Un birapport

Jean-Louis Ayme

Bonjour,

1. ABC       un triangle

2. (O)         le cercle circonscrit

3. K            le point de Lemone

4. X, Y        le pied, la circumtrace de (AK).

Question :      KA/KX : YA/YX = 1/2.

Sincèrement

Jean-Louis

Rescassol

Bonjour,

Avec un coup de Morley circonscrit:

% Jean-Louis Ayyme - 03 Février 2023 - Un birapport

% 1. ABC       un triangle
% 2. (O)       le cercle circonscrit
% 3. K         le point de Lemoine
% 4. A_1, A_2  le pied, la circumtrace de (AK).

% Question :      KA/KA1 : A2A/A2A1 = 1/2.

%-----------------------------------------------------------------------

clc, clear all, close all

syms a b c

aB=1/a; bB=1/b; cB=1/c; % Conjugués

s1=a+b+c;  % Fonctions symétriques de a, b, c
s2=a*b+b*c+c*a;
s3=a*b*c;

s1B=s2/s3; s2B=s1/s3; s3B=1/s3;  % Conjugués

%-----------------------------------------------------------------------

% K=X(6) point de Lemoine du triangle ABC
k=(2*s2^2-6*s1*s3)/(s1*s2-9*s3); kB=(2*s2B^2-6*s1B*s3B)/(s1B*s2B-9*s3B); 
[pak qak rak]=DroiteDeuxPoints(a,k,aB,kB); % Droite (AK)

[a1 a1B]=IntersectionDeuxDroites(pak,qak,rak,1,b*c,-b-c); % Point A_1
a1=Factor(a1) 
% On trouve:
% a1=((b^2+c^2)*a^2 - 2*b*c*(b+c)*a + 2*b^2*c^2)/((b+c)*a^2 - 4*b*c*a + b*c*(b+c))

syms a2

a2B=1/a2;
NulA2=Factor(pak*a2+qak*a2B+rak)
% a*b - 2*a*a2 + a2*b + a*c + a2*c - 2*b*c = 0 donc:
a2=(a*(b+c)-2*b*c)/(2*a-(b+c)); % Point A_2
a2B=(aB*(bB+cB)-2*bB*cB)/(2*aB-(bB+cB));

Bi=Factor(Birapport(a,a1,k,a2))
% On trouve Bi=-1/2

Cordialement,
Rescassol

PS: Et le dessin ?

Rescassol

Bonjour,

Et en barycentrique:

% Jean-Louis Ayme - 03 Février 2023 - Un birapport

% 1. ABC       un triangle
% 2. (O)       le cercle circonscrit
% 3. K         le point de Lemoine
% 4. A1, A2    le pied, la circumtrace de (AK).

% Question :      KA/KA1 : A2A/A2A1 = 1/2.

%-----------------------------------------------------------------------

clc, clear all, close all

syms a b c real % Longueurs des côtés du triangle ABC

A=[1; 0; 0]; % Point A

%-----------------------------------------------------------------------

K=[a^2; b^2; c^2]; % Point de Lemoine K
AK2=Factor(Distance2(A,K,a,b,c)) % Carré de la distance AK

A1=[0; b^2; c^2]; % Pied A1 de la cévienne (AK)
AA12=Factor(Distance2(A,A1,a,b,c)) % Carré de la distance AA1

syms u x y z real
f(x,y,z)=a^2*y*z+b^2*z*x+c^2*x*y; % Équation du cercle circonscrit

% A2 est sur (AK) donc: A2=[u; b^2; c^2]
NulA2=Factor(f(u,b^2,c^2)); % A2 est sur le cercle circonscrit
% On trouve NulA2=b^2*c^2*(a^2 + 2*u) donc:
A2=[-a^2; 2*b^2; 2*c^2];
AA22=Factor(Distance2(A,A2,a,b,c)) % Carré de la distance AA2

%-----------------------------------------------------------------------

% On trouve:

