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Exercice 1 agreg interne 2023

Modifié (February 2023) dans Algèbre
Bonsoir
Dans la question $3$ la récurrence est sur $k$ ? Je n'arrive pas à faire l'initialisation. Je trouve qu'il y a $p-1$ familles libres à $1$ éléments dans $K$ et non $p^n-1$.

Soit $p$ un nombre premier et $K=\Z / p \Z$.
2) Soit $E$ un $K$ espace vectoriel et $k \in  \N^{*}$. Notons $(x_1, \dots, x_{k+1})$ une famille de $E$ telle que la famille $(x_1, \dots, x_k)$ est libre.
Montrer que la famille $(x_1, \dots, x_{k+1})$ est libre si et seulement si $x_{k+1}$ n'est pas combinaison linéaire des vecteurs $x_1, \dots, x_k$.

3) Soient $n$ et $k$ deux entiers strictement positifs vérifiant la relation $k \leq n$. 
Montrer par récurrence que le nombre de familles libres constituées de $k$ vecteurs de $\mathbb{K}^n$ vaut $(p^n-1)(p^n-p) \cdots (p^n-p^{k-1})$.

4) Soit $n$ un entier strictement positif. Déterminer $card \ GL_n(K)$.


2) Cela revient à montrer que  la famille $(x_1, \dots, x_{k+1})$ est liée si et seulement si $x_{k+1}$ est combinaison linéaire des vecteurs $x_1, \dots, x_k$.
Supposons que $x_{k+1}$ est combinaison linéaire des vecteurs $x_1, \dots, x_k$. Alors il existe des scalaires $(\lambda_1, \dots, \lambda_k) \in K^k$ tels que $x=\displaystyle\sum_{i=1}^k \lambda_i x_i$. On a alors $1 x + \displaystyle\sum_{i=1}^k (- \lambda_i ) x_i =0$, par suite la famille $(x_1, \dots, x_{k+1})$ est liée.
Réciproquement, supposons la famille $(x_1, \dots, x_{k+1})$ liée. Il existe alors des scalaires $( \lambda_1, \dots, \lambda_{k+1}) \in K^{k+1}$ non tous nuls tels que : $\displaystyle\sum_{i=1}^{k} \lambda_i x_i + \lambda_{k+1} x_{k+1}=0$.
  • Si $\lambda_{k+1}=0$ alors $\displaystyle\sum_{i=1}^{k} \lambda_i x_i=0$ et comme la famille $(x_1, \dots, x_k)$ est libre c'est impossible car les scalaires ne sont pas tous nuls.
  • Donc $\lambda_{k+1} \ne 0$ et on peut donc écrire : $x_{k+1}= - \displaystyle\sum_{i=1}^{k}  (\lambda_{k+1}^{-1 } ) \lambda_i x_i$ 
Donc $x_{k+1} \in Vect(x_1, \dots, x_k)$.
Mots clés:

Réponses

  • Modifié (February 2023)
    Pour le 3) On choisit le premier vecteur parmi $p^n-1$ vecteurs non nuls. $k$ vecteurs étant choisis, parmi combien de vecteurs peux-tu choisir le $(k+1)$-unième? Au final : combien de choix possibles?
  • Je n'ai pas compris. D'ailleurs l'énoncé suggère une récurrence et je n'arrive pas à faire le cas $k=1$.
  • Pour $n\geqslant1$ fixé, on fait la récurrence sur $k$ ; pour $k=1$, il s'agit de dénombrer les vecteurs non nuls. Enfin, si l'on veut, c'est une récurrence tronquée puisqu'il n'y a effectivement rien à démontrer pour $k>n$ (si ce n'est que $0=0$).
  • La formule de l'énoncé vaut quoi pour $k=1$, ils auraient du l'écrire avec le symbole produit pour mieux comprendre... Je n'aime pas cette écriture hasardeuse. 

    Elle vaut $p^n-1$ ? 
  • Dans $K$ il y a $p-1$ familles libres a $1$ éléments et non $p^n-1$ je n'ai pas compris ce détail.
  • On cherche les familles libres à 1 élément dans E...
  • L'initialisation est facile : j'ai uniquement su faire cela d'ailleurs (j'ai aussi fait la question $2$ mais j'y ai passé du temps pour rédiger malheureusement). Dans $\mathbb{K}^n$ (la récurrence est sur $k$ hein), il y a $p$ choix pour la première coordonnée, $p$ choix pour la seconde etc. Cela donne $p^n$ possibilités auxquelles on retire le vecteur nul donc on a : $p^n-1$ familles libres à $1$ élément dans $\mathbb{K}^n$ .
    En revanche, dénombrer les possibilités dans l'hérédité m'a gavé : je suis de toute façon pas compétent du tout en dénombrement donc je suis passé à l'exercice $2$ après...
  • $\mathrm{card}(K^n)=p^n$ d’après le cours de Terminale.
  • Modifié (February 2023)
    @gai requin
    Merci. 

