Coefficients dans un développement asymptotique

Boécien

Soit $S(n)=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}-\log\left(1+\frac{1}{k}\right)$ dans un poly il est demandé de trouver la formule pour les coefficients $C(k)$ dans $$S(n)+\tanh^{-1}\left(\frac{1}{n}\right)=\gamma+\frac{n^{-1}}{2}+\sum_{k\geq1}C(k)n^{-2k}$$
Je pense que qu'il y a les nombres de Bernoulli quelque part. Quelqu'un voit une formule ?

Boécien

Bon c'est tout trivial juste l'estimation classique des nombres harmoniques.  Sorry.