AK2  = b^2*c^2*(- a^2 + 2*b^2 + 2*c^2)/(a^2 + b^2 + c^2)^2
AA12 = b^2*c^2*(- a^2 + 2*b^2 + 2*c^2)/(b^2 + c^2)^2
AA22 = 4*b^2*c^2/(- a^2 + 2*b^2 + 2*c^2)

% On pose u^2=- a^2 + 2*b^2 + 2*c^2 alors:

AK  = b*c*u/(a^2 + b^2 + c^2);
AA1 = b*c*u/(b^2 + c^2);
AA2 = 2*b*c/u;

Bi=Factor(Birapport(0,AA1,AK,AA2));
Bi=subs(Bi,u^2,- a^2 + 2*b^2 + 2*c^2)
% On trouve Bi=-1/2

Cordialement,

Rescassol

gipsyc

Bonjour
Une approche purement algébrique. (mesures non orientées)

Quelques formules et quelques calculs :
AK/KX = (b² + c²)/a²     (1)

Comme je ne connais pas YA/YX dans la A-symédiane, je le calcule par Thalès avec les points équivalents de la médiane conjuguée, dont je connais ou je calcule les différentes mesures des segments.

Soit M et M' le pied et la circumtrace de la A-médiane
   AM = ½ √[2(b² + c²)-a²]   (théorème de la médiane)
   AM' = ½ ( b² + c²) / AM
   MM' = AM' - AM
           = ½ ( b² + c²) / AM - AM
           = [½ ( b² + c²) - AM² ] / AM 
   M'A/MM' 
           = [½ ( b² + c²) / AM] / [[½ ( b² + c²) - AM² ] / AM] 

           = [½ ( b² + c²)] / [½ ( b² + c²) - AM² ]

           = [½ ( b² + c²)] / [½ ( b² + c²) - ½ ( b² + c²) + a²/4 ]
           = 2(b² + c²)/a²     (2)

Thalès
⇒ 

YA/YX = M'A/MM'  
(sur mon schéma
 Ka'A/Ka'Ka = Ma'A/Ma'Ma)
 
(AK/KX) / (YA/YX)
= (AK/KX) / (M'A/MM')
      (1)(2) ⇒ 
= [(b² + c²)/a²] /  [2 (b² + c²) / a²] 
= ½ 
CQFD

Un schéma (Ka = X, Ka' = Y, Ma = M, Ma' = M') avec une construction originale du point K à partir du cercle à 9 points.
(les projections U, V, W de K sur les côtés du triangle concernent un autre problème)

Peut-être est-il possible d'y arriver avec moins de calculs avec ce schéma (A-symédiane, bissectrice et médiane)

Cordialement,
Jean-Pol Coulon

Jean-Louis Ayme

Bonjour,

je pense que l'on parle de la A-droite de Schwatt...

Sincèrement
Jean-Louis

gipsyc

Bonjour JL Ayme,

Merci pour la A-droite de Schwatt (la A-symédiane).

http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/Docs/Orthique%20encyclopedie%203.pdf

J'avais juste rassemblé quelques propriétés sur le point de Lemoine  glanées ci et là pour construire comme présenté ce point ... et la A-droite de Schwatt, que j'ignorais.

Jean-Pol Coulon

pappus

Bonjour à tous

Il n'y a pratiquement aucun calcul à faire, juste connaître son cours de géométrie projective.
On utilise la transformation projective fixant les points $A$, $B$, $C$ et envoyant le point de Lemoine $K$ sur le centre de gravité $G$!
Ah zut, j'avais complètement oublié que la géométrie projective avait totalement disparu  de nos compteurs!
Amicalement
pappus
PS
Je ne vois pas très bien l'intérêt de proposer le calcul d'un birapport sans son signe!
D'un point de vue projectif, la figure formée par un triangle, son cercle circonscrit et son point de Lemoine est juste celle formée par un triangle, une conique circonscrite et son perspecteur.
Vite, vite, oublier ce cauchemar!

