Une intégrale
Bonsoir à tous,
Quelqu'un saurait comment attaquer cette intégrale intelligemment ? Il y a sûrement une symétrie à utiliser mais je ne vois pas laquelle. Sans cela, j'ai commencé, mais en y allant directement ça prend déjà plusieurs pages et je suis à peu près sûr de faire une erreur.
Soient $c<1$ et $k\geq 1$ des constantes, calculer
$$\iiint_{[0,1]^3} \big(1-c(s_2-s_1) \big)^k \big(1-c(s_3-s_2) \big)^k d(s_1,s_2,s_3).$$
Merci 
PS : dans le cas où ce n'est pas calculable, je ne cherche qu'une majoration fine.
Réponses
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Si jamais, en utilisant le fait que cette intégrale vaut $8$ fois l'intégrale sur l'ensemble $0<s_1<s_2<s_3<1$, j'obtiens, si je n'ai pas fait d'erreur,$$ \frac{8}{c^2(k+1)^2} \int_0^1 \left(1-(1-cs_2)^{k+1}\right)\left(1-(1-c(1-s_2))^{k+1}\right) ds_2. $$Ensuite, à part tout développer, je ne vois pas, et je ne pense pas que ce soit ce qu'il faille faire.Un changement de variable trigonométrique pour avoir du $\cos^2$ et du $\sin^2$ ne donne rien non plus (selon moi).
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Je suis peut-être fatigué mais il me semble qu'on peut intégrer d'abord par rapport à $s_1$, puis à $s_3$ et enfin par rapport à $s_2$PS.
La dernière intégration n'est pas garantie être possible, bien qu'il y ait des simplifications qui peuvent être faites me semble-t-il.Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir. -
Bonjour,
Binômes de Newton avec indices $p,q$.
Intégration sur $s_1$ et $s_3$.
Symétrie sur les indices et changement de variable $s_2 \leadsto 1-s_2$ simplifie deux termes de somme nulle.
Symétrie sur les indices transforme les deux termes restant avec $\displaystyle \int_0^1 (s_2)^{p+1} (1-s_2)^{q+1} ds_2$.
Somme double.
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@YvesM: Le paramètre $k$ n'est pas forcément un entier.
Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir. -
Fulgrim a dit : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2404754/#Comment_2404754[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
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@ Alain 24 quel est le lien du IA qui fait de la géométrie différentielle, algébrique ?merci
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@Alain24.
On est obligé de parler de cette escroquerie intellectuelle de Chatbot en permanence pour tout et rien ?Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir. -
Bonsoir à tous, et merci !C'est vrai que j'aurais dû le préciser, mais je n'ai besoin que de traiter le cas où $k$ est entier.@YvesM, j'obtiens effectivement $$I = \sum_{p,q=0}^k \dfrac{c^{p+q}}{(p+1)(q+1)} \int_0^1 s_2^{p+1}(1-s_2)^{q+1} ds_2,$$mais je ne vois pas comment simplifier ceci sous une forme un minimum ramassée.Quoiqu'il en soit, je suis parvenu à majorer cette intégrale suffisamment finement pour ce dont j'avais besoin. Je copie la démonstration dans mon message suivant, au cas où quelqu'un serait intéressé (ou y trouverait une faute haha). Je pense qu'on peut faire mieux, en particulier au moment où j'écris simplement $I_3(s_2)\leq 1$ alors que c'est justement la présence de $I_1$ et $I_3$ ensemble qui pose problème, mais comme je l'ai dit, il s'avère que ça me suffit ^^
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Comme je l'ai dit dans mon second message, l'intégrale peut être réécrite en$$\mathcal{I} := \int_0^1 \int_0^{s_2} \big(1-c(s_2-s_1) \big)^k ds_1 \int_{s_2}^1 \big(1-c(s_3-s_2) \big)^k ds_3 ds_2 $$
Or, $I_3(s_2) := \int_{s_2}^1 \big(1-c(s_3-s_2) \big)^k ds_3 \leq 1$ et
$$I_1(s_2) := \int_0^{s_2} \big(1-c(s_2-s_1) \big)^k ds_1 = \int_{1-cs_2}^1 s^k \dfrac{ds}{c} = \dfrac{1}{c(k+1)}\left( 1-(1-cs_2)^{k+1}\right),$$ d'où
\begin{align*}
\mathcal{I} &\leq \dfrac{1}{c(k+1)} \int_0^1 \left( 1-(1-cs_2)^{k+1}\right) ds_2 \\
&= \dfrac{1}{c(k+1)} \int_{1-c}^1 1-s^{k+1}\dfrac{ds}{c} \\
& = \dfrac{1}{c(k+1)} \left( 1 - \dfrac{1}{c(k+2)}\left(1-(1-c)^{k+2}\right)\right)\\
&=\dfrac{1}{c(k+1)} \left( 1 - \dfrac{1}{c(k+2)}c\sum_{l=0}^{k+1}(1-c)^l \right),
\end{align*} où la dernière égalité provient de la formule de Bernouilli. De plus, étant donné que $(1-c)^l \geq (1-c)^{k+1}$, on a
$$\mathcal{I} \leq \dfrac{1}{c(k+1)} \left( 1 - \dfrac{1}{c(k+2)}c(k+2)(1-c)^{k+1} \right) = \dfrac{1}{c(k+1)} \left( 1 - (1-c)^{k+1} \right)$$
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Si on a :
\begin{align}I = \sum_{p,q=0}^k \dfrac{c^{p+q}}{(p+1)(q+1)} \int_0^1 s_2^{p+1}(1-s_2)^{q+1} ds_2,\end{align}
Alors cherche dans ton moteur de recherche favori: fonction Bêta d'Euler.Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir. -
@Fin de partie , ah oui effectivement, merci !
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