$A^2$ et $A^3$ semblables dans $M_3(\C)$
Bonjour,
J'ai récemment trouvé une feuille d'exercices de MP* écrite par un collègue sur la réduction où il fallait déterminer l'ensemble des matrices $A$ dans $M_3(\C)$ telles que $A^2$ et $A^3$ sont semblables dans $M_3(\C)$.
Je ne trouve pas cet exercice facile mais mon collègue a rédigé ceci (je ne vous montre que le début de son corrigé):

Outre la coquille dans $\Delta_1$ on est bien d'accord qu'il y a d'autres possibilités ? (par exemple en notant $a=e^{\frac{2i\pi}{5}}$, $b=a^{4}$ et $c=1$. On pose $D=\text{Diag}\left(a;b;c\right)$. $D^{2}=\text{Diag}\left(a^{2};a^{3};1\right)D^{3}=\text{Diag}\left(a^{3};a^{2};1\right)$ sont bien semblables et $D$ ne fait pourtant pas partie de la liste.
Je ne vois pas comment résoudre cet exercice simplement au sein d'une colle. Je rate un truc ?Réponses
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Oui il y a d'autres possibilités comme tu l'as remarqué. Ce qui compte c'est que $\{\lambda^2 \mid \lambda \in \mathrm{Spec}(A)\} = \{\lambda^3 \mid \lambda \in \mathrm{Spec}(A)\}$, pas qu'il y ait égalité $\lambda^2 = \lambda^3$ pour tout $\lambda \in \mathrm{Spec}(A)$.
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Effectivement, mais l'exercice me semble compliqué pour le coup non ?
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On peut se limiter à demander quelles sont les matices diagonalisables telles que $A^2$ et $A^3$ sont semblables dans $M_3(\C)$.
A une similitude près je ne trouve que 10 matrices en plus des quatre n'ayant que 0 ou 1 comme valeurs propres :
4 matrices avec 0 ou 1 et deux racines cinquièmes de 1 comme valeurs propres
6 matrices avec trois racines 19èmes de 1 comme valeurs propres. -
Il y a juste plus de cas à considérer (c'est le cas non diagonalisable où il faut faire attention, même si la réduction de Jordan permet de s'en sortir).Ou bien on a $\lambda^2 = \lambda^3$ pour tout $\lambda \in \mathrm{Spec}(A)$ et donc $\mathrm{Spec}(A) \subset \{0, 1\}$.Ou bien il existe $\lambda \neq \mu \in \mathrm{Spec}(A)$ tels que $\lambda^2 = \mu^3$ et $\mu^2 = \lambda^3$, ce qui donne $|\lambda| = |\mu| = 1$, et si $\lambda = e^{i \theta}, \mu = e^{i \varphi}$, on obtient facilement $\theta \equiv - \varphi \text{ mod } 2\pi$, puis $\lambda^5 = \mu^5 = 1$, et la dernière valeur propre doit vérifier $\nu^2 = \nu^3$.Ou bien il existe $\lambda \neq \mu \neq \nu \in \mathrm{Spec}(A)$ tels que $\lambda^3 = \mu^3, \mu^2 = \nu^3$ et $\nu^2 = \lambda^3$. Alors à nouveau ils sont tous de module $1$, et en notant $\lambda = e^{i \theta}, \mu = e^{i \varphi}$ et $\nu = e^{i \alpha}$, on trouve, sauf erreur, que $\lambda, \mu$ et $\nu$ sont des racines $19$-ièmes de l'unité distinctes.Il reste à faire la synthèse dans chaque cas.
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Merci à vous deux. La décomposition de Jordan est au programme de MP ?
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Je n'en sais rien, mais en dimension $3$ elle n'est pas très difficile à établir.
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C'est vrai. Bon cela fait tout de même beaucoup pour un exercice de colle. Merci pour les réponses
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Je vais informer Stephane-L pour cette coquille
Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs.. -
Salut gebrane
Tu le connais ? -
Alors pourquoi l'as tu as ouverte ?
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Pour aller dans le sens de @jandri, je pense qu'en exercice de colle de MP, on peut se contenter de demander "le nombre de classes de similitudes de l'ensemble des matrices $A$ de $M_3(\C)$ qui sont diagonalisables et telles que $A^2$ et $A^3$ soient semblables".Cela fait travailler sur la réduction des endomorphismes mais aussi sur les complexes, les sous-groupes de $\Z$, l'arithmétique, le dénombrement, etc.Pour prolonger, on peut ensuite demander "le nombre de classes de similitudes de l'ensemble des matrices $A$ de $M_3(\R)$ qui sont diagonalisables dans $M_3(\C)$ et telles que $A^2$ et $A^3$ soient semblables", voire un exemple de matrice réelle vérifiant cela mais qui ne soit pas diagonalisable dans $M_3(\R)$.
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