Divergence série harmonique par Cesàro
En m'amusant à répertorier des preuves de la divergence la série harmonique, je me suis focalisé sur les preuves par contradiction. M'est alors venue l'idée d'utiliser Cesàro ce qui ne me semble pas trop connu comme preuve mais je doute que ce soit nouveau !
Preuve par contradiction que la suite $H_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}$ tend vers l'infini.
Supposons le contraire, comme $H_{n}$ est croissante elle serait nécessairement bornée donc convergente. Notons sa limite $\ell=\lim_{n\rightarrow\infty}H_{n}$. On a $H_{1}+\dots+H_{n}=(n+1)H_{n}-n$ donc $$\frac{H_{1}+\dots+H_{n}}{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)H_{n}-1\rightarrow\ell-1.$$
Or, d'après Cesàro $\frac{H_{1}+\dots+H_{n}}{n}\rightarrow\ell$ contradiction sauf à ce que cette limite soit infinie.
Supposons le contraire, comme $H_{n}$ est croissante elle serait nécessairement bornée donc convergente. Notons sa limite $\ell=\lim_{n\rightarrow\infty}H_{n}$. On a $H_{1}+\dots+H_{n}=(n+1)H_{n}-n$ donc $$\frac{H_{1}+\dots+H_{n}}{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)H_{n}-1\rightarrow\ell-1.$$
Or, d'après Cesàro $\frac{H_{1}+\dots+H_{n}}{n}\rightarrow\ell$ contradiction sauf à ce que cette limite soit infinie.
Pour d'autres preuves voir cet article.
En avez vous d'autres ?
En avez vous d'autres ?
[Ernesto Cesàro (1859-1906) mérite le respect de son patronyme.
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Réponses
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Très amusant !
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Bon visiblement Cesàro c'est connu! Une autre.Il est clair que pour tout $n$ on a $$s\geq1+\frac{1}{2}+\dots+\frac{1}{n}+\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n+k}=H_{n}+\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1+\frac{k}{n}}$$ Donc en faisant tendre $n$ vers l'infini il vient $$s\geq s+\int_{0}^{1}\frac{1}{1+t}dt=s+\log2$$ Contradiction.
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Très belles preuves @BoécienJe suis donc je pense
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Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
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Marrant comme preuve. Dans le genre raisonnement pas l'absurde j'aime bien la suivante :
La suite $(H_n)_n$ est croissante donc elle admet une limite. Si cette limite était finie on aurait
\[\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{2k} + \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{2k} < \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{2k} +\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{2k-1} = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k},\] ce qui est absurde. C'est donc que $(H_n)_n$ diverge.
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Merci Renart. Expéditif! Dans le genre cela doit être la plus courte.
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Cherchez l'erreur. Soit la suite des “non puissances” $a_n=2,3,5,6,7,10,11,12,13,14,15,17$ alors si $H_{n}$ converge vers $\ell$ on a
\begin{align*}
\ell&=1+\left(\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{1}^{2}}+..\right)+\left(\frac{1}{a_{2}}+\frac{1}{a_{2}^{2}}+..\right)+\left(\frac{1}{a_{3}}+\frac{1}{a_{3}^{2}}+..\right)\ldots\\
&=1+\frac{1}{a_{1}}\frac{1}{1-1/a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}\frac{1}{1-1/a_{2}}+\ldots\\
&=1+\frac{1}{a_{1}-1}+\frac{1}{a_{2}-1}\ldots
\end{align*}Les entiers manquants complétant les $a_n$ sont $b_n=4,8,9,16,25$. Donc on a aussi$$\ell= \frac{1}{a_{1}-1}+\frac{1}{a_{2}-1}+\dots+\frac{1}{b_{1}-1}+\frac{1}{b_{2}-1}+\ldots$$
Ce qui donne le résultat $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{b_{n}-1}=1$$ qui est vrai! Montré par Goldbach. -
Pour en revenir à Cesàro pour la série harmonique, il y a un lien avec le célèbre problème de l'empilement de briques (ou de dominos, ou de cartes à jouer, etc.).Je considère des briques, chacune de longueur 2, que je désigne par $B_0, B_1, \ldots$ à partir de celle du haut : voir la figure. J'appelle $x_n$ l'abscisse du centre de gravité de la brique $B_n$, en prenant $x_0=0$. On réalise l'empilement brique à brique en partant du haut, pour qu'il soit en équilibre et qu'il y reste.L'abscisse du centre de gravité de l'ensemble des briques $B_0, B_1, \dots, B_{n-1} $ est : $\frac 1n (x_0+x_1+\dots+x_{n-1})$. Pour avoir un empilement qui reste stable avec surplomb maximum, on prendra pour la brique suivante : $x_n=\frac 1n (x_0+x_1+....+x_{n-1}) +1$. Ce qui définit la suite $x_n$ par récurrence en partant de $x_0=0$.Si cette suite $x_n$ avait une limite finie $\ell$, par Cesàro celle-ci vérifierait : $\ell=\ell +1$, impossible.Et justement, la suite $x_n$ ainsi définie, ce n'est autre que $x_n=H_n$.Il me semble avoir vu ça dans Quadrature, au siècle dernier, mais j'ai perdu la référence. Scripta manent, pas toujours.
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Encore une pièce au dossier :
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Merci @Tryphon1192 pour ces contributions. Étonnant de voir J. Karamata s'intéresser à des questions aussi simples! C'est un esthète.
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$(1)$ $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+...=\ell$
$(2)$ $1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+...=\log2$
$$(1)-(2)=\ell-\log2=\frac{2}{2}+\frac{2}{4}+\frac{2}{6}+...=\ell\Rightarrow\log2=0$$
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