Entiers pas premiers entre eux

Boécien
Modifié (February 2023) dans Arithmétique
Salut,
Est-il vrai que ${31n \choose n+1}$ et $30$ ne sont pas premiers entre eux pour tout $n\geq1$ ?

Réponses

  • gerard0
    Modifié (February 2023)
    Bonjour
    Pour n=30, le premier est un multiple du deuxième.
    binomial(31*30,31)/30;

          257790916790517626361540603186780356710987749680715177360

    J'ai inversé la question !

    Cordialement.

  • LOU16
    Modifié (February 2023)
    Bonjour,
    Si $n=5$, alors $\mathcal V_2\left(\displaystyle   \prod_{i=0}^5(31n-i)\right) =5,\quad \mathcal V_2(6!) =4, \quad \displaystyle  \binom{31n}{n+1}\equiv 0 \mod 2.$
  • Boécien
    Modifié (February 2023)
    Oui mais je cherche à montrer que c'est vrai pour tout $n$. À savoir que ${31n \choose n+1}$ est divisible par $2$, $3$ ou $5$ pour tout $n$.
  • LOU16
    Modifié (February 2023)
    Re,
    Désolé, je me suis aperçu de ma bourde quelques secondes après l'avoir postée, puis je me suis encore planté dans la manœuvre qui avait pour but de la faire disparaître  avant ton intervention;
  • gerard0
    Modifié (February 2023)
    J'ai fait la vérification jusqu'à 5000. Pas de cas de premiers entre eux.
    Cordialement.
  • Merci. Je viens de vérifier jusque n=10^5 avec pari-gp.
  • PetitLutinMalicieux
    Modifié (February 2023)
    Bonjour
    \begin{align*}
     T_n = C_{31n}^{n+1} &= \frac{(31n)!}{(n+1)!(30n-1)!} \\
     T_{n+1} = C_{31(n+1)}^{n+2} &= \frac{(31(n+1))!}{(n+2)!(30(n+1)-1)!}=\frac{(31n+31)!}{(n+2)!(30n+29)!}\\
    &= \frac{(31n+31)(31n+30)\cdots(31n+1)(31n)!} {(n+2)(n+1)!(30n+29)(30n+28)\cdots(30n)(30n-1)!}\\
    &= \frac{(31n+31)(31n+30)\cdots(31n+1)} {(n+2)(30n+29)(30n+28)\cdots(30n)} T_n
    \end{align*} Ne peux-tu pas faire la liste des facteurs que tu ajoutes et que tu enlèves à chaque étape ?
    Et voir qu'il y a toujours un 2, un 3, ou un 5. Ou pas, le cas échéant.
  • Merci PLM. Cette récurrence m'a déjà permis de vérifier que c'était vrai jusqu'à 10^7.
  • @Boetien Si $n\ge 1$ le nombre que tu écris est produit d'au moins combien d'entiers consécutifs?
  • gerard0
    Modifié (February 2023)
    Heu ... ${31n \choose n+1}$ est un quotient.
    Cordialement.
  • Alain24
    Modifié (February 2023)
    gerard0
    La combinaison $(31 n \choose n+1)$ est le quotient de l'arrangement $A^{31 n}_{n+1}$ et de $(n+1)!$ et après réduction du dénominateur c'est un entier donc un produit de nombre premiers.
    [Inutile de reproduire le message précédent. AD]
  • gerard0
    Modifié (February 2023)
    Oui, mais des "entiers consécutifs" qui sont premiers, je n'en connais que 2, et, pour avoir regardé de près, je sais qu'il arrive que 3 ne soit pas un facteur.
    Mais tu vas nous expliquer comment tu trouves une factorisation avec des entiers consécutifs de ${31n \choose n+1}$ ...
    Cordialement.
  • Alain24
    Modifié (February 2023)
    gerard0
    Dans un produit d'entiers consécutifs l'un de ceux-ci n'est-il pas pair ?
    [Inutile de reproduire le message précédent. AD]
  • Si on nomme $T_n$ le nombre $\binom{31n}{n+1}$ pour tout entier $n\geq 1$, alors on constate que $T_n \times (n+1)=30n \times \binom{31n}{n}$ est divisible par $30$.
    Par conséquent, si on suppose que $T_n$ est premier avec $30$, on en déduit que $n+1$ est divisible par $30$.

    Il ne reste donc plus qu'un $30$ème du travail à effectuer... vérifier si $T_{30k-1}$ est premier avec $30$ ou non lorsque $k\geq 1$.
  • PetitLutinMalicieux
    Modifié (February 2023)
    @gerard0 C'est drôle de dire qu'une combinaison est un quotient. Alors que c'est toujours un entier positif. :smile:
    @Alain24 Je ne sais pas où tu vas, mais l'exploration préparatoire montre que T1 n'a pas de 2, T2 a deux 2, et T3 n'a pas de 2.
  • On a le résultat d'Hermite suivant : pour tous entiers naturels $n \geqslant k \geqslant 1$, $\dbinom{n}{k}$ est divisible par $\dfrac{n-k+1}{\textrm{pgcd}(n+1,k)}$.

    Appliqué ici, on obtient que $\dbinom{31n}{n+1}$ est divisible par $\dfrac{30n}{(30,n+1)}$.

    On note que, si $(n+1,30) \neq 30$, alors $\dfrac{30}{(n+1,30)} \in \left\{ 2,3,5,6,10,15,30 \right\}$, de sorte que $\dbinom{31n}{n+1}$ est divisible par l'un de ces nombres.
  • gerard0
    Modifié (February 2023)
    Bonjour PLM : Je n'ai dit cela que parce que Alain24 disait que c'est un produit. Et il continue à parler de "produit d'entiers consécutifs" sans expliquer de quoi il parle; je soupçonne qu'il fait une confusion, faute de vraiment traiter la question. Et il n'a pas répondu à ma question.
    Cordialement.
  • Si n=30k-1 je n'arrive pas à conclure. Intuitivement je ne pense pas que ce soit toujours vrai vu le comportement un peu erratique des choses.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.