Vrai ou faux agreg interne 2023

OShine

Bonsoir
Il s'agit de répondre par vrai ou faux à chacune des affirmations suivantes.
Rapidement, pour voir si j'ai compris le cours du Liret, j'aimerais avoir si mes réponses sont correctes.

a) Pour tout nombre premier $p$ et pour tout entier naturel non nul, l'anneau $(\Z / p^n \Z ,+,.)$ est un corps.
C'est faux, si on prend $p=2$ et $n=2$, $(\Z / 4 \Z)$ n'est pas un corps, car $4$ n'est pas premier.

b) Si $p$ est un nombre premier impair, alors la classe de $2$ engendre le groupe $(\Z / p^n \Z)^{*}$.
Pas réussi. Pour moi l'énoncé manque de précision, $n$ n'est pas défini.

c) Le groupe multiplicatif des éléments inversibles de $(\Z / 9 \Z,+,.)$ est cyclique.
Vrai.
J'ai trouvé un peu par hasard... Je ne sais pas s'il y a d'autres générateurs.
Ce groupe possède $\varphi(9)=6$ éléments.
Les inversibles sont $\bar{1}, \bar{2},\bar{4},\bar{5},\bar{-2},\bar{-1}$.
Pour tout $\bar{x}$ différent de $\bar{1}$, l'ordre de $\bar{x}$ est $2,4,6$.
$\bar{2}^2=\bar{4}$, $\bar{2}^3= \bar{-1}$, $\bar{2}^4=\bar{-2}$, $\bar{2}^5=\bar{-4}$ et $\bar{2}^6=\bar{1}$.
Donc $\bar{2}$ est d'ordre le cardinal du groupe  $(\Z / 9 \Z,+,.)$, ce qui montre que ce groupe est cyclique.

d) Si $a$ est un entier relatif, on note $\bar{a}$ la classe de $a$ dans $\Z / 5 \Z$.
Étant donnés quatre entiers relatifs $a,b,c,d$, on note $M$ la matrice de $M_2(\Z )$ définie par  $M=\begin{pmatrix}a & b \\
c & d
\end{pmatrix}$
et on note  $\bar{M}$ la matrice de $M_2(\Z/5\Z)$ définie par $\bar{M}=\begin{pmatrix}
\bar{a} & \bar{b} \\
\bar{c} & \bar{d}
\end{pmatrix}$.
Si $M \in GL_2(\R)$ alors $\bar{M} \in GL_2 (\Z / 5 \Z)$.
C'est faux, cette question me semble triviale. On prend $M=\begin{pmatrix}
\bar{10} & \bar{5} \\
\bar{5} & \bar{10}
\end{pmatrix}$. 
On a $\det M = 100 -25=75 \ne 0$ donc $M$ est inversible sur $\R$.
Mais $\bar{M}$ est la matrice nulle elle n'est pas inversible dans $\Z / 5 \Z$.

e) Soient $L$ et $K$ deux corps commutatifs.
Un morphisme d'anneaux $\mu : K \rightarrow L$ est toujours injectif.

C'est vrai.
Puisque $\ker \mu$ est un idéal de $K$ différent de $K$. Or, les seuls idéaux possibles d'un corps sont $\{0 \}$ et $K$. 
Donc $\ker \mu = \{ 0 \}$ et $\mu$ est injectif.

Barry

Pour le a) ce que tu dis est vrai mais je me demande s'ils ne veulent pas une démonstration détaillée plutôt qu'un résultat invoqué... Surtout qu'avec ton exemple, t'as une preuve à peu de frais : $2 \times 2 = 0$ dans $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$, ce qui fait que $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ n'est pas intègre, donc n'est pas un corps(bon, c'est la même chose vu que c'est un anneau fini).

Pour le b) il me semble que c'est faux. Par exemple, $2^ 3 = 8$, donc modulo 7 ça vaut 1, ce qui fait de $\overline{2}$ un élément d'ordre $3$ dans le groupe des inversibles de $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$.

Pour le d), tu peux aussi voir que plus généralement, $\det(M)$ étant polynomial en les coefficients de la matrice, $\det(\overline{M}) = \overline{\det(M)}$, ce qui fait que $\overline{M}$ est inversible si et seulement si son déterminant n'est pas un multiple de $5$. 

john_john

b) Pour $p=7$, $n=1$...

