $q$ premiers entre eux .
    D'ailleurs, si je ne me trompe pas on a : $p=\sqrt{n / PGCD(n;||\overrightarrow{AB}||^2)}$ et $q=\sqrt{||\overrightarrow{AB}||^2 / PGCD(n;||\overrightarrow{AB}||^2)}$ et dans tes exemples, $x$ et $y$ sont bien entiers car $q $ divise $(a+c)$ et $q$ divise $(b+d)$ .
    On peut peut-être trouver d'autres exemples en partant de la fraction considérée...
    Après, je ne reste qu'au stade d'observations/conjectures pour le moment, désolé de ne pas pouvoir t'en dire plus pour le moment ! ^^'
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • @ LOU16 : je n'ai pas trouvé de triangle isocèle pour n = 1105. Mais on devrait plutôt parler de symétrie : 


  • Pas sûr d'avoir tout suivi, mais il existe une formule (due à Jacobi il me semble) donnant le nombre de représentations de $n$ en tant que somme de deux carrés : on a $r_2(n) = 4(d_1(n) - d_3(n))$, où $d_1(n)$ désigne le nombre de diviseurs de $n$ congrus à $1$ modulo $4$, et $d_3(n)$ ceux qui sont congrus à $3$ modulo $4$. Puisque tu regardes les représentations modulo le signe et permutation des coordonnées, tu peux diviser ce résultat par $4$ pour obtenir des candidats : il faut que $d_1(n) - d_3(n) = 3$.

    D'après Wikipedia, si $n$ est somme de deux carrés, de sorte que $n = 2^k p_1^{f_1} \dots p_r^{f_r} q_1^{h_1} \dots q_s^{h_s}$ où les $p_i$ sont les facteurs premiers congrus à $1$ modulo $4$ et les $q_j$ sont ceux congrus à $3$ mod $4$, avec les $h_j$ pairs, alors $r_2(n) = 4 \prod_{i=1}^r (f_i+1)$.
  • Area 51
    Modifié (February 2023)
    @Poirot formule $r_2(n)$ attribuée à Jacobi, mais déjà connue de Gauss.
  • LOU16
    Modifié (February 2023)
    Re

    On peut en effet observer de nombreuses symétries dans cette configuration:
    Outre les symétries "triviales" par rapport aux axes de coordonnées et à leurs bissectrices, il y a celles qui sont définies ci-dessous:
    Soit $n \in\N$ tel que $n=pqr, \:p,q,r \in \mathbb P, \: p,q,r \equiv 1\mod 4., \:\:p=a^2+b^2, \:q= c^2+d^2,\:\:r=e^2+f^2, \:\:a,b,c,d,e,f \in \N^*.$
    $u:=a+b\mathrm i,\quad v :=c+d\mathrm i,\quad w:=e +f \mathrm i \in \C..$
    $\bullet$ Soient $U,A,B,C,D$ les points 'd'affixes respectives $U(u),\:\:A(uvw),\:\:B(u\overline {v}w),\:\:C(uv\overline{w}),\:\:D(u\overline{vw})$
    Alors, $\:A,B,C,D\: $sont des points à coordonnées entières tels que:
    $ OA=OB=OC=OD=\sqrt n$ et $(OU)$ est la médiatrice de $(AD)$ et de $(BC)$.
    La symétrie évoquée par ton exemple est d'un autre type:
    $\bullet$ Soient $U,A,B,C,D$ les points d'affixes respectives $U((1+\mathrm i)u),\:\:A(uvw),\:\:B(\mathrm iu\overline {v} w),\:\:C(uv\overline w),\:\:D(\mathrm i u\overline{vw}).$
    Alors: $A,B,C,D \in \Z^2,\:\:\:OA=OB=OC=OD=\sqrt n.\quad (OU)$ est médiatrice de $(AD)$ et $(BC)$.
    $n=5\times 13\times 17 =1105,\:\:\: u=2+\mathrm i,\:v=2+3\mathrm i, \:\:w=4+\mathrm i.$
     
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