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Les commutants des commutants d'un endomorphisme

Modifié (January 2023) dans Algèbre
On suppose que $E = E_1 \oplus E_2$, $E$ un $\mathbb K$-ev de dimension $n$, 
Soit $u\in \mathcal L(E)$ tel que $E_1, E_2$ stable par $u$, $\ C^2(u_{E_1}) = \mathbb K[u_{E_1}]$, $\ C^2(u_{E_2}) = \mathbb K[u_{E_2}]$ et $\ \mu_{u_{E_1}}\land \mu_{u_{E_2}} = 1$.

$C^2(u)$ correspond à l'ensemble des endomorphismes qui commutent avec tous les commutants de $u$ (en notant $C(u)$ l'ensemble des commutants de $u$, $\ C^2(u) = \{v\in\mathcal L(E)\mid \forall w\in C(u),\ v\in C(w)\}$). $\ \mu_v$ correspond au polynôme minimal de $v$.

Il faut montrer que $C^2(u) = \mathbb K[u]$.

Je sais que lorsque $v$ est nilpotent d'ordre $n$,  on a $\mathbb K[v]= C^2(v)$. On me donne l'indication de regarder si $E_1$ et $E_2$ sont stables pour tout $v\in C(u)$. Je suis déjà bloqué à cette indication.
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Réponses

  • Bon, une hypothèse sur deux polynômes premiers entre eux, ça fait penser au lemme des noyaux. D'ailleurs, il est clair que $E_1\subset\ker\mu_1(u)$ (où $\mu_i=\mu_{u_{E_i}}$ pour alléger et épargner les yeux (un indice d'indice d'indice, ça finit par être petit !)). N'aurait-on pas l'inclusion inverse, grâce à l'hypothèse ? Sauf erreur, il s'agit de vérifier que $\mu_2(u_1)$ est inversible (et de justifier pourquoi ça suffit).
    Dans le lemme des noyaux, les projecteurs sur chaque noyau sont des polynômes en l'endomorphisme que l'on calcule avec une relation de Bézout. Ça incite à en écrire une (relation de Bézout) : on choisit des polynômes $\pi_1$ et $\pi_2$ tels que $\pi_1\mu_{1}+\pi_2\mu_{2}=1$. Je suis prêt à parier que $\pi_1\mu_1(u)$ est le projecteur sur $E_2$ parallèlement à $E_1$.
  • Modifié (January 2023)
    @Math Coss Je crois comprendre ton idée. Il faudrait que je montre que $\mu_1(u_2)$ est inversible. Cependant, on a pour l'instant : $\pi_1\mu_1(u_2)$ inversible. Il faudrait se débarrasser du $\pi_1$.

    Je pense que l'hypothèse sur $\mathbb K[u_2] = C^2(u_2)$ peut être utile. 
  • Modifié (January 2023)
    En supposant que $\mu_1(u_2)$ est inversible, on peut arriver à la conclusion que $E_1 = \text{Ker}(\mu_1(u))$ et que $E_2 = \text{Ker}(\mu_2(u))$.

    Par le lemme des noyaux, on peut en déduire que $\mu_1\mu_2$ est un polynôme annulateur de $u$. Seulement, je ne vois pas pourquoi cela m'aide. J'ai cette information depuis le départ car $(\mu_1\mu_2(u) = \mu_1(u) \circ \mu_2(u))$.

    Est-ce que je gagne quelque chose en montrant l'égalité $E_1 = \text{Ker}(\mu_1(u))$ et que $E_2 = \text{Ker}(\mu_2(u))$ ?
  • Ne pourrait-on pas vérifier directement que $\mu_1\mu_2$ annule $u$, plutôt ? (Réponse : si, ce n'est pas difficile.)
    De là, par le lemme des noyaux, les inclusions évidentes et des considérations de dimension, les égalités $E_i=\ker\mu_i(u)$.
    Oui, on a gagné quelque chose ! Parce que l'on sait exprimer les projecteurs comme des polynômes en $u$, si bien qu'un $v$ qui commute à $u$ commute à ces projecteurs. Cela permet de répondre positivement à la question de l'indication.
  • Modifié (January 2023)
    @Math Coss
    Du coup, on a : $\forall v\in C(u),\ v(E_i)\subset E_i$. Après ça, je pensais utiliser le fait que $C^2(u)\subset C(u)$. Donc on a la stabilité dans $C^2(u)$.
    Je démontre que : $\forall v\in C^2(u),\ v_1\in C^2(u_1)$ et $v_2\in C^2(u_2)$.
    Soit $v\in C^2(u)$,
    Sans perte de généralité, soit $w\in C(u_1)$. On pose $\phi : x\mapsto w \circ (\pi_2\mu_2)(u)(x)$. C'est intéressant car c'est une projection !
    On peut montrer que $\phi\in C(u)$ et qu'à partir de ça $v_1\in C(w)$.
    On a montré que $\forall (w,w')\in C(u_1)\times C(u_2),\ v_1\in C(w)$ et $v_2\in C(w')$.
    Donc : $\forall v\in C^2(u),\ v_1\in C^2(u_1)$ et $v_2\in C^2(u_2)$ soit $\forall v\in C^2(u),\ v_1\in \mathbb K[u_1]$ et $v_2\in \mathbb K[u_1]$.
    Seulement, je n'arrive pas à amener $\mathbb K[u]$. Une idée ?
  • On aimerait lire un peu ta prose finale mais bon.
    Pour terminer, on recolle ! Les projecteurs servent à ça. Tu as deux polynômes $\rho_1$ et $\rho_2$ tels que $v_i=\rho_i(u_i)$. Il faut trouver un lien entre $\rho_i(u_i)$ (disons, pour vendre un peu la mèche, prolongé par $0$ sur $E_{3-i}$) et $\rho_i(u)$.
  • @Math Coss Ok je pense avoir fini !!!! Merci beaucoup de ton aide !

    On observe que :
    $v=v_1\circ \pi_2\mu_2(u) + v_2\circ \pi_1\mu_1(u)=\rho_1(u)\circ \pi_2\mu_2(u) + \rho_2(u)\circ \pi_1\mu_1(u)$ car $\pi_i\mu_i(u)$ sont des projecteurs sur $E_{3-i}$

    Donc : $v = (\rho_1\pi_2\mu_2 + \rho_2\pi_1\mu_1)(u)$ ! D'où $v\in \mathbb K[u]$.

    Ainsi : $C^2(u) = \mathbb K[u]$.
  • Plausible ! 
    Reste une situation délicate : une a.l. linéaire nilpotente d'ordre strictement plus petit que la dimension. La façon de faire que je connais utilise la jordanisation.
  • Fort heureusement, cet exo s'arrête pour le cas de matrice diagonalisable (Ce qui se déduit de cet exo).

    Vu que je ne connais pas la jordanisation, je me demande comment cela pourrait marcher face à cette nouvelle situation de matrice nilpotente d'ordre strictement plus petite que la dimension.

    Cela a l'air très intriguant !
  • Modifié (January 2023)
    La jordanisation permet de décrire le commutant, qui est plus compliqué que dans le cas cyclique déjà traité au début. De là le bicommutant.
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