Équation différentielle difficile
Réponses
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$u=1/w$ simplifie un peu, surtout si $\alpha=0.$ J'etais trop optimiste avec $v=w+\alpha,$ pardon.
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Cherchons des sous-problèmes simples. Si $u(0) = 0$, l'unique solution est $u = 0$. Si $\beta = \gamma = 0$, la solution qui ne s'annule pas est sous réserve d'existence $$u(x) = \frac{-\alpha}{\delta} \frac{1}{1 + W(- \frac{\alpha}{\delta} e^{\frac{\alpha^2}{\delta} x + C})},\qquad C \in \mathbb{R},$$ où $W$ est la fonction de Lambert. Vu ce qu'on trouve, il me parait illusoire de chercher une solution analytique dans le cas général.
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P.2 a dit : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2408675/#Comment_2408675[Inutile de recopier l’avant dernier message. Un lien suffit. AD]
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Bibix a dit : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2408686/#Comment_2408686[Inutile de recopier l’avant dernier message. Un lien suffit. AD]
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Bonjour.
Le cas $\alpha=0$ est à variables séparées.
Le cas $\alpha \neq 0$ se traite avec un changement de fonction : $w=-{1 \over \alpha u}$ dans un intervalle en $x$ sur lequel la fonction $u$ se s'annule pas. On obtient $w w' = w - {\beta x^2 + \gamma x + \delta \over \alpha^2}$.
C'est de la forme $y y' = y + f(x)$ : équation différentielle d'Abel sous forme canonique.
On sait résoudre pour $f(x) = a x + b x^s + c x^q$ avec $s, q$ prenant certaines valeurs.
Dans notre cas général, on ne connait pas les solutions. On peut considérer que $\gamma =0$ sans perte de généralité en formant un carré en $x$ puis avec un changement de variable et de fonction.
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Bonjour!
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