Écart-type divisé par n ou (n-1) ?

Jp007

Dans un laboratoire on mesure le coefficient X d’amplification d’un préamplificateur. On a relevé les douze mesures suivantes pour X :
{2.51, 2.59, 2.54, 2.48, 2.5, 2.49, 2.55, 2.56, 2.59, 2.55, 2.6, 2.54}
Déterminer à la calculatrice une valeur approchée à 10^-3 près de la moyenne et de l’écart-ttype de cette série de mesures.

La moyenne x barre = 2.541666667 # 2.542
L’écart-type = (Somme des écart à l moyenne au carrée)/(n-1) Ou (Somme des écart à l moyenne au carrée)/n

Dans toutes les corrections (3 au total) que j’ai vues, ils divisaient par (n) alors qu’on devrait diviser par (n-1) puisqu’il s’agit d’un échantillon, non ?

zeitnot

Oh, vaste débat !

Si tu ne veux bien que l'écart-type de la série de ces n mesures tu divises par n.

Dom

Si on parle le l’écart type de cette série de mesures il me semble bien que la formule est avec « $n$ ». 

Ce n’est pas un estimateur de l’écart type de toutes les mesures que l’on demande mais juste « le vrai » écart type de ces douze mesures. 

C’est comme ça que je comprends les choses. 

Édit : je n’avais pas vu le message précédent de zeitnot (👋). 

gerard0

Là aussi, c'est de la stat descriptive, et donc c'est la formule de statistiques descriptives qui s'applique.

La formule avec n-1 ne concerne pas l'écart type de l'échantillon.

math2

Le n-1 sert surtout à avoir un estimateur sans biais lorsque tu remplaces la moyenne par la moyenne empirique. Pour le coup, la moyenne étant elle-même estimée, cela aurait du sens de diviser par n-1, mais d'une part suis tes corrigés, et en général ça ne change pas grand chose ...

math2

Mais je suis d'accord avec ce qui précède, on te demande l'écart type des valeurs et non son estimation... 

gerard0

La formule avec n-1 concerne l'écart type de toute la population estimé à partir d'un échantillon. Pour une petite population, on peut prendre comme échantillon la population complète et on voit bien que l'estimation n'est pas bonne. C'est normal, estimer ce qu'on peut aussi facilement calculer correctement est une activité idiote.

En général, on n'a pas la population complète (ou elle est trop grande), donc on doit se contenter d'un échantillon comprenant une faible fraction de la population (par exemple 400 pour un sondage sur l'ensemble des français : 400/68000000 = 1/170000). En fait, dès que la taille de l'échantillon est de l'ordre de la centaine ou plus, diviser par n ou n-1 ne change plus grand chose au résultat, vue l'imprécision de l'estimation.

Jp007

Bonjour à tous,

Merci chaleureusement pour toutes vos réponses cela m'aide à prendre du recul...

J'ai d'autres questions sur les estimateurs ponctuels et les intervalles de confiance que je vais poster dans un nouveau sujet/topic sur le forum pour ne pas tout mélanger !

En attendant, j'ai bien compris :

* on divise par (n-1) dans la formule de l'écart type ou la variance (alors appellés Ecart-type corrigé ou variance corrigée) lorsque l'on veut estimer une de ces deux caractéristiques pour toute la population à partir d'un échantillon (statistique inférentielle) et 

* on divise juste par (n) dans les autres cas (statistique descriptive).

A plus tard dans un autre topic !