pappus

OK

pappus

Bonjour à tous

Autrement dit, il suffit de faire le calcul demandé par Jean-Louis dans le cas de l'ellipse de Steiner circonscrite et de son perspecteur le centre de gravité.
Sur ma figure ci-dessous, on lit:
$\dfrac{\overline{GA}}{\overline{GX}}=-2$ et $\dfrac{\overline{YA}}{\overline{YX}}=4$.
Et donc:

$$(A,X,G,Y)=-\dfrac 12$$

A oublier évidemment le plus vite possible et dans les délais les plus brefs!
Cela ne devrait pas être trop difficile avec tous ces triplets de points alignés qui nous attendent.
Amicalement
pappus

Swingmustard

Bonjour Jean-Louis Ayme,

J'aime bien les birapports, et je me suis enthousiasmé pour celui-ci en avril 2022.

Bravo si tu réussis à ce que @pappus ou @pldx1, qui le pratiquent depuis longtemps, le trouvent un peu moins banal que quand ils m'ont aidé à le redécouvrir, tout en ne se gênant pas pour lui trouver un air de B-A-BA

Amicalement,

Swingmustard

Swingmustard

Bonsoir,

@pappus dit :  "D'un point de vue projectif, la figure formée par un triangle, son cercle circonscrit et son point de Lemoine est juste celle formée par un triangle, une conique circonscrite et son perspecteur."

Même si les perspecteurs me traumatisent moins qu'avant, je n'ai pas vu au début que seul le point de Lemoine vérifie cela.

Voici donc des points remarquables de $ABC$ et leur conique circonscrite lorsqu'on les prend comme perspecteurs.

Il y a d'autres manières, mais J'aime bien obtenir la conique avec, justement le birapport $-\dfrac12$.

Par exemple si $A'$ est le pied de la cévienne, $A''\doteq$ Barycentre({A, A'}, {-0.5, -RapportColinéarité(X, A', A)})

Hors de Lemoine, point de cercle.

Amicalement,

Swingmustard

Swingmustard

On peut se demander : pourquoi associer cette conique circonscrite $\Gamma$ au perspecteur, et pas une autre ?

Je crois qu'on exige de $\Gamma$ qu'aux sommets du triangle $ABC$, elle soit tangente au triangle anticévien (celui pour lequel $ABC$ est cévien), en rouge ici.

         

Amicalement,

Swingmustard

pappus

Mon cher Swingmustard
On va voir si tu as compris ma démonstration de l'exercice de Jean-Louis.
Je te propose la construction suivante dans le plan (projectif).
On se donne une conique $\Gamma$ et un point $P$.
Construire tous les triangles $ABC$ inscrits dans $\Gamma$ tels que $P$ soit le perspecteur de $\Gamma$ par rapport au triangle $ABC$.
Amicalement
pappus

Swingmustard

Merci pour cette question, pappus !
Ma construction de $A'$ repose sur $[A,a,P,A']=-\dfrac13$, où $a$ est l'autre intersection de $AP$ avec $\Gamma$.
Mais j'aimerais bien savoir quel paramétrage te permet de faire tourner $A$.
(Actuellement, je triche en le prenant comme intersection de $\Gamma$ avec un rayon de cercle de centre $P$.)

Amicalement,
Swingmustard

pappus

Mon cher Swingmustard.
Je n'ai besoin d'aucun paramétrage!
Quand j'ai un point sur un objet, par exemple le point $A$ sur la conique $\Gamma$, je dispose d'un bouton animation qui me permet de faire se mouvoir automatiquement le point $A$ sur $\Gamma$.
C'est le logiciel qui se charge de tout.
Effectivement je commence par choisir un point $A$ quelconque sur la conique $\Gamma$

Ensuite il me faut construire la droite $BC$.
Je le fais en construisant deux de ses points:
1° Son intersection avec la droite $AP$.
2° Son intersection avec la tangente en $A$ à $\Gamma$.

