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intérieur d'un sous-espace vectoriel

Modifié (January 2023) dans Topologie
Bonjour
Comment montrer que l'intérieur d'un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel topologique est vide sauf si le sous-espace est en fait l'espace tout entier ? Je précise que dans mon hypothèse, mon espace vectoriel topologique n'est pas forcément normé, et n'est pas forcément métrique, donc je voudrais une démo sans passer par les boules.
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Réponses

  • Modifié (January 2023)
    Ça découle du fait que dans un espace vectoriel topologique, les voisinages de zéro sont absorbants.

    Tu peux montrer que si $V$ est un sous-espace de l'evt $E$ dont l'intérieur n'est pas vide, alors $0$ est un point intérieur et par conséquent possède un voisinage (qui est absorbant) contenu dans $V$. Donc tous les vecteurs sont dans $V$ (quasiment immédiat à partir de l'absorbance) et donc $V=E$.
  • Merci,
    Ce sont les voisinages de 0 qui sont absorbants, non ?
    Donc si V est d'intérieur non vide je peux trouver un vecteur a et un ouvert O contenant a et inclus dans V.
    Alors l'ensemble O-a est un ouvert car c'est l'image réciproque de O par l'application continue qui à x associe x+a et 0 est inclus dans O-a qui est inclus dans V puisque V est un s.e.v.
    Donc 0 est un point intérieur. OK

    Autre question, encore plus facile mais je n'arrive pas à bien voir l'argument : montrer que l'adhérence d'un sev est un sev (toujours sans notion de distance).
  • Soit $H$ un sous-espace d'un espace vectoriel topologique $E$. Si $U$ est non vide inclus dans $H$ alors $V=H+U=\cup_{h\in H}h+U$ est ouvert (car $x\mapsto h+x$ est un homéomorphisme de $E$). Soit $u\in U$. Alors $u\in H$ et donc, comme $H$ est un sev de $E$, $-u\in H$ donc $0_{E}\in V$. Comme l'application $\left(\lambda,x\right)\mapsto\lambda x$ est continue de $\mathbb{K}\times E$ dans $E$, $\frac{1}{n}x\underset{n}{\longrightarrow}0_{E}$ et donc pour au moins un $n$ assez grand, $\frac{1}{n}x\in V$ donc $x\in nV=n\left(H+U\right)\subset n\left(H+H\right)=H$. Donc $E\subset H$. Finalement, le seul sous-espace de $H$ d'intérieur non vide est $E$.

    Soient $x,y$ dans $\overline{H}$ et $\lambda\in\mathbb{K}$. Soit $W$ un voisinage de $x+\lambda y$. Par continuité de $\left(u,v\right)\mapsto u+\lambda v$ au point $\left(x,y\right),$ il existe $U$ voisinage de $x$ et $V$ voisinage de $y$ tels que $U+\lambda V\subset W$. Par hypothèse sur $x$ et $y$, il existe $h_{x}\in H\cap U$ et $h_{y}\in H\cap V$. Alors $h_{x}+\lambda h_{y}\in H$ et $h_{x}+\lambda h_{y}\in U+\lambda V\subset W$ donc $W$ rencontre $H$ donc $x+\lambda y\in\overline{H}$.

  • Pour la deuxième question on peut également procéder ainsi : 

    Soit $V$ un sous-ev de l'evt $E$, pour tout scalaire $\lambda\neq 0$, $\phi_{\lambda}:E\to E, v\mapsto \lambda v$ est un homéomorphisme et donc $\phi_{\lambda}(\overline{V})=\overline{\phi_{\lambda}(V)}=\overline{V}$ ce qui prouve que $\overline{V}$ est stable par multiplication par un scalaire.

    De même, $\phi:E\times E\to E, (x,y)\mapsto x+y$ est continue et on a $\phi(\overline{V}\times\overline{V})=\phi(\overline{V\times V})\subset \overline{\phi(V\times V)}=\overline{V}$. Ce qui prouve que $\overline{V}$ est stable par addition.
  • Modifié (January 2023)
    @LoloDj dans ta démo de $0$ est un point intérieur remplace $O-a$ par $O+a$ et c'est bon.
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