Décrire une expérience aléatoire discrète de série génératrice donnée

Si $T$ désigne le nombre d'échecs avant la première réussite (= sortie d'un Pile) dans une suite de lancers d'une pièce pas nécessairement équilibrée, la série génératrice $G_T$ a pour somme formelle $\displaystyle\frac p{1-qt}$ et, de ce fait, est divisible par $2$, c'est-à-dire de la forme $X_1+X_2$, où $X_1$ et $X_2$ sont i.i.d.
En effet, les coefficients $u_n$ de la série de somme formelle $\displaystyle\sqrt{\frac p{1-qt}}$ sont tous positifs (et, bien sûr, de somme $1$), plus précisément $u_n=\displaystyle\sqrt p\cdot{2n\choose n}q^n/2^{2n}$. Quelqu'un voit-il comment décrire une expérience aléatoire ayant cette même série génératrice ?

Pour tout dire, cela ressemble beaucoup à la loi du premier retour en $0$ d'une marche aléatoire sur $\Z$ mais ce n'est pas exactement cela ; en revanche, si l'on pose $p'=(1+\sqrt p)/2$ et $q'=1-p'$ , alors le terme $u_n$ est, au facteur multiplicatif constant $\sqrt p$ près, la probabilité pour que, au terme de $2n$ lancers de la pièce (correspondant cette fois à $p',q'$) , le nombres de Pile et de Face observés soient les mêmes. Cela ne répond pas à la question puisque l'on a ici des probabilités d'événements non incompatibles (et d'ailleurs, la somme de ces probabilité dépasse $1$).

Toute remarque sera la bienvenue :)

NB. Cette question peut sembler saugrenue, mais elle m'a semblé naturelle : une loi de {\sc Poisson} est somme de deux v.a.i.i.d. du même animal (avec $\lambda\leftarrow\lambda/2$), une loi binomiale ${\cal B}(2n,p,q)$ est somme de deux v.a.i.i.d. binomiales : dans chacun de ces deux cas, la demi-loi a une interprétation naturelle.

Réponses

  • Calli
    Modifié (February 2023)
    Bonsoir,
    On a $\displaystyle u_n = (p'-q')\binom{2n}{n}(p'q')^n$ et j'ai le vague souvenir que $p'-q'$ est la probabilité que la marche aléatoire sur $\Bbb Z$ de proba $p'$ ne touche jamais 0. Mais je ne sais plus pourquoi ce serait vrai, donc je ne suis pas sûr (c'est probablement lié à des chaînes de Markov). Si c'est exact, alors $u_n$ serait la proba que le dernier passage en 0 de cette marche est le $2n$-ième pas. Et ce dernier passage existe bien presque sûrement car $p'>\frac12$.
  • P.2
    P.2
    Modifié (February 2023)
    En trichant. Soit $0<p=1-q<1$ et $X$ une va à valeurs dans $\{1,2,\ldots\}$ de loi $\Pr(X=k)=C\times \frac{p^k}{k}$ avec $C=-1/\log q.$ Soit $X_1,\cdots,X_n,\ldots$ indépendantes et de même loi que $X$ et soit $N$ une va de Poisson de moyenne $\lambda$ indépendante des $X_i$. Alors
    $$\mathbb{E}(z^{\sum_{j=1}^NX_j})=\left(\frac{q}{1-pz}\right)^{\lambda C}.$$
  • J'allais répondre à Calli, et je vois que P.2 a eu lui aussi une jolie idée. La description de Calli (à qui je confirme l'interprétation de $p'-q'$) a l'avantage d'être simple dans le principe (mais seulement dans le principe car, n'étant pas d'essence divine, je ne saurai jamais quand se présente le dernier passage en $0$) ; celle de P.2 permet, elle, de choisir un exposant $1/r$ quelconque et de diviser la loi $T$ en la somme d'un nombre arbitraire $r$ de v.a.i.i.d. (si l'on dispose d'une bonne calculette).
    En fin de compte, il est aussi simple de lancer bêtement une pièce de monnaie et d'attendre que Pile sorte :)