    @NicoLeProf
    Je n'aurais pas mieux fait que toi pour $3$, par contre la question $2$ est très élémentaire. 
    La $4$ est triviale aussi.

    3) Montrons par récurrence finie $\forall 1 \leq k \leq n$ la propriété $P(k)$ suivante : "Le nombre de familles libres constituées de $k$ vecteurs de $K^n$ est $\displaystyle\prod_{i=0}^{k-1} (p^n-p^i)$."

    Au rang $k=1$, il y a $p^n-1$ familles libres de $K^n$ et $\displaystyle\prod_{i=0}^{k-1} (p^n-p^i)=p^n-p^0=p^n-1$. La propriété est donc vraie au rang $k=1$.

    Supposons que $\forall k \in [|1,n-1|] \ P(k)$ soit vraie et montrons $P(k+1)$.
    Soit $(x_1, \cdots, x_k)$ une famille libre de $k$ éléments de $K^n$. D'après l'hypothèse de récurrence, il y en a $\displaystyle\prod_{i=0}^{k-1} (p^n-p^i)$.
    D'après Q2, une famille $(x_1, \cdots, x_k , x_{k+1})$ constituée de $k+1$ vecteurs de $K^n$ est libre si et seulement si $x_{k+1} \notin Vect(x_1, \cdots , x_k)$.
    Mais il y a $p^k$ élément dans $Vect(x_1, \cdots , x_k)$ donc $p^n-p^k$ éléments dans son complémentaire. 

    Il y  a donc $\displaystyle\prod_{i=0}^{k-1} (p^n-p^i) \times (p^n-p^k)$ familles libres à $k+1$ éléments soit $\boxed{\displaystyle\prod_{i=0}^{k} (p^n-p^i) }$ ce qui montre $P(k+1)$.
    Le résultat est démontré par récurrence.

    4) C'est trivial. Une matrice de $GL_n(K)$ est définie par ses colonnes $(C_1, \cdots, C_n)$ qui doivent former une famille libre, ce qui signifie qu'on est dans le cas $k=n$.

    Finalement $\boxed{card \ GL_n(K)=\displaystyle\prod_{i=0}^{n-1} (p^n-p^i)}$



  • Modifié (February 2023)
    C'est juste moi qui ai souvent l'impression que les dénombrements sont toujours bancals ?
    Pour tout entier $k\geq 0$, on note $F_k$ l'ensemble des familles libres à $k$ éléments.
    Soit $k\geq 1$ et $\mathcal R$ la relation d'équivalence sur $F_k$ telle que $x\mathcal R y\Leftrightarrow\forall i\in[[1,k-1]]\;x_i=y_i$.
    Il y a $\# F_{k-1}$ classes d'équivalence et chaque classe contient $p^n-p^{k-1}$ éléments d'après 2).
    D'où $\# F_k=(p^n-p^{k-1})\# F_{k-1}$ et :$$\begin{eqnarray}\prod_{\ell=1}^k\frac{\#F_\ell}{\#F_{\ell-1}}&=&\# F_k\\&=&\prod_{\ell=1}^k \left( p^n-p^{\ell-1}\right).\end{eqnarray}$$
  • Je vais mettre une semaine à comprendre ta preuve avec les classes d'équivalence.
    Même dans le Perrin ça semble moins difficile et théorique.

    Pour l'instant c'est du chinois.
  • Bonjour,
    On peut d'ailleurs initialiser à $k=0$. Il y a exactement une famille libre de taille 0 (la famille vide) et le produit vide vaut bien 1.
    @OShine, pourquoi faire une récurrence forte à la question 3 ?
  • C'est une récurrence finie que je voulais faire et non une récurrence forte. J'ai du faire une erreur dans les indices.
    @Heuristique
    Ok merci.

    Les dénombrements de Daniel Perrin sont bancals ?

