Sous groupe abélien de SL(E)

iotala

Bonsoir
J'ai du mal à trouver un angle d'attaque à l'exercice suivant.

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n\geq 2$, on note $A_x$ le sous-ensemble de $SL(E)$ constitué de l'identité et des transvections de droite $\bar{x}$. Montrer que $A_x$ est un sous-groupe abélien de $SL(E)$ et identifier $u A_x u^{-1}$ pour $u \in SL(E)$.

Quelles seraient les grande étapes pour répondre à la question ?

JLapin

Considérer une base de $E$ adaptée et raisonner matriciellement (par exemple).

Math Coss

Quand j'étais petit, j'ai appris qu'en conjuguant un truc (un $r$-cycle, une symétrie, une projection...), on obtenait un truc de même nature géométrique (un autre $r$-cycle, une autre symétrie, une autre projection...) dont les éléments caractéristiques (support, points fixes, noyau...) s'obtenait en appliquant l'élément qui conjugue aux éléments caractéristiques du truc initial.

Exemple : si pour tout hyperplan $H$ on note $s_H$ la réflexion de points fixes $H$, et si $u$ est une isométrie, alors $us_Hu^{-1}=s_{u(H)}$.

En vertu de ce principe, je serais surpris que $uA_xu^{-1}$ soit autre chose que $A_{u(x)}$.

iotala

Merci pour votre aide, voici ma rédaction.

On montre tout d'abord que l'identité $I_d$ est bien un élément neutre pour la composition de fonctions.
Soit $b \in A_x$, on a $b.Id=Id.b=b$.
De plus $A_x$ est composée des transvections et de l'identité. Or la composition de deux transvections est aussi une transvection, donc appartient aussi à $A_x$ et le produit de l'identité avec une transvection est de facto une transvection et appartient donc aussi à $A_x$. Bien évidemment le produit de l'identité avec elle même appartient aussi à $A_x$.
Enfin les transvections de droite $\bar{x}$ de la forme $T(v) = v + \alpha x$ ont pour inverse $T^{-1}(v) = v - \alpha x$ soit $(v + \alpha x)(v - \alpha x)=(v - \alpha x)(v + \alpha x)$ avec $\alpha$ un scalaire.
Cet inverse étant aussi une transvection, elle appartient aussi à $A_x$. De même l'inverse de $I_d$ est $I_d$.
On en déduit que $A_x$ est un sous groupe de $SL(E)$.

Montrons que $A_x$ est abélien. Soit $T_1(v) = v + \alpha x$ et $T_2(v) = v + \beta x$ deux transvections appartenant à $A_x$ avec $\alpha$ et $\beta$ des scalaires. Il vient alors
$$ T_1(T_2(v)) = v+\beta x + \alpha x = T_2(v) + \alpha x + T_2(v + \alpha x) = T_2(T_1(v))$$
L'identité commute aussi avec les transvections de droite :
$$ T_1 (Id(v)) = T_1(v) = v + \alpha x = Id(v + \alpha x) = Id(T_1(v))$$   
On en déduit que $A_x$ est un sous-groupe abélien de $SL(E)$.

Soit $u$ un élément de $SL(E)$, on définit $uA_xu^{-1}$ comme étant l'ensemble des éléments de la forme $u a u^{-1}$ où $a$ est un élément de $A_x$.
On a $u a u^{-1}(v) = u(a(u^{-1}(v))) = u(u^{-1}(v) + \alpha x) = v + \alpha(u(x))$. On en déduit $uA_x u^{-1} = A_{u(x)}$.

JLapin

iotala a dit :Or la composition de deux transvections est aussi une transvection,

  Vu que $SL(E)$ est engendré par les transvections, cela impliquerait que tout endomorphisme de déterminant $1$ est une transvection.

Je pense que tu dois revoir ta preuve (ainsi que les axiomes précis d'un sous-groupe).

iotala

Je ne suis pas sûr de saisir la subtilité pour les transvections.

Concernant ma preuve, j'ai prouvé que l'identité était bien un élément neutre (peut-être était-ce de trop), que la composition de 2 éléments appartient bien au sous-groupe et que chaque élément possède un inverse. Qu'ai je fait d'incorrect ?