C'est facile ou difficile suivant son niveau de connaissance!
Pour le 1°, c'est effectivement une question de birapport connu, voir la question de Jean-Louis et en particulier la façon dont je l'ai résolue.
Pour le 2°, c'est une question de réciprocité polaire, autant dire que c'est mission impossible pour le commun des mortels, condamnés à rester dans l'oasis bienfaisante mais pas pour toi qui étudie la géométrie projective depuis des mois et des mois.
Amicalement
pappus
PS
Je serais heureux de connaître ta propre construction!

pappus

Bonjour à tous
Je suis un peu déçu que Swingmustard ne nous ait pas donné une idée de sa construction.
Quant à moi, je vais expliquer la mienne dans le moindre détail.
Ce sera donc un peu long.
Si on part d'un repère projectif $(A,B,C,P)$, la conique circonscrite au triangle $ABC$ de perspecteur $P$ a pour équation:

$yz+zx+xy=0$.
Il en résulte que si vous prenez un second repère projectif $(a,b,c,p)$, la transformation projective $(A,B,C,P)\mapsto (a,b,c,p)$ va envoyer les objets de la première figure sur les objets homologues en minuscule de la seconde.

D'un point de vue bourbakiste, la configuration formée par un triangle, une conique circonscrite et son perspecteur reste dans un même orbite sous l'action du groupe projectif!
En particulier les birapports se conservent:
$(A,A''',P,A'')=(a,a''',p,a'')$, $(B,B''',P,B'')=(b,b''',p,b'')$, $(C,C''',P,C'')=(c,c''',p,c'')$

Mais il y a mieux, on peut toujours supposer que $p$ est le centre de gravité du triangle $abc$, auquel cas $\gamma$ devient l'ellipse de Steiner de $abc$.

Et sur cette seconde figure les birapports se calculent aisément puisque $p$ non content d'être le centre de gravité est aussi le centre de l'ellipse de Steiner $\gamma$ et on lit sur la figure:
$(a,a''',p,a'')=(b,b''',p,b'')=(c,c''',p,c'')=\dfrac 13$

Résultat des courses:

Dans le cas général:
$(A,A''',P,A'')=(B,B''',P,B'')=(C,C''',P,C'')=\dfrac 13$

Et évidemment on va se servir de ce résultat dans la construction à venir!
Amicalement
pappus

pappus

Bonjour à tous.
Et battons le fer pendant qu'il est chaud!

Je commence ma construction!

Je choisis un point quelconque $A\in \Gamma$.
Je trace la droite $AP$ qui recoupe $\Gamma$ en $A'''$.
On doit tracer $A''=BC\cap AP$ en sachant que $(A,A''',P,A'')=\dfrac 13$.
Construire le quatrième point d'un quaterne dont on connait le birapport.
Du nanan pour Swingmustard!
Voilà comment je m'y suis pris:
J'ai tracé un point quelconque $p$, le symétrique $a'''$ de $A$ par rapport à $p$ puis le milieu $a''$ de $pa'''$.
Enfin j'ai effectué la construction en pointillé que vous avez sous les yeux pour obtenir le point $A''$.
Là évidemment on sort de l'oasis bienfaisante!
Amicalement
pappus.

pappus

Bonjour à tous.
Chose promise chose due, je termine ma construction!
Le pôle de $BC$ par rapport à $\Gamma$ est le point $A'$.
Donc par réciprocité polaire, le pôle $T$ de la droite $APA'$ est situé sur la tangente en $A$ à $\Gamma$, sur la polaire $D$ de $P$ par rapport à $\Gamma$ et enfin sur la polaire de $A'$ à savoir la droite $BC$.
Conclusion: $T$ est à l'intersection de la tangente en $A$ et de la polaire $D$ de $P$.

