Application compacte, ensemble compact

Besma bissan
Modifié (February 2023) dans Topologie
Salut
Je cherche une définition exacte d'une application compacte. Je trouve cette définition.

 Un opérateur compact est une application continue entre deux espaces vectoriels topologiques X et Y envoyant les parties bornées de sur les parties relativement compactes de Y.
(Lorsque est linéaire, la seconde condition suffit pour qu'il soit borné, donc continu si de plus est un espace vectoriel normé.)
question 1: Est-ce que la remarque entre parenthèse  reste valide pour X  un espace métrique ? topologique ?
question 2: Comment on montre que la deuxième condition implique que T est bornée ?

Ensemble compact.
Une partie A d'un espace topologique est compacte si et seulement si, de tout recouvrement de A par des ouverts, on peut extraire un sous-recouvrement fini.

Résultat.
Soit X,Y deux espaces topologiques et T une application de X dans Y.
T est une application compacte sur X ssi T(X) est un ensemble compact de Y. 
question3 : Est-ce que ce résultat est toujours valide ou bien juste au sens direct ?
question4 : Est-ce que ce résultat est valide pour X,Y des espaces topologiques, métriques, vectoriels normés ? Pourquoi ?
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Réponses

  • Bonjour,
    Q1 D'après le lien que tu donnes, la notion d'opérateurs bornés n'est valide qu'entre evn. Donc X et Y devraient être des evn dans la parenthèse.
    Q2 Utiliser que tout s.e.v. relativement compact d'un evn est borné.
    Q3 Qu'est-ce que tu appelles une "application compacte" ? Si c'est un opérateur compact, alors X et Y devraient être des ev topologiques et pas juste des espaces topologiques.
  • Barjovrille
    Modifié (February 2023)
    Pour la Q3 si on fait les hypothèses $X$, $Y$ evn, et $T$ un opérateur compact, on peut trouver un contre exemple.
    On prend $X=Y=\mathbb{R}$ on les munit de la valeur absolue. On regarde l'application identité dans $\mathbb{R}$. alors $id$ est un opérateur compact. Mais $id(X)= \mathbb{R}$ n'est pas un compact de $(\mathbb{R},|.|)$ 
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