    J'ai l'impression que les classes d'équivalence ça complique beaucoup .
    Je n'ai pas compris le rapport entre $F_k$ et la classe d'équivalence.
    Je n'ai pas compris comment on compte les classes d'équivalence pourquoi il y en a $card \ F_{k-1}$.

    A part un génie je ne vois personne trouver une preuve avec les classes d'équivalence.

  • Pourtant, vu le temps que tu as passé sur les ensembles quotients dans un passé récent, tu devrais comprendre ma preuve en quelques secondes 🤓
  • Modifié (February 2023)
    OShine a dit :
    4) C'est trivial. Une matrice de $GL_n(K)$...
    Le terme préféré du jury... 
    En tout cas je ne comprends pas ta démarche de vouloir faire le jour même les sujet d'agreg dès qu'ils sont sortis. Qui plus est à re-calquer des démonstrations déjà disponibles sur internet... Je redis que certains candidats (dont je ne fais pas partie) n'ont pas envie qu'un type se jette sur le sujet pour crâner... Peux-tu résoudre la question 4) sans la question 3) par exemple ?
    Fais nous juste les questions 21 et 22 pour voir.
    Inscrit toi et va la passer.
  • Ce sujet n'est pas corrigé je n'ai rien recopié les questions de cours je les apprises dans le Liret.
    Je n'ai rien recopié d'internet.
    Si je savais résoudre la 4 sans la 3 je serai très fort ce qui n'est pas le cas. Je suis moyen mais je m'accroche.
    L'intérêt de faire un sujet qui vient de sortir c'est qu'il n'y a pas de corrigé et que je suis obligé de réfléchir par moi-même.

  • Modifié (February 2023)
    @gai requin
    J'ai juste réussi à démonter que c'est une relation d'équivalence.
    Le reste je bloque. Je ne comprends pas qui sont les classes et pourquoi il y en a $card \ F_{k-1}$.
    J'ai juste écrit $cl(x)=\{ y \in F_k \mid y \ R \ x \}=\{y \in F_k \mid \forall i \in [|1,k-1|] ,\ x_i=y_i \}$.
    Après je bloque.
  • Cherche une bijection entre $F_k/\mathcal R$ et $F_{k-1}$.
  • Modifié (February 2023)
    Amédé a dit : 
    Je redis que certains candidats (dont je ne fais pas partie) n'ont pas envie qu'un type se jette sur le sujet pour crâner...
    Et tu comptes le redire combien de fois encore ? :mrgreen:
    PS. d'ailleurs où sont tous ces candidats, dont tu ne fais pas partie, qui se sentent forcés de lire les fils de OShine ?
  • Modifié (February 2023)
    @raoul.S. Disons que l'année où je l'ai passée et eu, il m'a bien soulé à vouloir faire toutes les questions des sujet. Donc je le redirai sûrement.
    Quand aux candidats on dirait bien qu'ils ont presque tous déserté le forum.
    @OShine. Ton 3) est un copié collé d'une démo...
  • @Amédé n'importe quoi sérieux.
    Non la 3 je l'ai faite seul d'ailleurs il y a une erreur j'ai commencé la récurrence à 1au lieu de 0.
    De plus j'ai fait une récurrence forte alors qu'il y en a pas besoin.
    Enfin @gai requin a dit qu'il était pas convaincu par mon dénombrement.


  • Je ne comprends pas qui est $F_k / R$.