Et c'est fini, n.i.ni, c'est fini!
Amicalement
pappus

Swingmustard

Bonjour pappus,

Pour me dépêcher de répondre, j'avais remarqué que l'anticévien $A'$ vérifie $[A,a,P,A']=-\dfrac13$.

Merci pour ta construction d'un birapport $+\dfrac13$ !Moins poétiquement, j'ai entré A'=Barycentre({A, a}, {-1/3, -RapportColinéarité(P, a, A)}).
Je crois qu'ensuite, en demandant les tangentes, j'ai obtenu $A'B'C'$ et rapidement posté.
Amicalement,
Swingmustard

pappus

Merci Swingmustard pour ta réponse.
Tu construis le point $A'$, OK.
Ensuite que fais-tu exactement ?
Amicalement
pappus

Swingmustard

Cher pappus
Je demande Polaire de $A'$, qui me permet de tracer $B$ et $C$.
Puis Tangentes en $A$, $B$, $C$ donne le triangle anticévien $A'B'C'$.
Amicalement,
Swingmustard

pappus

Merci Swingmustard !
Encore fallait-il le dire !
Amicalement
pappus

PS
Tu ferais mieux de t'intéresser à la géométrie hyperbolique dans le modèle de Klein qui ne fait que réinterpréter des résultats de géométrie projective !

Jean-Louis Ayme

Bonjour,
http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/vol63.html
puis

Problèmes sur le points de Lemoine,   Problème 7

Sincèrement
Jean-Louis

gipsyc

Bonjour
Pour en revenir à la question initiale de JL Ayme, voici un schéma extrait de mes notes récapitulant quelques données algébriques à propos de la symédiane (symmédiane sur mon schéma, par contamination anglo-saxonne).
J'y ai rajouté le birapport sous la forme

   AS/SSa = ½ ALe/LeSa = ¼ AAs/AsSa = (b² + c²)/2a² 

S  = A-symédiane ∩ sécante par les pieds des B- et C-symédianes
Le = le point de Lemoine
Sa = le pied de la A-symédiane
As = la circumtrace de la A-symédiane

Belle soirée,
Jean-Pol Coulon

gipsyc

Bonjour
Voici une démonstration algébrique du birapport de JL Ayme donnée par Ichung Chen, avec le schéma que j'ai proposé en question.
Notons que le premier rapport,
   AS/SSa = ½ ALe/LeSa
que j'ai rajouté pour l'exercice, est vrai pour tout triplet de céviennes concourantes.

ASc/ScB = b²/a², ASb/SbC = c²/a²

By Van Aubel, Ceva, Gakopoulos theorem:

ALe/LeSa = (ASc/ScB) + (ASb/SbC) = (b²+c²)/a²  

AS/SSa = (ALe/LeSa)/2

denote M = midpoint of BC, AM = m

AB/AsB = AM/CM,
AC/AsC = AM/BM

ASa/AsSa = [ABC]/[AsBC]

= (AB‧AC)/(AsB‧AsC)

= 4m²/a² = (2b²+2c²-a²)/a²

AAs/AsSa = (2b²+2c²)/a²

AS/SSa = (ALe/LeSa)/2 = (AAs/AsSa)/4 = (b²+c²)/2a²
Cordialement,
Jean-Pol Coulon

stfj

sagemath via

_________________________

def norm(M):
    return(M/(Linf*M))

def vecteur(X,Y):
    vec=norm(Y)-norm(X)
    return vec

def birapport(B,C,G,H):
    bi= factor(vecteur(H,C)/vecteur(H,B)/(vecteur(G,C)/vecteur(G,B)))
    return bi
    
var('a b c ')
Linf=vector([1,1,1])
A=vector([1,0,0])
K=vector([a^2,b^2,c^2])
X=vector([0,b^2,c^2])
Y=vector([-a^2,2*b^2,2*c^2])

print (birapport(X,A,Y,K))

____________________________________

fournit bien $-\frac12$.