Entiers pas premiers entre eux
Réponses
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BonjourPour n=30, le premier est un multiple du deuxième.binomial(31*30,31)/30;
257790916790517626361540603186780356710987749680715177360
J'ai inversé la question !Cordialement.
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Bonjour,Si $n=5$, alors $\mathcal V_2\left(\displaystyle \prod_{i=0}^5(31n-i)\right) =5,\quad \mathcal V_2(6!) =4, \quad \displaystyle \binom{31n}{n+1}\equiv 0 \mod 2.$
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Oui mais je cherche à montrer que c'est vrai pour tout $n$. À savoir que ${31n \choose n+1}$ est divisible par $2$, $3$ ou $5$ pour tout $n$.
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J'ai fait la vérification jusqu'à 5000. Pas de cas de premiers entre eux.Cordialement.
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Merci. Je viens de vérifier jusque n=10^5 avec pari-gp.
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Bonjour
\begin{align*}
T_n = C_{31n}^{n+1} &= \frac{(31n)!}{(n+1)!(30n-1)!} \\
T_{n+1} = C_{31(n+1)}^{n+2} &= \frac{(31(n+1))!}{(n+2)!(30(n+1)-1)!}=\frac{(31n+31)!}{(n+2)!(30n+29)!}\\
&= \frac{(31n+31)(31n+30)\cdots(31n+1)(31n)!} {(n+2)(n+1)!(30n+29)(30n+28)\cdots(30n)(30n-1)!}\\
&= \frac{(31n+31)(31n+30)\cdots(31n+1)} {(n+2)(30n+29)(30n+28)\cdots(30n)} T_n
\end{align*} Ne peux-tu pas faire la liste des facteurs que tu ajoutes et que tu enlèves à chaque étape ?
Et voir qu'il y a toujours un 2, un 3, ou un 5. Ou pas, le cas échéant. -
Merci PLM. Cette récurrence m'a déjà permis de vérifier que c'était vrai jusqu'à 10^7.
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Heu ... ${31n \choose n+1}$ est un quotient.
Cordialement. -
Oui, mais des "entiers consécutifs" qui sont premiers, je n'en connais que 2, et, pour avoir regardé de près, je sais qu'il arrive que 3 ne soit pas un facteur.Mais tu vas nous expliquer comment tu trouves une factorisation avec des entiers consécutifs de ${31n \choose n+1}$ ...Cordialement.
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Si on nomme $T_n$ le nombre $\binom{31n}{n+1}$ pour tout entier $n\geq 1$, alors on constate que $T_n \times (n+1)=30n \times \binom{31n}{n}$ est divisible par $30$.
Par conséquent, si on suppose que $T_n$ est premier avec $30$, on en déduit que $n+1$ est divisible par $30$.
Il ne reste donc plus qu'un $30$ème du travail à effectuer... vérifier si $T_{30k-1}$ est premier avec $30$ ou non lorsque $k\geq 1$. -
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On a le résultat d'Hermite suivant : pour tous entiers naturels $n \geqslant k \geqslant 1$, $\dbinom{n}{k}$ est divisible par $\dfrac{n-k+1}{\textrm{pgcd}(n+1,k)}$.
Appliqué ici, on obtient que $\dbinom{31n}{n+1}$ est divisible par $\dfrac{30n}{(30,n+1)}$.
On note que, si $(n+1,30) \neq 30$, alors $\dfrac{30}{(n+1,30)} \in \left\{ 2,3,5,6,10,15,30 \right\}$, de sorte que $\dbinom{31n}{n+1}$ est divisible par l'un de ces nombres.
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Bonjour PLM : Je n'ai dit cela que parce que Alain24 disait que c'est un produit. Et il continue à parler de "produit d'entiers consécutifs" sans expliquer de quoi il parle; je soupçonne qu'il fait une confusion, faute de vraiment traiter la question. Et il n'a pas répondu à ma question.Cordialement.
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Si n=30k-1 je n'arrive pas à conclure. Intuitivement je ne pense pas que ce soit toujours vrai vu le comportement un peu erratique des choses.
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