    Déjà je ne comprends pas cette relation d'équivalence définie sur l'espace des familles libres alors que les éléments $x$ et $y$ sont des vecteurs et non des familles.
  • Ben non, $x$ et $y$ sont dans $F_k$.
  • Amédé a dit :
    ...il m'a bien soulé à vouloir faire toutes les questions des sujet. Donc je le redirai sûrement.
    Certes, as-tu le courage d'écrire un commentaire à M. Caldero en disant qu'il soûle en corrigeant les exo ICI ? :mrgreen:
  • @O'Shine, dans la preuve de @gai requin,  $x$ et $y$ sont des familles libres à $k$ éléments. On suppose que les vecteurs qui les composent ont été ordonnés de $1$ à $k$.
    Je trouve aussi qu'elle complique et je ne vois pas en quoi elle est plus rigoureuse qu'un simple raisonnement par récurrence.
    Mais je la trouve intéressante car cette technique peut se généraliser pour des situations plus compliquées et peut permettre éventuellement d'y voir plus clair.
  • Modifié (February 2023)
    Tu exagères :  P. Caldero est un professeur et préparateur reconnu et il ne demande pas de l'aide à ses auditeurs sur Youtube à chaque demi-question...
    Même si je trouve que ses vidéos manquent cruellement de comparaison référencées à tel ou tel sujet de Centrale ou de l'X pour être considérées comme sérieuses :)
  • Je ne comprends rien à la méthodologie de Philippe Caldero ses vidéos m'embrouillent plus qu'autre chose.
    Je comprends mieux tout seul ou avec l'aide du forum.
  • Modifié (February 2023)
    Cherche une bijection entre $F_k/\mathcal R$ et $F_{k-1}$.
    Je n'y arrive pas. Je n'ai jamais vu des trucs aussi compliqués avec les quotients.
    $x$ est en relation avec $y$ si et seulement si les $k-1$ premiers vecteurs des deux familles sont égaux. Pour le $k$ ième il ne doit pas être combinaison linéaire des autres. 
    Mais concrètement je ne vois pas qui est $F_k / \mathcal R$, ni pourquoi $card (F_k / \mathcal R) = card (F_{k-1})$.
  • J'ai réfléchi à plusieurs moments durant le week end je n'ai pas compris cet ensemble quotient ni comment montrer qu'il y a $card (F_{k-1})$ classes, ni pourquoi chaque classe contient $p^n-p^{k-1}$ éléments. 
  • Laisse tomber, tu reprendras ça quand tu seras grand ...
  • Tu as compris toi @gerard0
  • Modifié (February 2023)
    Bonjour, il y a plusieurs façon de trouver une bijection qui convient.
    Indice : au choix tu peux en construire une en utilisant la projection sur $F_{k-1}$, ou la projection sur $F_k/R$.
  • Modifié (February 2023)
    @Barjovrille
    La projection canonique n'est pas possible ici, car on a du $F_k$ et du $F_{k-1}$ ....

    Soit $f : F_{k-1} \longrightarrow F_k / R$ définie par $f( x)= \cdots $ je ne vois pas comment trouver l'application.... Déjà je ne sais pas déterminer $F_k / R$ c'est trop théorique.
  • Je pense qu'il suffit de définir $f$ comme cela : soit $f : F_{k-1} \longrightarrow F_k / R$ définie par $f( x)=\bar{x}$  où $\bar{x}$ est la classe de $x$ dans $ F_k / R$ comme le suggère Barjovrille. Par contre, $x$ n'est pas un vecteur OShine, c'est un élément de $F_{k-1}$ donc c'est une famille libre à $k-1$ éléments de $\mathbb{K}^n$ .
    Après, prouver la surjectivité et l'injectivité me paraît aisé... C'est vrai que la preuve fournie par gai requin est technique (et je n'y aurais jamais pensé) mais elle est très élégante je trouve ! ^^'
  • Désolé j'ai lu trop vite, ne suivez pas mes indications. 
  • Modifié (February 2023)
    Je n'ai rien compris avec les quotients, mais on m'a donné une solution bien plus facile qui n'utilise pas cette relation d'équivalence étrange !
    $F_k = \{ (x,x_k) \mid x \in F_{k-1} ,\ x_k \in E \setminus   Vect(x) \ \}$.
    Donc $\# F_k = \#  F_{k-1} \times   \#  (  E  \setminus   Vect(x) )$
    $Vect(x)$ est un $F_p$-espace vectoriel de dimension $k-1$ et de cardinal $p^{k-1}$.
    Donc  $\# F_k = \#  F_{k-1} \times ( \# E - \# Vect(x) )   $
    Enfin $\boxed{\# F_k = \#  F_{k-1} \times ( p^n - p^{k-1} ) }$.
  • Modifié (February 2023)
    $\# F_k = \#  F_{k-1} \times   \#  (  E \setminus Vect(x) )$, voilà ce que j'appelle du (très) bancal !
  • Modifié (February 2023)
    @NicoLeProf attention tu ne peux projeter que des éléments de $F_{k}$ sur $F_k/R$.

    Bon finalement (manque de concentration) j'ai réussi à faire fonctionner une de mes indications. Celle où j'utilise une projection sur $F_{k-1}$. Pour la peine je donne un peu plus d'indications.
    Je note $P : F_{k} \mapsto F_{k-1}$ la fonction $(x_1,...,x_k) \mapsto (x_1,...,x_{k-1})$ c'est ma "projection". (il faut justifier rapidement que l'image est bien dans $F_{k-1}$.
    On pose $f : F_k/R \mapsto F_{k-1}$ tel que pour tout $\bar{x} \in F_k/R$, $f(\bar{x})=P(z)$ où $z \in F_k$ est un représentant de $\bar{x}$.
    Et la il faut vérifier que $f$ est définie sans ambiguïtés (parce que comme je l'ai écrit ce n'est pas évident). Et il faut montrer que $f$ est une bijection.
    Pour la partie injectivité il faut faire attention aux objets qu'on manipule.

