Points farceurs

uvdose
Modifié (February 2023) dans Analyse
Bonjour,

On se place dans un repère orthonormé.
Un point de coordonnées $(x;y)$ est dit farceur lorsque $\text{e}^x+\text{e}^y=\text{e}^{xy}$.
Il s'agit de déterminer le point farceur le plus proche de l'origine du repère, en restant dans le cadre du programme de spé maths de Terminale.

J'y parviens mais j'ai la nette impression de me compliquer la vie ; aussi je compte sur une/des âme(s) charitable(s) pour se pencher sur cette question. 

Voici ma démarche : je raisonne en fixant $y-x$. On peut voir que $M(x;x+t)$ est farceur si et seulement si  $x^2+(t-1)x-\ln(1+\text{e}^t)=0$. Il y a donc deux points $M$ farceurs tels que $y_M-x_M=t$  :  $M_1(x_1(t);x_1(t)+t)$ et $M_2(x_2(t);x_2(t)+t)$, avec $x_1(t)=\frac12\left(1-t-\sqrt{(t-1)^2+4\ln(1+\text{e}^t)}\right)$ et $x_2(t)=\frac12\left(1-t+\sqrt{(t-1)^2+4\ln(1+\text{e}^t)}\right)$.
Notons $d_1(t)=x_1(t)^2+(x_1(t)+t)^2$ et $d_2(t)=x_2(t)^2+(x_2(t)+t)^2$.
On peut vérifier que $d_2(t)>d_1(t)$, et en calculant sa dérivée, on peut prouver que $d_1$ possède un minimum en $t=0$. Cela prouve que le point farceur le plus proche de l'origine est $M_1(x_1(0);x_1(0))$.

Mais les calculs, sans être très compliqués, sont un peu techniques pour un élève de Terminale.

Réponses

  • marco
    Modifié (February 2023)
    On fait le changement de variable $b=\frac{x+y}{\sqrt{2}}$, et $a=\frac{x-y}{\sqrt{2}}$. Alors, l'équation s'écrit $2e^{b/\sqrt{2}}\cosh(a/\sqrt{2})=e^{b^2/2} e^{-a^2/2}$.
    $\cosh t \geq 1 \geq e^{-t^2}$ avec égalité si $t=0$.
    Donc $2e^{b/\sqrt{2}-b^2/2}\leq 1$.
    Soit $B_1<B_2$ les racines de $\ln(2)+b/\sqrt{2}-b^2/2=0$.
    $B_1$ est négatif, et $B_2$ positif avec$ |B_1|<|B_2|$.
    On a nécessairement $b \in ]-\infty, B_1]\cup [B_2, +\infty[$.
    Si $b=B_1$ et $a=0$, on un point farceur.
    Si $b<B_1$, la distance à l'origine sera plus grande.
    De même si $b\geq B_2$, car $B_2 > |B_1|$.
    Donc le point farceur le plus près de l'origine est $(a,b)=(0,B_1)$.
    Donc $x=y=B_1/\sqrt{2}$
  • uvdose
    Modifié (February 2023)
    Merci marco !
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.