Cela dit, l'énoncé n'est pas si ambigu ; il fallait comprendre pour tout $p$ premier impair et tout $n\geqslant1$.

john_john

c) quand un groupe est cyclique, on sait combien il a de générateurs !

OShine

Je pense qu'il n'est pas utile de le redémontrer car l'énoncé redonne la propriété suivante : 
Soit $n$ un entier supérieur ou égal à $2$. $\Z / n \Z$ est un corps si et seulement si $n$ est premier.
Etonnant de redonner cette propriété à ce niveau. 

OShine

@john_john
Ok merci. Tout groupe cyclique à $n$ élément possède $\varphi(n)$ générateurs. Encore un résultat qui figure dans le Liret.

b) Le point clé est que $(\Z / m \Z)^{*}$ possède $\varphi(m)$ éléments. 
$2$ est premier avec $p$ donc $2$ est premier avec $p^n$.
Donc $2$ est un élément de $(\Z / p^n \Z)^{*}$.
$\varphi(p^n)=p^n-p^{n-1}$. 
On a $\bar{2}^{\varphi(p^n)}=\bar{1}$.

Ainsi b) est vraie, et on a $\boxed{<\bar{2} >= (\Z / p^n \Z)^{*}}$.

john_john

Bonsoir, OShine,
oui, mais cela ne prouve pas que $2$ engendre par exemple $(Z/7Z)^*$. En effet, ce groupe a $6$ éléments mais on a déjà $2^3=1$ ; en revanche, $3$ engendre car les puissances de $3$ sont $1,3,2,6,4,5$. : tout le monde est là !

Bonne soirée, j__j

Barry

J'ajouterais aussi que si le b) était vrai, on prouverait d'entrée que le groupe des inversibles de $\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$ est cyclique, ce qui rendrait les dernières parties un peu inutile

OShine

Ok merci, il manque quand même le "tout $n \geq 1$" les quantificateurs sont importants...
Bien vu pour le contre exemple, bonne soirée.

OShine

@Barry
Généralement quand on voit un énoncé un peu compliqué comme celui-ci à démontrer dans un vrai ou faux, c'est toujours faux.
Ce qui m'a perturbé c'est l'absence de quantificateur sur $n$.

Sato

OShine a dit :

$\Z / n \Z$ est un corps si et seulement si $n$ est premier.
Etonnant de redonner cette propriété à ce niveau. 

Non, ce n’est pas ce qui est donné dans l’énoncé. Il faut être précis. Il n’est donné dans les rappels qu’une implication et non une équivalence. Cela sous-entend qu’il faut par exemple expliciter que $\Z/4\Z$ n’est pas un corps autrement qu’en disant que 4 n’est pas premier. 

OShine

Je ne vois pas l'intérêt de redémontrer cette propriété de cours dans un sujet. C'est un résultat de cours à connaître.

Je pense que les auteurs du sujet testent la compréhension de la négation d'une assertion logique dans cette question. 

Sato

OShine a dit :

Ce qui m'a perturbé c'est l'absence de quantificateur sur $n$.

Tu es trop sensible. 

Amédé

Je réitère mon commentaire des années précédentes. Peut-être que des candidats n'ont pas envie de voir les réponses publiées le jour même...

OShine a dit :

$\varphi(p^n)=p^n-p^{n-1}$.

C'est à montrer en question 5 (a)... Elle est fausse la (b). Dans $(\Z/7\Z)^{\times}$ ,$2$ est d'ordre 3...

OShine

@Amédé
Les candidats n'ont pas le temps ni l'énergie d'aller sur le forum, je pense qu'ils se reposent pour demain, et se détendent.

Sato

Tu devrais être candidat.

bd2017

Pas mal le qcm! 

Edit: Ouf! Je n'avais vu le sujet. Le qcm n'est qu'une toute petite partie.   

OShine

J'aurais bloqué à la question 3 donc je n'ai pas le niveau. 

Foys

D'accord pour dire que dans b), l'énoncé aurait dû être quantifié.