  • Modifié (February 2023)
    On a $F_k = \displaystyle \bigcup_{x \in F_{k-1}} \{ (x,x_k) , \ x_k \notin Vect(x) \} = \displaystyle \bigcup_{x \in F_{k-1}}  cl(x)$.

    On définit l'application $f : F_k / \mathcal R \longrightarrow F_{k-1}$ définie par $f ((x,x_k))=x$.
    Elle est bien définie car si $(x,x_k)$ et $(y,y_k)$ sont dans la même classe, alors $x=y$. 
    Elle est évidemment surjective.
    Pour l'injectivité, si soient $(x,x_k)$ et $(y,y_k)$ des éléments du quotient tels que :  $f( (x,x_k))= f((y,y_k))$ soit $x=y$.
    Mais je n'arrive pas à montrer que $x_k = y_k$.




  • Modifié (February 2023)
    Tes notations te trompe, un coup tu dis que $(x,x_k)$ c'est un élément de $F_k$ la ligne d'après tu dis que c'est un élément du quotient c'est une des raisons pour lesquels tu t'es embrouillé. Et je pense que tu confonds classe d'équivalence et élément de $F_k$ (c'est sûrement aussi à cause de tes notations).
    Introduis tous les éléments que tu utilises ce sera beaucoup plus facile pour toi et les gens qui te lisent de te comprendre. Je te conseille de garder les barres quand c'est un élément du quotient.
    Pour l'injectivité, soit $\bar{x},\bar{y}\in F_k/R$, tu supposes $f(\bar{x})=f(\bar{y})$ et tu dois montrer que $\bar{x}=\bar{y}$ c'est une égalité entre ensemble en général on fait ça avec des inclusions.
    Pour la surjectivité c'est pas évident il y a plusieurs arguments à enchainer.
    C'est un bon exercice de rédaction et d'abstraction.
  • La surjectivité découle immédiatement du théorème de la base incomplète.
  • Barjovrille a dit :
    @NicoLeProf attention tu ne peux projeter que des éléments de $F_{k}$ sur $F_k/R$.
    Ah bon? On ne peut pas prendre un élément de $F_{k-1}$ et considérer sa classe dans $F_k/R$ ? Bon, je suis un peu dépassé ici...
  • Modifié (February 2023)
    Reprenons. Jamais vu un truc aussi compliqué sur les classes d'équivalence, ça fait des nœuds au cerveau.
    C'est une usine à gaz. 

    La relation d'équivalence est définie sur $F_k$. 
    On a $x \sim y$ si et seulement si $\forall i \in [|1,k-1|] \ x_i=y_i$. 
    Soit $f=(x_1, \cdots, x_{k-1},x_k) \in F_k$. Posons : $f=( x, x_k)$ avec $x=(x_1, \cdots, x_{k-1}) \in F_{k-1}$ car toute sous-famille d'une famille libre est libre.
    Et comme $f \in F_k$ on a $x_k \notin Vect(x)$. 
    Ainsi : $cl(f)= \{ y \in F_k \ | \ y \mathcal R f \} = \{ y \in F_k \ | \ \forall i \in [|1,k-1|] \ x_i=y_i \} = \boxed{\{ (x,x_k) \ | \ x_k \notin Vect(x) \}}$
    On a $ F_k = \displaystyle\bigcup_{f \in F_{k}}  cl(f)$. 

    Donc : $\boxed{F_k= \displaystyle\bigcup_{x \in F_{k-1}} \{ (x,x_k) \ | \ x_k \notin Vect(x) \} }$. 

    Montrons que $\# F_k / \mathcal R = \# F_{k-1}$. 
    L'application $f : F_k / \mathcal R \longrightarrow F_{k-1}$ définie par $f (\{ (x,x_k) \ | \ x_k \notin Vect(x) \})=x$ est bien définie et surjective par définition.
    Pour l'injectivité, on doit montrer que : $x=y \implies \{ (x,x_k) \ | \ x_k \notin Vect(x) \}) =\{ (y,y_k) \ | \ x_k \notin Vect(y) \} $.
    Par contraposée, si $\{ (x,x_k) \ | \ x_k \notin Vect(x) \}) \ne \{ (y,y_k) \ | \ x_k \notin Vect(y) \}$ et $x=y$ on obtient une contradiction. 

    Mais $\# \{ (x,x_k) \ | \ x_k \notin Vect(x) \}  = p^n-p^{k-1}$ car $\# Vect(x)=p^{k-1}$.

    Donc $\# F_k = \displaystyle\sum_{x \in F_{k-1}} \# \{ (x,x_k) \ | \ x_k \notin Vect(x) \}  =  (p^n-p^{k-1}) \# F_{k-1}$.

    On a montré : $\boxed{\# F_k = (p^n-p^{k-1}) \# F_{k-1}}$

  • Modifié (February 2023)
    Cela me paraît OK. 
    En français, une classe d'équivalence pour $\cal R$ est déterminée par $k-1$ vecteurs formant une famille libre, et les éléments de $F_{k-1}$ sont les familles libres à $k-1$ éléments, soit exactement la même chose. Puis il y a $p^n - p^{k-1}$ classes d'équivalence, déterminées par le $k$-ième vecteur tel que les $k$ vecteurs forment une famille libre, qui ont toutes le même nombre d'éléments, le cardinal de $F_{k-1}$, on obtient le résultat. 
    Dans ces conditions, je me demande si une démonstration détaillée en notation algébrique est nécessaire, ou si une simple phrase en français est suffisante pour le correcteur ?
    Merci d'avance.
  • Modifié (February 2023)
    Oui @gai requin,  j'aurai plutôt du dire il faut donner un argument.
    @OShine ok pour l'injectivité.

    @NicoLeProf a priori non, dans la définition des ensembles quotients on ne fait intervenir que des éléments de l'ensemble qui va être quotienté. Tu peux le voir aussi avec la propriété les classes d'équivalences forment une partition de l'ensemble c'est plus intuitif. 

    Une remarque : pour que la démo du dénombrement avec la relation d'équivalence $R$ marche il faut trouver un moyen de ranger les vecteurs dans les familles libres de la même façon pour toutes les familles, sinon on compte plusieurs fois la même chose (car si on "permute" deux vecteurs dans une famille libre on a toujours la même famille libre mais ce n'est pas la même si on la regarde avec la relation $R$). Soit on range les vecteurs dès le début en numérotant tous les vecteur de $K^n$ (qui est fini) et puis on dit qu'on range les vecteurs dans les familles dans l'ordre croissant des indices par exemple. Soit on modifie la définition de la relation $R$ on rajoute quelque part "à permutation près". @Julia Paule si tu expliques en français je pense qu'il ne faut pas oublier ce détail (mais pour ta question je ne sais pas si une explication en français convient). 



  • Modifié (February 2023)
    Bon en fait @OShine j'ai dit que c'était ok, mais ta démonstration est un peu tordue parce que avec tout ce que tu as dit il faut se rendre compte que 
    la fonction $g : F_{k-1} \mapsto F_k/R$ telle que $g : x \mapsto \{(x,x_k), x_k \notin vect(x)\}$ est une bijection et c'est la réciproque de la fonction que j'ai introduite (si on se rappelle la question de départ tu as fait beaucoup trop de travail). Et aussi pourquoi je dis que c'est tordu c'est parce que tu as défini ta fonction $f$ par la relation $f \circ f^{-1}(x)=x$.
    Mais bon même si tu ne t'en es pas rendu compte tu as le mérite d'avoir presque trouvé la bijection réciproque qui est plus intuitive.
  • @Barjovrille, je ne comprends pas ce que tu veux dire par "à permutation près". J'ai dit plus haut que les familles sont ordonnées (par définition d'une famille), i.e. 2 familles à $k$ éléments qui ont les mêmes vecteurs ordonnés différemment sont distinctes. Si on les considère à permutation près, il faut diviser leur nombre par $k!$, ce n'est pas le résultat demandé.
  • Du coup, exo : démontrer que pour tous $p,n,k $ entiers naturels non nuls $k! \mid (p^n-1)(p^n-p) \cdots (p^n-p^{k-1})$ sans utiliser le résultat précédent.
  • Modifié (February 2023)
    Oui j'ai parlé trop vite, déjà rien qu'avec la question d'après on voit qu on se soucie de l'ordre. je me suis dit que dans la définition de liberté avec les combinaisons linéaires l'ordre n'a pas d'importance.
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