Artin et géométrie symplectique
dans le livre d'Artin, Algèbre Géométrique, il y a un exercice (je n'ai plus la référence exacte) qui dit à peu près la chose suivante (je dis peut-être des bêtises).
Réponses
-
Le Bailly est notre ami : συμπλεκτικός signifie propre à entrelacer. Terminologie peut-être due à un matheux un peu égrillard, comme celui qui a défini l'osculation
-
Les formes symplectiques sont plutôt caractérisées par le fait que $f$ admet un point fixe.
-
En effet, si $B(x,y)=x_1y_4-x_4y_1+x_2y_3-x_3y_2$, alors $B$ est antisymétrique. Soit $F=Vect(e_1, e_2+e_3+e_4)$, alors la corrélation associée $f$ est telle que $f(F)=Vect(e_1+e_3, e_2+e_3)$, donc on n'a pas $f(F) \subset F$ ni $F \subset f(F)$.
-
@john_john : Ah, j'avais lu ça sur wiki :
« The name “complex group” formerly advocated by me in allusion to line complexes, as these are defined by the vanishing of antisymmetric bilinear forms, has become more and more embarrassing through collision with the word “complex” in the connotation of complex number. I therefore propose to replace it by the corresponding Greek adjective “symplectic”.
Le nom de « groupe complexe » que j'avais précédemment proposé, par allusion aux complexes de droites (car ils sont définis par l'annulation de formes bilinéaires antisymétriques), est devenu de plus en plus embarrassant à cause des confusions possibles avec l'usage de « complexe » dans l'expression « nombre complexe ». Je propose donc de le remplacer par l'adjectif grec correspondant « symplectique ». »
— Hermann Weyl, The classical Groups. Their Invariants and Representations
En tout cas, il s'agit de faire le lien avec la propriété géométrique. Pour le cercle osculateur, c'est effectivement celui qui embrasse le mieux la courbe et je comprends l'étymologie.
-
@marco : Ben, les droites isotropes d'une forme quadratique de signature $(1,-1)$ sont leur propre orthogonal, non ? Donc il y a des géométries non symplectiques qui ont un point fixe... J'ai faux ?EDIT : Oups, pas vu ta remarque ! Je te crois sans calcul, et je corrige ci-dessus !
-
@Georges Abitbol. : Tu as raison, je me suis trompé pour la caractérisation.
-
Soit $K$ un corps (commutatif), $n\in \N$ et $f:K^{2n} \times K^{2n} \to K$ une forme bilinéaire antisymétrique (édité: le bon adjectif serait plutôt "alternée". On veut dire ici que pour tout $v\in K^{2n}$, $f(v,v)=0$. Lorsque $car(K)\neq 2$, cela équivaut à $f(x,y)=-f(y,x)$ pour tous $x,y$ dans l'espace ambiant) non dégénérée. Il existe alors une base $(e_1,...,e_{2n})$ telle que $f(e_i, e_{n+i}) = 1$ et pour tout $i\leq n$ et $f(e_i,e_j)=0$ pour tous $i,j$ tels que $i=j$ ou $i\neq j \mod n$.Il existe (cela revient au même; il suffit de faire un changement de base permutant les coordonnées) une base $(\varepsilon_1,...,\varepsilon_{2n})$ telle que pour tout $k\in \{1,..,n\}$, $f(\varepsilon_{2k},\varepsilon_{2k+1}) = 1$ et telle que pour tous $p,q\in \{1,...,n\}$ distincts et tous $r,s\in \{0,1\}$, $f(\varepsilon_{p+r},\varepsilon_{q+s}) = 0$.Preuve (facile): faire une récurrence sur la dimension: pour l'étape de récurrence $f$ étant non dégénérée, il existe $x,y\in K^{2n}$ tels que $f(x,y)\neq 0$. Poser $\varepsilon_{2n-1}:=x$ et $\varepsilon_{2n}:= \frac 1 {f(x,y)} y$ puis montrer que $vect(x,y)$ est un supplémentaire de son orthogonal.
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
Bonjour!
Catégories
- 165.6K Toutes les catégories
- 65 Collège/Lycée
- 22.2K Algèbre
- 37.7K Analyse
- 6.3K Arithmétique
- 61 Catégories et structures
- 1.1K Combinatoire et Graphes
- 13 Sciences des données
- 5.1K Concours et Examens
- 26 CultureMath
- 51 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.8K Géométrie
- 86 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 79 Informatique théorique
- 3.9K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 29 Mathématiques et finance
- 344 Mathématiques et Physique
- 5K Mathématiques et Société
- 3.4K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10.1K Probabilités, théorie de la mesure
- 805 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.8K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres