Une intégrale

Fulgrim
Modifié (January 2023) dans Analyse
Bonsoir à tous,
Quelqu'un saurait comment attaquer cette intégrale intelligemment ? Il y a sûrement une symétrie à utiliser mais je ne vois pas laquelle. Sans cela, j'ai commencé, mais en y allant directement ça prend déjà plusieurs pages et je suis à peu près sûr de faire une erreur.
Soient $c<1$ et $k\geq 1$ des constantes, calculer
$$\iiint_{[0,1]^3} \big(1-c(s_2-s_1) \big)^k \big(1-c(s_3-s_2) \big)^k d(s_1,s_2,s_3).$$
Merci :)
PS : dans le cas où ce n'est pas calculable, je ne cherche qu'une majoration fine.

Réponses

  • Si jamais, en utilisant le fait que cette intégrale vaut $8$ fois l'intégrale sur l'ensemble $0<s_1<s_2<s_3<1$, j'obtiens, si je n'ai pas fait d'erreur,
    $$ \frac{8}{c^2(k+1)^2} \int_0^1 \left(1-(1-cs_2)^{k+1}\right)\left(1-(1-c(1-s_2))^{k+1}\right) ds_2. $$
    Ensuite, à part tout développer, je ne vois pas, et je ne pense pas que ce soit ce qu'il faille faire.
    Un changement de variable trigonométrique pour avoir du $\cos^2$ et du $\sin^2$ ne donne rien non plus (selon moi).
  • Fin de partie
    Modifié (January 2023)
    Je suis peut-être fatigué mais il me semble qu'on peut intégrer d'abord par rapport à $s_1$, puis à $s_3$ et enfin par rapport à $s_2$
    PS.
    La dernière intégration n'est pas garantie être possible, bien qu'il y ait des simplifications qui peuvent être faites me semble-t-il.
    Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
  • Bonjour,

    Binômes de Newton avec indices $p,q$.
    Intégration sur $s_1$ et $s_3$.
    Symétrie sur les indices et changement de variable $s_2 \leadsto 1-s_2$ simplifie deux termes de somme nulle.
    Symétrie sur les indices transforme les deux termes restant avec $\displaystyle \int_0^1 (s_2)^{p+1} (1-s_2)^{q+1} ds_2$. 
    Somme double. 

  • @YvesM: Le paramètre $k$ n'est pas forcément un entier.
    Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
  • Alain24
    Modifié (January 2023)
    [Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
    Si $k$ est rationnel la fonction à intégrer est l'ensemble des zéro d'un polynôme de $\mathbb{C}[X,s_2]$ à déterminer, il faut alors utiliser des théorèmes d'algèbre et de différentiabilité des zéros d'une fonction à deux variables. Le problème devient un problème de géométrie différentielle ou de géométrie algébrique. Si $k$ est irrationnel on peut l'approcher par une suite de  rationnels de même dénominateurs et ce sont des notions de continuité d'intégrales qu'il doit falloir utiliser, mais en tant que tel, ce calcul n'est pas facile et à mon avis il dépasse et de loin les capacité de ChatGPT, qui n'est pas conçu pour faire des maths, mais s'il existe une IA capable de faire de la géométrie différentielle ou de la géométrie algébrique alors on peut tenter de définir cette fonction en données d'entrée de l'IA.
  • @ Alain 24 quel est le lien du IA qui fait de la géométrie différentielle, algébrique ?merci
  • Fin de partie
    Modifié (January 2023)
    @Alain24.
    On est obligé de parler de cette escroquerie intellectuelle de Chatbot en permanence pour tout et rien ?
    Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
  • Fulgrim
    Modifié (January 2023)
    Bonsoir à tous, et merci !
    C'est vrai que j'aurais dû le préciser, mais je n'ai besoin que de traiter le cas où $k$ est entier.
    @YvesM, j'obtiens effectivement $$I = \sum_{p,q=0}^k \dfrac{c^{p+q}}{(p+1)(q+1)} \int_0^1 s_2^{p+1}(1-s_2)^{q+1} ds_2,$$
    mais je ne vois pas comment simplifier ceci sous une forme un minimum ramassée.
    Quoiqu'il en soit, je suis parvenu à majorer cette intégrale suffisamment finement pour ce dont j'avais besoin. Je copie la démonstration dans mon message suivant, au cas où quelqu'un serait intéressé (ou y trouverait une faute haha). Je pense qu'on peut faire mieux, en particulier au moment où j'écris simplement $I_3(s_2)\leq 1$ alors que c'est justement la présence de $I_1$ et $I_3$ ensemble qui pose problème, mais comme je l'ai dit, il s'avère que ça me suffit ^^
  • Fulgrim
    Modifié (January 2023)
    Comme je l'ai dit dans mon second message, l'intégrale peut être réécrite en
    $$\mathcal{I} := \int_0^1 \int_0^{s_2} \big(1-c(s_2-s_1) \big)^k ds_1 \int_{s_2}^1 \big(1-c(s_3-s_2) \big)^k ds_3 ds_2 $$
    Or, $I_3(s_2) := \int_{s_2}^1 \big(1-c(s_3-s_2) \big)^k ds_3 \leq 1$ et
    $$I_1(s_2) := \int_0^{s_2} \big(1-c(s_2-s_1) \big)^k ds_1 = \int_{1-cs_2}^1 s^k \dfrac{ds}{c} = \dfrac{1}{c(k+1)}\left( 1-(1-cs_2)^{k+1}\right),$$ d'où
    \begin{align*}
    \mathcal{I} &\leq \dfrac{1}{c(k+1)} \int_0^1 \left( 1-(1-cs_2)^{k+1}\right) ds_2 \\
    &= \dfrac{1}{c(k+1)} \int_{1-c}^1 1-s^{k+1}\dfrac{ds}{c} \\
    & = \dfrac{1}{c(k+1)} \left( 1 - \dfrac{1}{c(k+2)}\left(1-(1-c)^{k+2}\right)\right)\\
    &=\dfrac{1}{c(k+1)} \left( 1 - \dfrac{1}{c(k+2)}c\sum_{l=0}^{k+1}(1-c)^l \right),
    \end{align*} où la dernière égalité provient de la formule de Bernouilli. De plus, étant donné que $(1-c)^l \geq (1-c)^{k+1}$, on a
    $$\mathcal{I} \leq \dfrac{1}{c(k+1)} \left( 1 - \dfrac{1}{c(k+2)}c(k+2)(1-c)^{k+1} \right) = \dfrac{1}{c(k+1)} \left( 1 - (1-c)^{k+1} \right)$$
  • Fin de partie
    Modifié (January 2023)
    Si on a :
    \begin{align}I = \sum_{p,q=0}^k \dfrac{c^{p+q}}{(p+1)(q+1)} \int_0^1 s_2^{p+1}(1-s_2)^{q+1} ds_2,\end{align}
    Alors cherche dans ton moteur de recherche favori: fonction Bêta d'Euler.
    Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
  • @Fin de partie , ah oui effectivement, merci !
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