Équation différentielle difficile

algebras
Modifié (February 2023) dans Analyse
Bonjour
Je cherche une méthode/ou la solution de l'équation différentielle suivante : $$\frac{du}{dx}=\alpha u^2+(\beta x^2+\gamma x+\delta)u^3,$$ avec $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ sont des constantes arbitraires.

Réponses

  • P.2
    P.2
    Modifié (February 2023)
    $u=1/w$ simplifie un peu, surtout si $\alpha=0.$ J'etais trop optimiste avec $v=w+\alpha,$ pardon.
  • Bibix
    Modifié (February 2023)
    Cherchons des sous-problèmes simples. Si $u(0) = 0$, l'unique solution est $u = 0$. Si $\beta = \gamma = 0$, la solution qui ne s'annule pas est sous réserve d'existence $$u(x) = \frac{-\alpha}{\delta} \frac{1}{1 + W(- \frac{\alpha}{\delta} e^{\frac{\alpha^2}{\delta} x + C})},\qquad  C \in \mathbb{R},$$ où $W$ est la fonction de Lambert. Vu ce qu'on trouve, il me parait illusoire de chercher une solution analytique dans le cas général.
  • algebras
    Modifié (February 2023)
    [Inutile de recopier l’avant dernier message. Un lien suffit. AD]
    Je suis tombé sur l'équation: $ v=-[\alpha x+\int\frac{\beta x^2+\gamma x+\delta}{v+\alpha}dx].$ Mais comment calculer l'intégrale !
  • algebras
    Modifié (February 2023)
    [Inutile de recopier l’avant dernier message. Un lien suffit. AD]
    Et si on utilise un outil informatique (Matlab ou Maple par exemple), qu'est ce qu'on trouve ?
  • Bonjour.

    Le cas $\alpha=0$ est à variables séparées. 

    Le cas $\alpha \neq 0$ se traite avec un changement de fonction : $w=-{1 \over \alpha u}$ dans un intervalle en $x$ sur lequel la fonction $u$ se s'annule pas. On obtient $w w' = w - {\beta  x^2 + \gamma x + \delta \over \alpha^2}$. 

    C'est de la forme $y y' = y + f(x)$ : équation différentielle d'Abel sous forme canonique. 

    On sait résoudre pour $f(x) = a x + b x^s + c x^q$ avec $s, q$ prenant certaines valeurs. 

    Dans notre cas général, on ne connait pas les solutions. On peut considérer que $\gamma =0$ sans perte de généralité en formant un carré en $x$ puis avec un changement de variable et de fonction. 
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