    Merci à tous les deux, de ma part et de celle des colleurs qui nous lisent et qui vont faire leur miel de ces deux interprétations, et bon dimanche, j__j
  • Calli
    Modifié (February 2023)
    Calli a dit :
    j'ai le vague souvenir que $p'-q'$ est la probabilité que la marche aléatoire sur $\Bbb Z$ de proba $p'$ ne touche jamais 0.
    Tant pis pour les chaînes de Markov, on peut le démontrer comme ça : 
    Soit $T\in\Bbb N^*$ le temps aléatoire du premier retour en 0 d'une marche aléatoire sur $\Bbb Z$ de proba $p'$ qui part en 0. On peut avoir $T=\infty$ si la marche ne revient jamais en 0. Mais si $T<\infty$, alors : 
    • soit la marche va en 1 au temps 1, puis elle se balade dans $\Bbb N^*$ avant de revenir en 1 au temps $T-1$, puis en 0 au temps $T$,
    • soit elle va en -1 au temps 1, puis elle se balade dans $-\Bbb N^*$ avant de revenir en -1 au temps $T-1$, puis en 0 au temps $T$.
    La proba que le premier cas se produise est (avec $C_n$ le $n$-ième nombre de Catalan) $$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty p'\cdot C_n\,(p'q')^n \cdot q' &=& \sum_{n=0}^\infty \binom{2n}{n} \frac{(p'q')^{n+1}}{n+1} \\&=& \int_0^{p'q'} \sum_{n=0}^\infty \binom{2n}{n} x^n  \,\mathrm{d}x \\ &=&  \int_0^{p'q'} \frac1{\sqrt{1-4x}} \mathrm{d}x \\[1mm] & =&\frac{1-\sqrt{1-4p'q'}}2 \\&=& q'\end{eqnarray*}$$ La proba que le second cas se produise est $\sum\limits_{n=0}^\infty q'\cdot C_n\,(p'q')^n \cdot p' $, c'est-à-dire la même chose. Donc on a bien $$\Bbb P(T=\infty)=1-\Bbb P(T<\infty)=1-2q'=p'-q'.$$
  • Tout à fait ! Pour ma part, je vois cela de façon analogue, avec les notations $p,q$ : je désigne par $\wp_n$ la probabilité d'être en $0$ après $2n$ lancers, avec $\wp_0=1$, et, pour $n\geqslant1$, par $\pi_n$ celle d'y être pour la première fois. Une disjonction d'événements montre que $\wp_n=\pi_n\wp_0+\pi_{n-1}\wp_1+...+\pi_1\wp_{n-1}$, de sorte que l'on a $Gg=G-1$, où $G$ est la série génératrice des $\wp$ et $g$ celle des $\pi$.
    Mais on a $\wp_n={2n\choose n}p^nq^n$ et donc $G(t)=\big(1-4pqt\big)^{-1/2}$ et $g(1)=1-\big(1-4pq\big)^{1/2}=|p-q|$.
  • Ah je n'avais pas vu que tu avais déjà envoyé un deuxième message John. C'est pour ça que j'essayais encore de savoir si mon $p'-q'$ était vrai.
    Pas mal ta preuve avec les séries génératrices.
  • Et, quant à moi, j'utilise reconventionnellement $G$ et $g$ pour faire retrouver en exo la valeur des nombres de Catalan ; cela dit, autant les élèves savent DSE la fonction $t\mapsto(1-4t)^{-1/2}$, autant il est difficile de leur faire reconnaître la somme à partir du DSE (c'est nécessaire dans nos deux méthodes). 
  • Les colleurs savaient probablement déjà tout cela puisque un exercice tournant autour de ces notions date d'il y a quelques années déjà.
    On en trouve trace par exemple dans l'exercice numéroté 370 dans la RMS 127-2 (donc donné à l'oral de Polytechnique pour des élèves de PSI).
    Je l'ai très légèrement modifié ci-dessous.
    On remarquera qu'il y a (sans doute volontairement de la part de l'X) plusieurs omissions de quantificateurs, et plein de subtilités susceptibles de piéger les élèves :
    - Justification que les rayons de convergence de A et B son non nuls,
    - Comparaison de ces rayons,
    - Justification correcte de l'identité demandée entre A et B
    - Cas particulier où p=1/2 pour la question 3 et surtout pour la question 5.


  • Bonsoir, bisam,
    je n'avais pas vu passer cet énoncé, mais je me doutais bien que le recours à des séries génératrices de suites était un procédé ultra-classique ; en revanche, la question 4) confirme ce que je pensais : un colleur ne suppose pas qu'un candidat saura reconnaître la fonction $x\mapsto(1-4pqx^2)^{-1/2}$ à partir de son DSE.
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