Simplifier une somme

Bonjour
En calculant une espérance, je suis amené à calculer ( pour $a,b,n$ dans $\N^*$, $a\geq n$) :
$$\sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{\binom{a}{k}}{\binom{a+b}{k}}\times\dfrac{b(b-1)}{(a+b-k)(a-k+1)}+\dfrac{\binom{a}{n-1}}{\binom{a+b}{n-1}}\times\dfrac{b}{a+b-n+1}.$$
Le résultat ne dépend pas de $n$, voyez-vous pourquoi ?

Réponses

  • Il suffit de calculer $u_{n+1}-u_n$ et d'exprimer les coefficients binomiaux avec des factorielles.
  • Cidrolin
    Modifié (January 2023)
    Merci jandri, voici le problème d'où vient ce calcul.
    $n\geq 2$ est un entier. Dans un sac on met $a$ jetons rouges et $b$ jetons verts, avec la condition $a\geq (n-1)b+n$.
    On extrait (successivement et sans remise) des jetons, on arrête quand on obtient $n$ jetons rouges consécutifs.
    $X$ est la v.a. égale au nombre de paquets isolés de $n-1$ jetons rouges consécutifs. Calculer $E(X)$.
    Note aux modérateurs : peut-être conviendrait-il de déplacer cette discussion dans "probabilité" ?
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