Réunion d'ensembles de multiples

GTG
GTG
Modifié (February 2023) dans Algèbre
Bonjour !
Dans le Gautier et alii d'algèbre (Partie 1 Chapitre 1), on trouve l'exercice suivant.
"On note $2\mathbb{N}$ l'ensemble des entiers pairs :  $2\mathbb{N} = \{0,2,4,6,\ldots,2n,\ldots\}$, et, plus généralement, $k\mathbb{N}$ l'ensemble des multiples entiers de l'entier $k$. (...) Montrer que $6\mathbb{N} \cup 4\mathbb{N}$ est l'ensemble des entiers s'écrivant sous l'une des formes suivantes : $12n$, $12n+4$, $12n+6$ ou $12n+8$."
Ma question : la démonstration suivante est-elle acceptable ?
L'ensemble des entiers naturels est la réunion de l'ensemble des entiers naturels pairs $\{2n\mid n\in\mathbb{N}\}$ et des entiers naturels impairs $\{2n+1\mid n\in\mathbb{N}\}$. Donc l'ensemble des multiples de 6 $\{0,6,12,\ldots,6n,\ldots\}$ peut aussi s'écrire $\{0,6,12,\ldots,6(2n),6(2n+1),\dots\} = \{0,6,12,\ldots,12n,12n+6,\dots\}$. De même, l'ensemble des entiers naturels peut d'écrire $\{0,1,2,3,\ldots,3n,3n+1,3n+2,\ldots\}$. Donc l'ensemble des multiples de 4 peut s'écrire $\{0,4,8,\ldots,4(3n),4(3n+1),4(3n+2),\ldots\} = \{0,4,8,\ldots,12n,12n+4,12n+8,\ldots\}$. Ainsi $4\mathbb{N}\cup6\mathbb{N} = \{0,4,6,8,12,\ldots,12n,12n+4,12n+6,12n+8,\ldots\}$.
Merci d'avance.
Je me remets à niveau en vue de faire une thèse en sociologie et/ou de passer l'agrégation de SES. Pour l'instant, le niveau en question est entre la Terminale S et la L1. J'utilise le manuel ForMath de Gautier et alii. Mon pseudo est une référence au mathématicien Georges-Théodule Guilbaud.

Réponses

  • Je ne suis pas convaincu… 
  • Heuristique
    Modifié (February 2023)
    Bonjour
    De manière générale, pour montrer une égalité d'ensembles  ($A =B$), on montre d'abord $A \subset B$ puis $B \subset A$.
    Pour montrer $A \subset B$, on écrit "Soit $n \in A$." et on montre ensuite que $n \in B$.
    Pour montrer $B \subset A$, on écrit "Soit $n \in B$." et on montre ensuite que $n \in A$.
    Essaye une démonstration de cette forme, ça devrait déjà mieux se passer !
  • Fin de partie
    Modifié (February 2023)
    Vu la forme du résultat à démontrer: il faut démontrer que les nombres entiers d'une des formes suivantes: $12n+1,12n+2,12n+3,12n+5,12n+7,12n+9,12n+10,12n+11$ n'appartiennent pas à $6\mathbb{N} \cup 4\mathbb{N}$ L'ensemble de ces nombres est le complémentaire dans $\mathbb{N}$  de l'ensemble des nombres de la forme $12n,12n+4,12n+6,12n+8$ dont il faut vérifier qu'ils appartiennent à $6\mathbb{N} \cup 4\mathbb{N}$.
    NB.
    On sait qu'un entier peut s'écrire d'une façon unique sous la forme $12n+r$ avec $0\leq r\leq 11$.
  • GTG
    GTG
    Modifié (May 2023)
    Merci pour vos réponses, en particulier @Heuristique.
    La démonstration suivante convient-elle donc mieux ?
    Soit E l'ensemble des entiers s'écrivant sous l'une des formes suivantes : $12n,12n+4,12n+6,12n+8$. Tout élément de $6\mathbb{N}$ est de la forme $6n$ (avec $n\in\mathbb{N}$). Donc si $n$ est impair, $6n=6(2k+1)=12k+6$ (avec $k\in\mathbb{N}$) et si $n$ est pair, $6n=6(2k)=12k$. Dans tous les cas, $6n$ est donc un élément de E. Tout élément de $4\mathbb{N}$ est de la forme $4n$ (avec $n\in\mathbb{N}$). Et comme tout entier $n$ s'écrit sous l'une des trois formes $3k,\ 3k+1,\ 3k+2$ (avec $k\in\mathbb{N}$), $4n$ s'écrit donc sous l'une des trois formes $4n=4(3k)=12k$, $4n=4(3k+1)=12k+4$ ou $4n=4(3k+2)=12k+8$ (avec $k\in\mathbb{N}$). Donc tout élément de $4\mathbb{N}$ est un élément de E.
    Réciproquement, les éléments des formes $12n$ et $12n+6$ (avec $n\in\mathbb{N}$) de E peuvent s'écrire $12n=6(2n)=6k$ et $12n+6=6(2n+1)=6k$ (avec $k\in\mathbb{N}$), donc sont des éléments de $6\mathbb{N}$. Et les éléments des formes $12n+4$ et $12n+8$ peuvent s'écrire $12n+4=4(3n+1)=4k$ et $12n+8=4(3n+2)=4k$ (avec $k\in\mathbb{N}$), donc sont des éléments de $4\mathbb{N}$. Donc tous les éléments de E sont des éléments de $4\mathbb{N}\cup 6\mathbb{N}$.
    Donc finalement les ensembles $6\mathbb{N}\cup 4\mathbb{N}$ et E sont égaux.
    Je me remets à niveau en vue de faire une thèse en sociologie et/ou de passer l'agrégation de SES. Pour l'instant, le niveau en question est entre la Terminale S et la L1. J'utilise le manuel ForMath de Gautier et alii. Mon pseudo est une référence au mathématicien Georges-Théodule Guilbaud.
  • Oui raisonner par double inclusion ici comme tu viens de le faire me paraît bien mieux ! :)
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
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