Les quantificateurs indiquent qui a le droit d'attribuer une valeur aux variables dans le débat contradictoire portant sur l'énoncé discuté.

exemple: dans un vrai faux, vous vous êtes prononcé en faveur (i.e.vous proposez "vrai") de $\exists F(x)$: c'est vous qui choisissez $x$.

Si par contre l'énoncé est $\forall x G(x)$, c'est l'adversaire hypothétique qui décide qui est $x$ (en pratique vous le laissez sous forme de lettre non fixée différente d'autres lettres dont la valeur est fixée).

Quand le choix de départ est faux, les rôles sont inversés (les $\forall$ est choisis par le candidat et les $\exists$ par l'ennemi).

NicoLeProf

Barry a dit :

J'ajouterais aussi que si le b) était vrai, on prouverait d'entrée que le groupe des inversibles de $\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$ est cyclique, ce qui rendrait les dernières parties un peu inutile

Oui c'est bien pour ça que je me sens débile : j'ai dit que c'est vrai : première boulette et deuxième boulette : j'ai dit que le cardinal de $(\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z})^*$ est $p^n-1$ au lieu de $p^n-p^{n-1}$ .

Dom

C’est cohérent. 

Si c’est un corps, alors le dénombrement donne ça. 

Aucune idée de comment serait corrigée cette cohérence…

OShine

@NicoLeProf
La question étant mal rédigée tu as le droit d'écrire des erreurs ^^

NicoLeProf

Sauf que Dom, dans la question précédente, j'ai donné un contre-exemple, je savais très bien que l'ensemble considéré n'était pas forcément un corps.

En fait, je ne sais même plus ce que j'ai écrit exactement dans la 1) b) mais je m'en veux de ne pas avoir trouvé car c'était vraiment facile (heureusement que j'ai trouvé toutes les autres questions du vrai-faux, c'est déjà ça ^^') !

Bref, j'ai fait des bêtises et en plus, je me suis rendu compte que je me suis trompé sur $\varphi(p^i)$ plus loin dans le sujet . Je déteste vraiment le dénombrement !

Bon, on verra bien (à côté de ça, j'ai réussi des choses et j'ai beaucoup écrit dans les deux épreuves...). Je vais penser à autre chose et commencer à préparer les oraux dans les prochains jours, au cas où...

OShine

$\varphi(p^i)$ est un incontournable, je pense l'avoir croisé dans 5-6 sujets de concours récents Centrale Polytechnique.

NicoLeProf

Diantre, je l'avais contourné ! ^^'

En fait, j'avais surtout revu le théorème de décomposition des noyaux, Dunford et le théorème spectral juste avant les écrits.

J'étais persuadé que le sujet serait une preuve du théorème de décompositions des noyaux puis Dunford puis des applications diverses avec un peu d'arithmétique des polynômes du coup !

Bref, tout ce que j'aime. 

J'étais calé sur le théorème des restes chinois en arithmétique mais rien de tout cela malheureusement.

Après, face au sujet, j'ai eu du mal à gérer le stress. J'aurais sans doute pu aborder plus de questions en zappant davantage la partie dénombrement xd mais tant pis, on ne peut pas revenir en arrière.

Dom

Si l’on est patient (et qu’on peut se le permettre…), l’agrégation interne se prépare en gros entre 3 et 6 ans. Rien n’est perdu, l’expérience de chaque année s’ajoute nettement. Il faut surtout préparer les oraux même quand on est peut confiant à la sortie des écrits. J’en connais qui regrettent de ne pas l’avoir fait…
ALLEZ ! Courage 💪 

OShine

@NicoLeProf
Centrale MP maths 1 2020 utilise $\varphi(p^i)$ dans de nombreuses questions.
J'avais passé 10 heures sur ce sujet.
Depuis je l'ai mémorisée cette formule et je sais la retrouver.

NicoLeProf

Je ne fais pas les sujets de centrale, je ne connais pas. Je ne sais pas si c'est abordable vu mon modeste niveau...

OShine

C'est 40% de questions proches du cours, 40% de questions où il faut réfléchir et 20% de questions très difficiles voir infaisables.
Ça permet de bien travailler le cours.

Math Coss

Tu voudrais arrêter de pontifier sur les sujets de divers concours, s'il te plaît ?

kalimoulox

C'est horrible et fascinant